4.3 角 题型专练 2026--2027学年湘教版七年级数学上册

**基本信息** 以“典例引领+分层变式”构建角的知识体系，覆盖12个核心知识点，从概念辨析到综合应用梯度递进，适配新授课基础巩固与能力提升，培养几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|角的概念、表示方法|典例+选择/填空，如角的概念辨析题| |技能应用|度分秒运算、余角补角|中档解答题，如角平分线及和差计算| |综合拓展|时钟问题、方位角|情境应用题，如时钟夹角、方位角确定|

湘教版（2024）七年级上册 4.3 角 题型专练 【题型1】角的概念 【典例】下列说法中，正确的个数是(　　) (1)两条射线所组成的图形叫做角； (2)角是有公共端点的两条射线； (3)角的大小与边的长短无关； (4)两条射线，它们的端点重合时可以形成角； (5)有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】∠AOB的两边是（　　） A.线段AO、OB B.线段OA、OB C.射线AO、BO D.射线OA、OB 【举一反三2】两条有公共端点的　   　组成的图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕其端点________而成的图形． 【举一反三3】角是由　　条具有公共端点的　　组成，这　　条　　线的公共端点是这个角的　　． 【题型2】角的表示方法 【典例】图中能用一个大写字母表示的角有(　　)个． A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图，下列说法正确的是(　　) A.∠1与∠BOC表示同一个角 B.∠1＝∠2 C.∠2与∠AOB表示同一个角 D.图中只有两个角，即∠1和∠2 【举一反三2】下列图形中，能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，用三种不同的方法表示该角为           、            、            ． 【举一反三4】如图所示，写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以B为顶点的角； 【举一反三5】写出如图的符合下列条件的角．(图中所有的角均指小于平角的角)． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角． 【题型3】角的确定方法 【典例】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有(　　) A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 【举一反三1】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有(　　)个角． A.465 B.450 C.425 D.300 【举一反三2】(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有    个不同的角； (2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有    个不同的角； (3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有    个不同的角； (4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有    个不同的角； (5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有         个不同的角． 【举一反三3】如图，图中共有      个小于平角的角，其中以A为顶点的角共有        个，它们分别是            ． 【题型4】角的大小比较 【典例】用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是(　　) A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A＝∠B D.没有量角器，无法确定 【举一反三2】如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是(　　) A.∠BAC＞∠CAD B.∠DAE＞∠CAD C.∠CAE＜∠BAC+∠DAE D.∠BAC＜∠DAE 【举一反三3】比较两角大小的方法有：(1)            法；(2)            法． 【举一反三4】(1)如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26 cm，则线段DE的长为　  　cm． (拓展)(2)在(问题)中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长． (应用)(3)如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　(用含字母α的式子表示)； (4)如图④，在(3)中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则(3)中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由． 【题型5】时钟问题中的角的计算 【典例】当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是(　　) A.9点钟 B.8点钟 C.4点钟 D.8点钟或4点钟 【举一反三1】钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数是(　　) A.120° B.105° C.100° D.90° 【举一反三2】聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了        分钟． 【举一反三3】央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是　　　　度． 【举一反三4】钟面上的角的问题． (1)3点45分，时针与分针的夹角是多少？ (2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？ 【举一反三5】观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？ 【题型6】角的和、差、倍、分关系运算 【典例】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=(　　) A.90° B.120° C.160° D.180° 【举一反三2】如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB=            ． 【举一反三3】如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数． 【题型7】角的平分线及相关运算 【典例】如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（　　） A.OA B.OB C.OC D.OD 【举一反三1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（　　） ①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三2】一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，则这个角是　　． 【举一反三3】如果∠AOB＝∠BOC∠AOC，那么　　是　　的角平分线． 【举一反三4】已知∠AOB＝108°，∠BOC＝22°，射线OD、OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数． 【举一反三5】如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，求∠MON的度数． 【题型8】度、分、秒的转化与运算 【典例】如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是(　　) A.27°40′ B.62°20′ C.57°40′ D.58°20 【举一反三1】1°等于(　　) A.10′ B.12′ C.60′ D.100′ 【举一反三2】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是(　　) A.∠A最大 B.∠B最大 C.∠C最大 D.∠A＝∠C 【举一反三3】计算：15°37′+42°51′＝　            　． 【举一反三4】已知∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝24°75′，则∠1、∠2、∠3的大小关系是　                         　． 【举一反三5】计算：85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)． 【举一反三6】计算 (1)108°18′﹣56°23′； (2)180°﹣(34°54′+21°33′) ； (3)182°36′÷4+22°16′×3. 【题型9】与余角、补角有关的计算 【典例】若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3－∠2＝90°；②∠2＋∠3＝270°－2∠1；③∠3－∠1＝2∠2；④∠3＜∠1＋∠2.其中正确的是(　　) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 【举一反三1】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为(　　) A.180° B.90° C.45° D.无法确定 【举一反三2】如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是(　　) A.12° B.15° C.18° D.24° 【举一反三3】∠1=120°，∠1与∠2互补，∠3与∠2 互余，则∠3=            ． 【举一反三4】求出满足下列条件的角的度数： (1)已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角； (2)已知一个角的余角比这个角小18°，求这个角的补角． 【举一反三5】已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B的度数的3倍还多30°，求∠B的度数． 【题型10】余角和补角的性质 【典例】如图，∠ACB＝90°，∠BDC＝∠ADC＝90°，下列说法中错误的是(　　) A.∠ACD与∠CBD相等 B.∠BCD与∠CBD互余 C.∠BCD与∠ACD互余 D.∠A与∠BCD互余 【举一反三1】已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依据是(　　) A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等 【举一反三2】下列关于余角和补角的说法正确的是(　　) A.若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余 B.若∠α+∠β+∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补 C.若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3互余 D.若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3相等 【举一反三3】(1)已知∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3的关系为　   　，其理由是　                     ； (2)已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系为　        　，其理由是　                       　． 【举一反三4】如图(甲)，∠AOC和∠BOD都是直角． (1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB的度数是多少？ (2)找出图(甲)中相等的角．如果∠DOC≠28°，它们还会相等吗？请说明理由． (3)若∠DOC变小，则∠AOB如何变化？请说明理由． (4)在图(乙)中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角． 【题型11】方位角的表示 【典例】为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了∠AOB的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（　　） A.南偏东53.5° B.东偏南38°30′ C.南偏东52°30′ D.东偏南82.5° 【举一反三1】如图，下列叙述正确的是(　　) A.射线OA表示西北方向 B.射线OB表示北偏东60° C.射线OC表示西偏南30° D.射线OD表示南偏东60° 【举一反三2】若图书馆在餐厅的北偏东42°方向，则餐厅在图书馆的　              　方向． 【举一反三3】如图，∠AOC＝140°，则射线OA的方向是　             　． 【题型12】与方向角有关的计算题 【典例】如图，点A位于点O北偏西60°方向上，点B位于点O南偏西20°方向上，则∠AOB的度数是(　　) A.120° B.100° C.80° D.70° 【举一反三1】如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是(　　) A.70°30′ B.150° C.150°30′ D.160°30′ 【举一反三2】如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角∠BAC为100°，则此时乙位于A地的(　　) A.南偏东30° B.南偏东50° C.北偏西30° D.北偏西50° 【举一反三3】如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方向上，船R位于岛P的　    　方向上(用方位角表示)． 【举一反三4】小丽，小影，小华三人每天相约在如图所示的早餐店O碰面，小丽家A在早餐店南偏西20°方向上，小影家在点D处，小华家在早餐店东南方向上，与学校S的夹角为77°，且早餐店分别到小华家与小丽家一样远． (1)在图中画出小华家的位置C； (2)求小丽家A和学校S的夹角∠AOS的度数； (3)若∠DOS＝85°，请说出小影家D相对于早餐店的位置． 【举一反三5】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，点C为OP的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 湘教版（2024）七年级上册 4.3 角 题型专练（参考答案） 【题型1】角的概念 【典例】下列说法中，正确的个数是(　　) (1)两条射线所组成的图形叫做角； (2)角是有公共端点的两条射线； (3)角的大小与边的长短无关； (4)两条射线，它们的端点重合时可以形成角； (5)有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】(1)有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故(1)不符合题意； (2)角是有公共端点的两条射线组成的图形，故(2)不符合题意； (3)角的大小与边的长短无关，故(3)符合题意； (4)两条射线，它们的端点重合时可以形成角，故(4)符合题意； (5)有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故(5)不符合题意． ∴正确的是(3)(4)，有2个， 故选：B． 【举一反三1】∠AOB的两边是（　　） A.线段AO、OB B.线段OA、OB C.射线AO、BO D.射线OA、OB 【答案】D 【解析】∠AOB的两边是射线OA、OB， 故选：D． 【举一反三2】两条有公共端点的　   　组成的图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕其端点________而成的图形． 【答案】两条射线；旋转 【解析】两条有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕其端点旋转而成的图形． 故答案为：两条射线，旋转． 【举一反三3】角是由　　条具有公共端点的　　组成，这　　条　　线的公共端点是这个角的　　． 【答案】2；射线；2；射；顶点 【解析】角是由2条具有公共端点的射线组成，这2条射线的公共端点是这个角的顶点． 故答案为：2；射线；2；射；顶点． 【题型2】角的表示方法 【典例】图中能用一个大写字母表示的角有(　　)个． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】可以只用一个大写字母表示的角有∠A，∠B． 故选：B． 【举一反三1】如图，下列说法正确的是(　　) A.∠1与∠BOC表示同一个角 B.∠1＝∠2 C.∠2与∠AOB表示同一个角 D.图中只有两个角，即∠1和∠2 【答案】A 【解析】A.∠1与∠BOC表示同一个角，该选项正确，故符合题意； B.∠1＝∠2不一定成立，该选项错误，故不符合题意； C.∠2与∠AOC表示同一个角，该选项错误，故不符合题意； D.图中有三个角，分别为∠1、∠2和∠AOB，该选项错误，故不符合题意． 故选：A． 【举一反三2】下列图形中，能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误； B.图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误； C.图中∠α、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确； D.图中的∠AOB不能用∠α表示，故本选项错误； 故选：C． 【举一反三3】如图，用三种不同的方法表示该角为           、            、            ． 【答案】∠1；∠AOB；∠O 【举一反三4】如图所示，写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以B为顶点的角； 【答案】解　(1)因为图中以A，C为顶点的角只有一个，所以能用一个大写字母表示的角有∠A，∠C. (2)以B为顶点的角有3个，分别为∠1(或∠ABD)，∠2(或∠DBC)，∠ABC. 【举一反三5】写出如图的符合下列条件的角．(图中所有的角均指小于平角的角)． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角． 【答案】解 (1)能用一个大写字母表示的角有∠C，∠B.　 (2)以点A为顶点的角有∠CAB，∠CAD和∠DAB. 【题型3】角的确定方法 【典例】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有(　　) A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 【答案】C 【解析】∵图中共有四条射线， ∴图中小于平角的角共有 ＝6个． 故选：C． 【举一反三1】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有(　　)个角． A.465 B.450 C.425 D.300 【答案】A 【解析】在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角； 从图(2)顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角； …… 若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+(n+1)＝(n+2)(n+1)个角； ∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝(29+2)(29+1)＝465个角； 故选：A． 【举一反三2】(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有    个不同的角； (2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有    个不同的角； (3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有    个不同的角； (4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有    个不同的角； (5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有         个不同的角． 【答案】(1)3 (2)6 (3)10 (4)66 (5)(n+1)(n+2) 【解析】(1)根据图形数出有3个不同的角； (2)根据图形数出有6个不同的角； (3)根据图形数出有10个不同的角； (4)有1+2+3+…+9+10+11=66个角； (5)有1+2+3+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)个不同的角． 【举一反三3】如图，图中共有      个小于平角的角，其中以A为顶点的角共有        个，它们分别是            ． 【答案】12；6；∠BAC、∠BAE、∠BAD、∠DAE、∠DAC、∠EAC 【解析】如图可知，图中小于平角的角是：以A为顶点的有6个；分别以B、C为顶点的共有2个；以D、E为顶点的共有4个．即有12个小于平角的角．其中，以A为顶点的角是：∠BAC、∠BAE、∠BAD、∠DAE、∠DAC、∠EAC． 【题型4】角的大小比较 【典例】用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D． 故选：D． 【举一反三1】如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是(　　) A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A＝∠B D.没有量角器，无法确定 【答案】B 【解析】∵图中三角尺为等腰直角三角形， ∴∠A＜45°，＜B＞45°， ∴∠A＜∠B， 故选：B． 【举一反三2】如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是(　　) A.∠BAC＞∠CAD B.∠DAE＞∠CAD C.∠CAE＜∠BAC+∠DAE D.∠BAC＜∠DAE 【答案】D 【解析】∵∠CAE＞∠BAD， ∴∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD， ∴∠DAE＞∠BAC，即∠BAC＜∠DAE．故选D． 【举一反三3】比较两角大小的方法有：(1)            法；(2)            法． 【答案】(1)度量 (2)叠合 【举一反三4】(1)如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26 cm，则线段DE的长为　  　cm． (拓展)(2)在(问题)中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长． (应用)(3)如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　(用含字母α的式子表示)； (4)如图④，在(3)中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则(3)中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由． 【答案】解 (1)∵点D，E分别是线段AC，BC的中点， ∴CD＝AC，CE＝BC， ∵AB＝26 cm， ∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13 cm， 故答案为：13； (2)如图， 当C点在AB的延长线上时， ∵点D，E分别是线段AC，BC的中点， ∴CD＝AC，CE＝BC， ∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13 cm； 答：DE的长度等于13 cm； (3)∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC ∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α， 故答案为：α； (4)(3)结论成立，理由如下： ∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC， ∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α， ∴(3)中的结论成立． 【题型5】时钟问题中的角的计算 【典例】当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是(　　) A.9点钟 B.8点钟 C.4点钟 D.8点钟或4点钟 【答案】D 【解析】∵钟表上每一个大个之间的夹角是30°，∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，距分针成120°的角时针应该有两种情况，即距时针4个格，∴只有8点钟或4点钟是符合要求．故选D． 【举一反三1】钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数是(　　) A.120° B.105° C.100° D.90° 【答案】A 【解析】∵钟表上的时间为晚上8点，即时针指向8，分针指向12， ∴这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数=(12-8)×30°=120°．故选A． 【举一反三2】聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了        分钟． 【答案】36011 【解析】时针每小时转动360÷12=30°，每分钟转动30÷60=0.5°；分针每分钟转动360÷60=6°；设一休解这道题用了x分钟，则有：6x-0.5x=180°，解得：x=36011分钟；即一休解这道题用了36011分钟． 【举一反三3】央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是　　　　度． 【答案】45 【解析】19：30，时针和分针中间相差1.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴19：30分针与时针的夹角是1.5×30°＝45°． 故答案为：45． 【举一反三4】钟面上的角的问题． (1)3点45分，时针与分针的夹角是多少？ (2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？ 【答案】解 (1)如图，∵由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了270°× ，∴时针与分针的夹角是：180°-270°× =157.5°； (2)设分针转的度数为x，则时针转的度数为 ， 得①90°+x- =100°，解得，x=12011°，12011°÷6°=2011(分)； ②90°+ -(x-180°)=100°，解得，x=204011°，204011°÷6°=34011(分)； ∴9点过2011或34011分钟时，时针与分针成100°的角． 【举一反三5】观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？ 【答案】解 (1)7时，时针和分针中间相差5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴7时，分针与时针的夹角是5×30°=150°， 答：早晨7时整，时针和分针构成150度的角； (2)由时钟可知时针12个小时转一圈，360°÷12=30°， 答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度； (3)分针转过的角度：(360°÷60)×40=240°，答：分针转动了240度． 【题型6】角的和、差、倍、分关系运算 【典例】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】15°=45°-30°，65°不能画出，75°=30°+45°，135°=45°+90°，所以能用一副三角尺画出来的有15°、75°，135°共3个，故选C． 【举一反三1】如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=(　　) A.90° B.120° C.160° D.180° 【答案】D 【解析】设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°-a， 所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°．故选D． 【举一反三2】如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB=            ． 【答案】152° 【解析】∵∠AOC=∠DOB=90°，∠DOC=28°， ∴∠AOB=∠AOC+∠DOB-∠DOC=90°+90°-28°=152°， 故答案为：152°. 【举一反三3】如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数． 【答案】解 设∠AOC=x，则∠BOC=2∠AOC=2x， ∠AOB=∠BOC+∠AOC=3x． ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD= ∠AOB=x． 又∵∠AOD-∠AOC=∠COD=20°， ∴x-x=20°，解得x=40°， ∴∠AOB=3x=120°． 【题型7】角的平分线及相关运算 【典例】如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（　　） A.OA B.OB C.OC D.OD 【答案】C 【解析】∵∠BOC＝∠DOC＝30°， ∴射线OC是∠BOD的角平分线， 故选：C． 【举一反三1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（　　） ①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】∵∠1＝∠2， ∴AE平分∠DAF， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC． ∴正确的结论有2个． 故选：C． 【举一反三2】一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，则这个角是　　． 【答案】60° 【解析】∵一个角的平分线把这个角分为30°的两个角， ∴这个角＝30°×2＝60°． 故答案为：60°． 【举一反三3】如果∠AOB＝∠BOC∠AOC，那么　　是　　的角平分线． 【答案】OB；∠AOC 【解析】如图所示， ∵∠AOB＝∠BOC∠AOC， ∴OB是∠AOC的平分线． 故答案为：OB，∠AOC． 【举一反三4】已知∠AOB＝108°，∠BOC＝22°，射线OD、OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数． 【答案】解 (1)当OC在∠AOB的内部时，如图1所示： ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC， 又∵∠BOC＝22°， ∴∠COE＝11°， ∵OD是∠AOB的平分线， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB， 又∵∠AOB＝108°， ∴∠BOD＝54°， 又∵∠BOC+∠COD＝∠BOD， ∵∠COD＝54°﹣22°＝32°， 又∵∠DOE＝∠DOC+∠COE， ∴∠DOE＝32°+11°＝43°； (2)当OC在∠AOB的外部时，如图2所示： ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC， 又∵∠BOC＝22°， ∴∠BOE＝11°， ∵OD是∠AOB的平分线， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB， 又∵∠AOB＝108°， ∴∠BOD＝54°， 又∵∠DOE＝∠BOD+∠BOE， ∴∠DOE＝54°+11°＝65°； 综合所述，∠DOE的度数为43°或65°． 【举一反三5】如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，求∠MON的度数． 【答案】解 ∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠NOC＝∠BOC＝15°，∠MOC＝∠AOC＝60°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°﹣15°＝45°． 【题型8】度、分、秒的转化与运算 【典例】如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是(　　) A.27°40′ B.62°20′ C.57°40′ D.58°20 【答案】C 【解析】∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′， ∴∠EAC＝32°20′， ∵∠EAD＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′， 故选：C． 【举一反三1】1°等于(　　) A.10′ B.12′ C.60′ D.100′ 【答案】C 【解析】1°等于60′．故选C． 【举一反三2】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是(　　) A.∠A最大 B.∠B最大 C.∠C最大 D.∠A＝∠C 【答案】B 【解析】∵∠A＝30°15′＝30°+()°＝30.25°，∠B＝30.3°，∠C＝30.15°， ∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大， 故选：B． 【举一反三3】计算：15°37′+42°51′＝　            　． 【答案】58°28′ 【解析】∵37+51＝88， ∴15°37′+42°51′＝58°28′． 故答案为：58°28′． 【举一反三4】已知∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝24°75′，则∠1、∠2、∠3的大小关系是　                         　． 【答案】∠3＞∠1＞∠2 【解析】∠2＝25.12°＝25°7′12″，∠3＝24°75′＝25°15′， ∵25°15′＞25°12′＞25°7′12″， ∴∠3＞∠1＞∠2． 故答案为：∠3＞∠1＞∠2． 【举一反三5】计算：85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)． 【答案】解 85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)=85°16′-18°47′-8°30′=66°29′-8°30′=57°59′． 【举一反三6】计算 (1)108°18′﹣56°23′； (2)180°﹣(34°54′+21°33′) ； (3)182°36′÷4+22°16′×3. 【答案】解 (1)108°18′﹣56°23′＝51°55′； (2)180°﹣(34°54′+21°33′) ＝180°﹣56°27′ ＝123°33′； (3)182°36′÷4+22°16′×3 ＝45°39′+66°48′ ＝112°27′． 【题型9】与余角、补角有关的计算 【典例】若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3－∠2＝90°；②∠2＋∠3＝270°－2∠1；③∠3－∠1＝2∠2；④∠3＜∠1＋∠2.其中正确的是(　　) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 【答案】C 【解析】根据题意得∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝180°， 所以∠2＝90°－∠1，∠3＝180°－∠1， 所以∠3－∠2＝90°， 所以①正确； ∠1＋∠2＋∠1＋∠3＝270°， 所以∠2＋∠3＝270°－2∠1，所以②正确； ∠3－∠1＝2∠2，所以③正确； 所以∠3＝180°－∠1＝2(∠1＋∠2)－∠1＝∠1＋2∠2， 所以∠3＞∠1＋∠2， 所以④错误． 【举一反三1】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为(　　) A.180° B.90° C.45° D.无法确定 【答案】B 【解析】∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余， ∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°， ∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α， ∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣(90°﹣∠α)＝90°， 故选：B． 【举一反三2】如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是(　　) A.12° B.15° C.18° D.24° 【答案】C 【解析】∵∠AOC与∠BOC互余， ∴∠AOC+∠BOC＝90°， ∵∠COD＝18°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠DOC＝18°， ∴∠AOC＝90°﹣18°﹣18°＝54°， ∵∠EOC＝2∠AOE， ∴∠AOE＝∠AOC＝×54°＝18°， 故选：C． 【举一反三3】∠1=120°，∠1与∠2互补，∠3与∠2 互余，则∠3=            ． 【答案】30° 【解析】∵∠1=120°，∠1与∠2互补， ∴∠2=60°， ∵∠3与∠2 互余， ∴∠3=30°．故答案为：30°． 【举一反三4】求出满足下列条件的角的度数： (1)已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角； (2)已知一个角的余角比这个角小18°，求这个角的补角． 【答案】解 (1)设这个角为x°，由题意得：180-x=3(90-x)， 解得：x=45． 答：这个角为45°． (2)设这个角为x°，由题意得：90-x=x-18， 解得：x=54． 所以这个角的补角为126°． 【举一反三5】已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B的度数的3倍还多30°，求∠B的度数． 【答案】解　设∠B的度数为x°，则∠A的度数为(3x＋30)°. 根据题意得x＋3x＋30＝90. 解得x＝15. 故∠B的度数为15°. 【题型10】余角和补角的性质 【典例】如图，∠ACB＝90°，∠BDC＝∠ADC＝90°，下列说法中错误的是(　　) A.∠ACD与∠CBD相等 B.∠BCD与∠CBD互余 C.∠BCD与∠ACD互余 D.∠A与∠BCD互余 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠ACD与∠CBD相等，∠BCD与∠CBD互余，∠BCD与∠ACD互余，∠A与∠BCD相等， ∴只有D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 【举一反三1】已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依据是(　　) A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等 【答案】D 【解析】∵∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，且∠1＝∠3， ∴∠2＝∠4(等角的补角相等)． 故选：D． 【举一反三2】下列关于余角和补角的说法正确的是(　　) A.若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余 B.若∠α+∠β+∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补 C.若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3互余 D.若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3相等 【答案】D 【解析】A.是3个角，不符合互余的定义，故A选项不符合题意； B.是3个角，不符合互补的定义，故B选项不符合题意； C.若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1＝∠3，∠1与∠3不一定互余，故C选项不符合题意； D.若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3相等，故D符合题意． 故选：D． 【举一反三3】(1)已知∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3的关系为　   　，其理由是　                     ； (2)已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系为　        　，其理由是　                       　． 【答案】(1)相等；同角的余角相等 (2)相等；同角的补角相等 【解析】(1)已知∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3的关系为相等，其理由是同角的余角相等； 故答案为：相等，同角的余角相等； (2)已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系为相等，其理由是同角的补角相等． 故答案为：相等，同角的补角相等． 【举一反三4】如图(甲)，∠AOC和∠BOD都是直角． (1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB的度数是多少？ (2)找出图(甲)中相等的角．如果∠DOC≠28°，它们还会相等吗？请说明理由． (3)若∠DOC变小，则∠AOB如何变化？请说明理由． (4)在图(乙)中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角． 【答案】解 (1)∵∠BOD＝90°，∠DOC＝28°， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝90°﹣28°＝62°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝152°； (2)图(甲)中相等的角：∠AOD＝∠BOC， 如果∠DOC≠28°，它们还会相等， ∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOD+∠DOC＝90，∠BOC+∠DOC＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC； (3)若∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大， ∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOD﹣∠DOC＝180°﹣∠DOC， ∴∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大； (4)过点O在OE的同侧作∠EOM＝∠FON＝90°，则∠FOE＝∠MON． 【题型11】方位角的表示 【典例】为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了∠AOB的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（　　） A.南偏东53.5° B.东偏南38°30′ C.南偏东52°30′ D.东偏南82.5° 【答案】C 【解析】解：如图：∠AOD＝45°，∠BOE＝30°， ∴∠AOB＝45°+90°+30°＝165°， 由条件可知， ∴∠EOC＝∠BOC﹣BOE＝∠82.5°﹣30°＝52.5°＝52°30′， ∴C处相对观测点O的方向为南偏东52°30′． 故选：C． 【举一反三1】如图，下列叙述正确的是(　　) A.射线OA表示西北方向 B.射线OB表示北偏东60° C.射线OC表示西偏南30° D.射线OD表示南偏东60° 【答案】D 【解析】A.射线OA表示东北方向，故本选项错误； B.射线OB表示北偏西45°，故本选项错误； C.射线OC表示东偏南30°，故本选项错误； D.射线OD表示南偏东60°，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三2】若图书馆在餐厅的北偏东42°方向，则餐厅在图书馆的　              　方向． 【答案】南偏西42° 【解析】图书馆在餐厅的北偏东42°方向，则餐厅在图书馆的南偏西42°的方向， 故答案为：南偏西42°． 【举一反三3】如图，∠AOC＝140°，则射线OA的方向是　             　． 【答案】北偏东40° 【解析】已知∠AOC＝140°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOC＝40°， 由方位角的概念可知， 射线OA的方向是北偏东40°． 故答案为：北偏东40°． 【题型12】与方向角有关的计算题 【典例】如图，点A位于点O北偏西60°方向上，点B位于点O南偏西20°方向上，则∠AOB的度数是(　　) A.120° B.100° C.80° D.70° 【答案】B 【解析】∠AOB＝180°﹣60°﹣20°＝100°， 故选：B． 【举一反三1】如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是(　　) A.70°30′ B.150° C.150°30′ D.160°30′ 【答案】C 【解析】如图： 由题意得：∠AOC＝20°30′，∠BOD＝40°，∠COD＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD＝20°30′+90°+40°＝150°30′， 故选：C． 【举一反三2】如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角∠BAC为100°，则此时乙位于A地的(　　) A.南偏东30° B.南偏东50° C.北偏西30° D.北偏西50° 【答案】A 【解析】如图所示：由题意可得：∠1＝50°，∠BAC＝100°， 则∠2＝180°﹣100°﹣50°＝30°， 故乙位于A地的南偏东30°． 故选：A． 【举一反三3】如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方向上，船R位于岛P的　    　方向上(用方位角表示)． 【答案】北偏东60° 【解析】如图： 由题意得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°， ∴∠APR＝∠APQ﹣∠RPQ＝60°， ∴船R位于岛P的北偏东60°方向上， 答案为：北偏东60°． 【举一反三4】小丽，小影，小华三人每天相约在如图所示的早餐店O碰面，小丽家A在早餐店南偏西20°方向上，小影家在点D处，小华家在早餐店东南方向上，与学校S的夹角为77°，且早餐店分别到小华家与小丽家一样远． (1)在图中画出小华家的位置C； (2)求小丽家A和学校S的夹角∠AOS的度数； (3)若∠DOS＝85°，请说出小影家D相对于早餐店的位置． 【答案】解 (1)如图，点C即为所求： (2)∠AOS＝20°+90°+(77°﹣45°)＝142°； (3)85°﹣(90°﹣32°)＝27°， ∴小影家D在早餐店的位置北偏西27°的位置上． ∴距小明家距离相同的是学校和公园． 【举一反三5】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，点C为OP的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】解 (1)∵点C为OP的中点， ∴OC＝OP＝×4＝2 cm， ∵OA＝2 cm， ∴距小明家距离相同的是学校和公园； (2)学校北偏东45°，商场北偏西30°，公园南偏东60°，停车场南偏东60°； 公园和停车场的方位相同； (3)图上1 cm表示：400÷2＝200 m， 商场距离小明家：2.5×200＝500 m， 停车场距离小明家：4×200＝800 m． 学科网（北京）股份有限公司 $