5.3一元一次方程的应用题型分类 解答题专题训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，通过销售盈亏、数字问题、方案选择三大题型，构建"基础应用-综合应用-拓展探究"三阶分层训练，强化模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一等量关系建立方程|如销售问题中成本与数量计算，巩固方程概念| |综合应用|多条件限制下方程与不等式结合|如方案选择中预算控制与最优方案设计，培养运算能力| |拓展探究|数字规律与模型构建|如十字框数字求和及存在性问题，发展抽象能力与创新意识|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、销售盈亏问题 1．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 2．水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 3．某体育用品商店购进一批运动鞋款和款，已知一双款的进价比一双款的进价多元，并且购进双款和双款的价格相同． (1)问每双款和每双款的进价分别是多少元? (2)该商店计划用元购进这两款鞋共双，则本次采购时最多可以购进多少双款鞋? (3)在（）的条件下，每双款的售价为元，每双款的售价为元，该 商店销售完这双鞋能否实现利润为元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 4．新华书店准备购进甲、乙两类中学生书刊．乙类书刊的进价比甲类书刊的进价的多3元/本，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价； (2)新华书店第一次购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润售价进价）为5750元，求购进甲、乙两类书刊的数量； (3)新华书店第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比第一次优惠了，新华书店准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚10元，求甲书刊打了几折． 5．为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 6．林叔叔向商店订购每件定价为100元的某种商品80件，林叔叔对商店经理说：“你每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了一下，如采用降价，订单增多，获得的利润反而比原来多100元．请你算一算这种商品的成本是多少元？ 二、数字问题 7．观察下面三行数： 2，，，，，，① ，，，，，，② 2、、14、、62、，③ (1)第①行第8个数是 ；第n个数是 ； (2)分别说出第②行第8个数是 ；和第③行第8个数是 ； (3)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 8．如图①，一些整数排列成数列，用如图②所示的方框框住五个数，设中间的一个数为． (1)这五个数从小到大分别是____________． (2)若这五个数的和为255，求出这五个数； (3)能否框住这样的五个数，使这五个数的和为455？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 9．探究题：如图所示是将连续的偶数排成的数表的一部分： 问： (1)十字框中的五个数的平均数与中间数16有什么关系？ (2)若将十字框上下或左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于320吗？请说明理由． 10．将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为40，则这5个数的和为____________； (2)十字框内五个数的最小和是____________； (3)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数：若不能，请说明理由． 11．将连续的奇数1，3，5，7，9⋯排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1)57这个数是第________行第________个数 (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含，的代数式表示_____． 12．将连续的奇数排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 三、方案选择问题 13．甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？ 14．下面是某购物平台的两种图书促销方式． 方式一：满100元减50元． 方式二：单件打六折． 考虑下列问题： (1)设某本书的原价为元，列表说明当在不同范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额． (2)观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你的想法． 15．某人型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠；小美第第一次购物用了94.5元，第二次购物用了282.8元． (1)小美第一次购物的原价为多少？ (2)小美第二次购物的原价为多少元？ 16．一游泳馆的收费标准是门票每张元．现推出会员购票优惠活动，每张会员卡元，仅限本人使用，凭会员卡购票每张优惠元．请回答下列问题： (1)小勇根据今年的购票次数，发现使用会员卡与不使用会员卡付了一样的钱，那么小勇今年购票多少次？（列方程解题） (2)若这家游泳馆提供线上购票服务（线上购票不能使用会员卡），线上购票可打折，但每张门票需加收元手续费．若小勇计划购买张门票，应该选择哪种购票方式更合算？ 17．某校准备在某超市为学生购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元． (1)求毛笔和宣纸的单价； (2)该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折． 若该校准备购买毛笔50支，宣纸张，则选择哪种方案（只能选择其中一种）更划算？请说明理由． 18．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元，商场决定活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带条（） (1)若该客户按方案一购买，需付款________元．（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款________元．（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当为何值时，按方案一购买和按方案二购买付款是一样的． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 2．(1)千克 (2)元 (3)5元 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； （2）以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； （3）设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 3．(1)款进价元，款进价元； (2)最多可以购进双款鞋； (3)能，采购方案为款双，款双． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，列出方程和不等式是解题的关键． （）设每双款的进价是元，则每双款的进价是元，根据题意得，然后解方程即可； （）设购进款鞋双，则购进款鞋双，根据题意得，然后解不等式即可； （）设采购方案款双，款双，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设每双款的进价是元，则每双款的进价是元， 根据题意得，，解得：， ∴每双款的进价是元， 答：每双款的进价是元，则每双款的进价是元； （2）解：设购进款鞋双，则购进款鞋双， 根据题意得，， 解得：， 答：最多可以购进双款鞋； （3）解：设采购方案为款双，款双， 根据题意得，， 解得：， ∴购买款双， 答：能实现利润为15000元的目标，采购方案为款双，款双． 4．(1)甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本 (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本 (3)甲书刊打了9折 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题干文字和表格中给出的关于乙类书刊进价的两个关系式，建立关于的等量关系，解方程即可求解； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，由全部售完后总利润利润售价进价为元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲书刊打了折，分别表示出本书的进价和售价，根据本书的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本； （2）解：设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得， 解得， 则乙类书刊购进（本）， 答：甲类书刊购进本，乙类书刊购进本． （3）解：设甲书刊打了折，则 本书的进价为（元）， 本书的售价为（元）， 根据题意，得， 解得， 答：甲书刊打了折． 5．(1)A公司买了彩灯15个，射灯35个 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意后，找到等量关系列方程是解题关键． （1）设买了个彩灯，则射灯买了个，根据买彩灯的费用加上买射灯的费用等于总费用来列方程，解出x即可； （2）彩灯的费用为，射灯的费用为，加起来等于总费用，列方程解出m即可． 【详解】（1）解：设A公司买了彩灯x个，则买了射灯个， 根据题意列方程：， 解得，， 射灯数量：个 答：A公司买了彩灯15个，射灯35个； （2）由题意可列方程： 解得， 答：m的值为20． 6．这种商品的成本是70元． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，重点在于准确理解降价带来的售价与销量双重变化，并正确列出利润表达式．通过设成本为未知数，根据降价前后利润的关系列出方程，求解得到成本． 【详解】解：原价100元，降价，即降价元，降价后每件价格元， 每降价1元多订购4件，降价5元多订购件，降价后订购件， 设该商品的成本价为元，列方程为： ， 整理得：， 解得：， 答：这种商品的成本是70元． 7．(1)； (2)； (3)存在这样一列，分别是256，254，510． 【分析】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出各行之间数的变化规律是解答此题的关键． （1）根据第①行每个数都是2的乘方得到，偶数个数的系数为负，据此即可求解； （2）利用第②③行与第①行的大小关系即可得出答案； （3）利用已知规律得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第①行：第n个数是， 第8个数是； 故答案为：；； （2）解：观察数据， 第②行第n个数是第①行第n个数减2； 第③行第n个数是第①行与第②行第n个数的和； ∴第②行第8个数是；第③行第8个数是； 故答案为：；； （3）解：存在， 由题意得，同一列的数字符号相同， ∴这三个数都是正数， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 解得， ∴存在这样一列，分别是256，254，510． 8．(1)，，，， (2)这五个数分别为，，，，． (3) 不能． 理由：根据题意，得，解得． 因为， 所以91在第11行第1列上，故不能框住这样的五个数． 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，找出图中四个数的规律是解题的关键． （1）根据数列相邻两数之间的关系求解即可； （2）将（1）中框柱的五个数相加求和，再由和为255列方程求解即可； （3）将框柱的五个数求和，由和为455列方程求得，根据数列排列特点判断即可得出结论． 【详解】（1）解：观察数列排列特点，这五个数从小到大分别是，，，，， 故答案为：，，，，； （2）解：根据题意，得，解得， 故这五个数分别为，，，，． （3）略 9．(1)相等 (2) 能，理由：设中间的数为，则十字框的五个数字之和为：， 故5个数字之和为， ， 解得：． 故中间数字是64时，十字框框住的5个数字之和能等于320． 【分析】此题考查的是规律探索题，找到各个数之间的关系并列出方程是解决此题的关键． （1）先计算五个数的平均数，再与中间数16比较即可； （2）设中间数为，再用分别表示出其它的四个数（竖着相邻两数差10，横着相邻两数差2），利用五个数的和列方程，再解方程分解． 【详解】（1）解：因为， 所以是相等关系； （2）略 10．(1) (2) (3) 解：和能不等于2030，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． ∵将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵， ∴第个数为， 当时，解得：， ∴排在第位， ∵在第，即在第行第个，即是第34行最后一个数， ∴不能在十字框的中间， ∴它们的和不能等于2030． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少 2 和多 2，上下两个数比中间数少 12 和多 12，据此求出这 5 个数并求和． （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和． （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于 2030 列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． 【详解】（1）解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这个数的和为． （2）解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这个数的和为． （3）略 11．(1)5；5 (2)81 (3) 【分析】本题考查了数字类规律、一元一次方程的应用，找出数字变化的规律是解题的关键． （1）由数表可得，第5行的数从左到右分别为49，51，53，55，57，59，即可得出答案； （2）设四个数最大的数为，则另外三个数为，，，根据题意列出方程，解出的值即可得出答案； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数，再表示出第个奇数即可． 【详解】（1）解：由数表可得，第5行的数从左到右分别为49，51，53，55，57，59， 57这个数是第5行第5个数． 故答案为：5；5． （2）解：设四个数最大的数为，则另外三个数为，，， 由题意得，， 解得：， 答：四个数中的最大数为81． （3）解：根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数， ． 故答案为：． 12．(1)这五个数之和是中间数15的5倍 (2)5a (3)不能；能 【分析】本题考查了列代数式、数字的规律，整式的加减，及一元一次方程的应用； （1）求出这个数的和即可得； （2）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （3）根据五个数的和分别为、列方程求解后，求出a的值即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得，． 因此十字形框中的五个数之和是中间数15的5倍． （2）解：设框住的五个数的中间数为，则其余的4个数分别为． 由题意，得． （3）解：十字形框中的五个数之和不能等于2022，因为2022不是5的倍数； 能等于2025，因为2025是5的倍数，且中间数为405，是奇数，405在第三列， 故可以得出5个数之和等于2025． 13．(1)， (2)6件 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用： （1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）根据（1）所求，结合甲、乙两个商场的收费相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：由题意得， ， 解得， 答：当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件． 14．(1) 解：由题意，列表如下： 原价/元 方案一/元 方案二/元 50 60 (2) 当时，按方案二购买比较合适， 当时，按方案一购买比较合适； 当时，当时，解得：， ∴当时，按照方案一买合适，当时，两种方案费用一样，当时，按照方案二购买合适； 综上：和时，按照方案二购买比较省钱，当时，按照方案一购买比较省钱；当时，两种方案费用一样． 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）分三种情况，列出表格即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．(1)小美第一次购物原价为94.5元或105元 (2)小美第二次购物的原价为316元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，注意分情况讨论． （1）因为小美两次购物分别用了94.5元，要分情况讨论，情况1： 小美第一次购物没有优惠，情况2： 小美第一次购物原价超过100元； （2）小美第二次购物原价超过300元．列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以小美第一次购物分两种情况： 情况1： 小美第一次购物没有优惠，故原价为94.5元； 情况2： 小美第一次购物原价超过100元，则第一次购物原价为：（元） 答：小美第一次购物原价为94.5元或105元． （2）解：设小美第二次购物的原价为x元 ， ∵ ∴小美第二次购物超过300元 则 解得： 答：小美第二次购物的原价为316元． 16．(1)小勇今年购票次，使用会员卡和不使用会员卡付一样的钱 (2)若小勇计划购买张电影票，他应该选择线上购票方式更合算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算． 设小勇今年购票次时，使用会员卡和不使用会员卡付一样的钱，根据两种付费方式列出关于的一元一次方程，解方程求出购票次数； 当小勇购买张门票时，有三种购票方式，分别为：直接购买，没有优惠；使用会员卡购买；线上购票．把三种购票方案需要的费用分别计算出来，通过比较选择最优惠的购票方案． 【详解】（1）解：设小勇今年购票次时，使用会员卡和不使用会员卡付一样的钱， 根据题意，列方程得：， 解得：， 答：小勇今年购票次，使用会员卡和不使用会员卡付一样的钱； （2）解：当小勇购买张门票时，有三种购票方式， 方式一：直接购买，费用为（元） 方式二：使用会员卡购买，费用为（元） 方式三：线上购票，费用为（元） ， 因此，若小勇计划购买张电影票，他应该选择线上购票方式更合算． 17．(1)毛笔的单价为5元/支，宣纸的单价为元/张 (2)当时，选择方案A划算；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案B划算 【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出毛笔和宣纸的单价； （2）利用总价=单价×数量，可分别用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用，分，及三种情况，求出a的取值范围或a的值，进而可得出：当时，选择方案A划算；当时，选择两种方案费用相同；当时，选择方案B划算． 【详解】（1）解：设毛笔的单价为元/支，宣纸的单价为元/张， 根据题意，得， 解得， 答：毛笔的单价为5元/支，宣纸的单价为元/张． （2）解：选择方案A所需费用为元； 选择方案B所需费用为元． 当时，解得． ， ； 当时，解得； 当时，解得． 综上所述，当时，选择方案A划算；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案B划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，利用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用． 18．(1)； (2)此时按方案一购买较为合算 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，代数式求值： （1）根据所给的优惠方案，分别求出对应方案下西装和领带的费用，求和即可得到对应方案的费用； （2）把分别代入（1）所求代数式中，求出对应方案的费用，比较即可得到答案； （3）令（1）中所求两个代数式相等，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，该客户按方案一购买，需付款元； 该客户按方案二购买，需付款元； （2）解：当时，， ， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算； （3）解：由题意得，， 解得， 答：当时，按方案一购买和按方案二购买付款是一样的 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $