4.3 平行线的性质 题型专练2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版（2024）七年级下册 4.3 平行线的性质 题型专练（参考答案） 【题型1】利用两直线平行同位角相等求角度 【典例】如图，老师带领学生测量出，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查平行线的性质和对顶角相等，由可得，再根据对顶角相等可得 ∵，， ∴， ∴ 故选B 【强化训练1】将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A.28° B.52° C.62° D.72° 【答案】C 【解析】本题考查了平行线的性质．先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 由题意得， ∴， ∵直尺两边平行， ∴， 故选：C． 【强化训练2】如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是熟练掌握两直线平行、同位角相等．由，，根据两直线平行、同位角相等即可求得． ∵，， ∴ ， 故选：A． 【强化训练3】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等，余角的性质．如图，利用平行线的性质得到，然后利用互余计算的度数． 如图，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【强化训练4】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是      ． 【答案】 【解析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义求出，再由两直线平行，同位角相等即可求解． 如图， ，， ， 直尺的两边平行， ， 故答案为：． 【强化训练5】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是         ． 【答案】. 【解析】先根据两直线平行的性质，得到，再根据平角的定义，即可得出的度数． 如图， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【强化训练6】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是      ． 【答案】 【解析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义求出，再由两直线平行，同位角相等即可求解． 如图， ，， ， 直尺的两边平行， ， 故答案为：． 【题型2】利用两直线平行内错角相等求角度 【典例】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查的知识点是平行线性质定理：两直线平行内错角相等，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是熟练掌握平行线性质定理． 根据两直线平行，内错角相等可得，再将、的值代入即可求解． ， （两直线平行，内错角相等）， ，， ． 故选：． 【强化训练1】如图，直线c与直线a、b都相交，若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质求出的度数即可得出结论． ∵，， ， 故选：B． 【强化训练2】如图，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解． ∵， ∴，故B选项符合题意． 故选：B 【强化训练3】若将含有45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式叠放在一起，，则的度数为          °． 【答案】15 【解析】根据平行线的性质解答即可． 本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 如图， ， ， ， ． 故答案为：15 【强化训练4】如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为            ． 【答案】. 【解析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得的度数，再根据平行线的性质求解即可． ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【强化训练5】如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线上，求的和. 【答案】解：如图，过点B作， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3】利用两直线平行内错角相等探究角的关系 【典例】如图，AB//CD，AD//BC，则下列各式中正确的是（　　） A.∠1＋∠2＞∠3 B.∠1＋∠2=∠3 C.∠1＋∠2＜∠3 D.∠1＋∠2与∠3大小无法确定 【答案】B 【解析】直接利用两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等进行求解即可． ∵AB//CD，AD//BC， ∴∠ABC=∠3，∠2=∠DBC， ∵∠1+∠DBC=∠ABC， ∴∠1+∠2=∠3． 故选B． 【强化训练1】如图，已知AD∥BC，在①∠BAC＝∠BDC，②∠DAC＝∠BCA，③∠ABD＝∠CDB，④∠ADB＝∠CBD中，可以得到的结论有(　　) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【答案】D 【解析】依据平行线的性质进行判断，即可得到正确结论． 【强化训练2】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，，，那么平分吗？ 解：∵平分（已知）， ∴（________________________）， ∵（已知）， ∴_________， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（________________________）， （________________________）， ∴________________________（等量代换）． ∴平分． 【答案】角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等； 【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质进行证明即可． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ 3 ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴  （等量代换）． ∴平分． 故答案为：角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；． 【强化训练3】已知：如图AB∥CD，BE∥CF.试说明：∠1=∠4. 【答案】证明：∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCD ∵BE∥CF ∴∠2=∠3 ∴∠ABC-∠2=∠BCD-∠3 ∴∠1=∠4. 【题型4】利用两直线平行同旁内角互补求角度 【典例】如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小是（   ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【强化训练1】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线的性质，由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，再根据平行线性质定理求出，再根据折叠的性质及平角定义求解即可． 如图，延长，由折叠的性质，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据折叠的性质得，． 故选：C． 【强化训练2】如图，这是生活中常用的楼梯，其梯子的平面图如图所示，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”即可求解． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【强化训练3】如图，直线，若，，则的度数为           ．    【答案】. 【解析】依据已知，即可得到，再根据，即可得出． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【强化训练4】如图，平分，若，则的度数为              ．    【答案】. 【解析】先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【强化训练5】如图，若，，求的度数． 【答案】解：∵， ∴． ∵， ∴ 【题型5】利用两直线平行同旁内角互补探究角的关系 【典例】如图，已知，平分，平分，则与的关系是（　　）    A.互为补角 B.互为余角  C.相等 D.无法确定 【答案】B 【解析】由角平分线的定义得到，由得到，进一步得到，即可得到结论． ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的关系是互为余角． 故选：B． 【强化训练1】已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可求得，从而求得，由对顶角相等得，则有，即可求解． 如图， 与的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【强化训练2】如图，直线、分别截的两边，且．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据平行线的性质逐项判断即可 A.的两边不平行，，不符合题意； B.，，而，，不符合题意； C.与是对顶角，，不符合题意； D.，，符合题意． 故选：D． 【强化训练3】如图，已知，平分，平分，则与的关系是（　　）    A.互为补角 B.互为余角  C.相等 D.无法确定 【答案】B 【解析】由角平分线的定义得到，由得到，进一步得到，即可得到结论． ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的关系是互为余角． 故选：B． 【强化训练4】已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可求得，从而求得，由对顶角相等得，则有，即可求解． 如图， 与的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【强化训练5】如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．    (1)当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：，，三者的关系； (2)当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由． 【答案】解：（1）如图；过点G作，而， ∴，    ∴，， ∴， ∴． （2）不成立． 理由如下：如图，过点G作，而， ∴，    ∴，， ∴， ∴． ∴不成立． 【强化训练6】如图，已知AMBN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． (1)若∠A＝70°，则∠CBD＝        ； (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； (3)当∠A＝3∠ABC，∠BCM＝2∠BDC，求∠A的度数． 【答案】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN＋∠A＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠ABN＝110° ∴∠ABP＋∠PBN＝110°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD（角平分线的定义）， ∴2∠CBP＋2∠DBP＝110°， ∴∠CBD＝∠CBP＋∠DBP＝55°； 故答案为：55°； （2）当点P运动时，∠APB于∠ADB之间的数量关系不随之发生改变，它们之间的关系是∠APB=2∠ADB． 理由如下 ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行，内错角相等）， ∵BD平分∠PBN（已知）， ∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义）， ∴∠APB＝∠PBN＝2∠DBN＝2∠ADB（等量代换）， 即∠APB＝2∠ADB． （3）∵∠A=3∠ABC ∴∠ABC=∠A ∵BC平分∠ABP ∴∠ABP=2∠ABC=∠A ∵∠BCM=∠A+∠ABC ∴∠BCM=∠A+∠A=∠A ∵∠BCM=2∠BDC 由（2）可知 ∠APB=∠PBN=2∠DBN=2∠BDC ∴∠PBN=∠BCM=∠A ∴∠ABN=∠ABP+∠PBN=∠A+∠A=2∠A ∵AM∥BN ∴∠A+∠ABN=180° 即：∠A+2∠A=180° ∴∠A=60° 【题型6】平行线性质的实际应用 【典例】某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（    ） A.第一次向左拐，第二次向右拐 B.第一次向左拐，第二次向左拐 C.第一次向左拐，第二次向右拐 D.第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】B 【解析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．作出图形，根据平行线的性质即可得解． A、如图，第一次向左拐，第二次向右拐，行驶路线相交，故本选项错误； B、如图，第一次向左拐，第二次向左拐，向与原来的方向相反，故本选项正确； C、如图，第一次向左拐，第二次向右拐，行驶方向相同，故本选项错误； D、如图，第一次向左拐，第二次向右拐，行驶路线相交， 故选：B． 【强化训练1】如图1，汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看作平行光．现对此进行逆向分析，如图2，两条平行光线、、通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F，是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下列判断错误的是（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了平行线再生活中的应用，根据平行光的性质得到，再根据内错角相等即可得到，由平行公理得到，由不一定等于，得到不一定等于． 如图，    由题意得：，故 A正确； ， ，故 B正确； ，故 C正确； 不一定等于， 不一定等于，故D错误； 故选：D． 【强化训练2】如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了平行线的性质与判定的应用，作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【强化训练3】如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若行驶到C处后，小明想按正东方向行驶，则他在C处应该（    ） A.左拐 B.右拐 C.右拐 D.左拐 【答案】C 【解析】过点B作于点B，过点C作，如图，先求得，再根据平行线的性质得到．于是可判断他想仍按正东方向行驶，那么他向右拐． 过点B作与下东方向平行的射线BG，过点C作，并标记角，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴若小明想按正东方向行驶，则他在C处应该右拐70°，故选C． 【强化训练4】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成      度的角． 【答案】140 【解析】画出示意图，根据平行线的性质求解即可． 如图， ∵，， ∴． 故答案为：140． 【强化训练5】如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为      度． 【答案】90 【解析】根据题意可得BQ∥AP，再利用平行线的性质可得∠DBQ＝67°，从而求出∠DBC＝90°，然后利用平行线的性质进行计算即可解答． 由题意得：BQ∥AP， ∴∠DBQ＝∠DAP＝67°， ∵∠QBC＝23°， ∴∠DBC＝∠DBQ＋∠QBC＝90°， ∵EC∥DB， ∴∠ECB＝180°−∠DBC＝90°， 故答案为：90． 【强化训练6】如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为      度． 【答案】90 【解析】根据题意可得BQ∥AP，再利用平行线的性质可得∠DBQ＝67°，从而求出∠DBC＝90°，然后利用平行线的性质进行计算即可解答． 由题意得：BQ∥AP， ∴∠DBQ＝∠DAP＝67°， ∵∠QBC＝23°， ∴∠DBC＝∠DBQ＋∠QBC＝90°， ∵EC∥DB， ∴∠ECB＝180°−∠DBC＝90°， 故答案为：90． 【强化训练7】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成      度的角． 【答案】140 【解析】画出示意图，根据平行线的性质求解即可． 如图， ∵，， ∴． 故答案为：140． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版（2024）七年级下册 4.3 平行线的性质 题型专练 【题型1】利用两直线平行同位角相等求角度 【典例】如图，老师带领学生测量出，若，则（    ） A. B. C. D. 【强化训练1】将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A.28° B.52° C.62° D.72° 【强化训练2】如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（    ）    A. B. C. D. 【强化训练4】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是      ． 【强化训练5】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是         ． 【强化训练6】如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是      ． 【题型2】利用两直线平行内错角相等求角度 【典例】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，直线c与直线a、b都相交，若，，则（    ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】若将含有45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式叠放在一起，，则的度数为          °． 【强化训练4】如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为            ． 【强化训练5】如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线上，求的和. 【题型3】利用两直线平行内错角相等探究角的关系 【典例】如图，AB//CD，AD//BC，则下列各式中正确的是（　　） A.∠1＋∠2＞∠3 B.∠1＋∠2=∠3 C.∠1＋∠2＜∠3 D.∠1＋∠2与∠3大小无法确定 【强化训练1】如图，已知AD∥BC，在①∠BAC＝∠BDC，②∠DAC＝∠BCA，③∠ABD＝∠CDB，④∠ADB＝∠CBD中，可以得到的结论有(　　) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【强化训练2】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，，，那么平分吗？ 解：∵平分（已知）， ∴（________________________）， ∵（已知）， ∴_________， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（________________________）， （________________________）， ∴________________________（等量代换）． ∴平分． 【强化训练3】已知：如图AB∥CD，BE∥CF.试说明：∠1=∠4. 【题型4】利用两直线平行同旁内角互补求角度 【典例】如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小是（   ）    A. B. C. D. 【强化训练1】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，这是生活中常用的楼梯，其梯子的平面图如图所示，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】如图，直线，若，，则的度数为           ．    【强化训练4】如图，平分，若，则的度数为              ．    【强化训练5】如图，若，，求的度数． 【题型5】利用两直线平行同旁内角互补探究角的关系 【典例】如图，已知，平分，平分，则与的关系是（　　）    A.互为补角 B.互为余角  C.相等 D.无法确定 【强化训练1】已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（    ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，直线、分别截的两边，且．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】如图，已知，平分，平分，则与的关系是（　　）    A.互为补角 B.互为余角  C.相等 D.无法确定 【强化训练4】已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（    ） A. B. C. D. 【强化训练5】如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．    (1)当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：，，三者的关系； (2)当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由． 【强化训练6】如图，已知AMBN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． (1)若∠A＝70°，则∠CBD＝        ； (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； (3)当∠A＝3∠ABC，∠BCM＝2∠BDC，求∠A的度数． 【题型6】平行线性质的实际应用 【典例】某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（    ） A.第一次向左拐，第二次向右拐 B.第一次向左拐，第二次向左拐 C.第一次向左拐，第二次向右拐 D.第一次向左拐，第二次向右拐 【强化训练1】如图1，汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看作平行光．现对此进行逆向分析，如图2，两条平行光线、、通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F，是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下列判断错误的是（    ）    A. B. C. D. 【强化训练2】如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若行驶到C处后，小明想按正东方向行驶，则他在C处应该（    ） A.左拐 B.右拐 C.右拐 D.左拐 【强化训练4】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成      度的角． 【强化训练5】如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为      度． 【强化训练6】如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为      度． 【强化训练7】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成      度的角． 学科网（北京）股份有限公司 $