精品解析：江苏省高淳高级中学2027届高三年级9月学情调研数学试卷

江苏省高淳高级中学2027届高三年级学情调研 数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为全集，集合，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数（）在上的值域为，则可以为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 7. 已知，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 存在，使得函数恰有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 13. 已知，则的值是______． 14. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，为的导函数. （1）若，求证：； （2）若对任意，，求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 19. 设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； （3）证明：函数具有性质的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省高淳高级中学2027届高三年级学情调研 数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：​，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 2. 已知为全集，集合，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，． 3. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误； 选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确． 4. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出选项中的关系，利用充要条件的定义即可判断. 【详解】对于选项A，由得，即，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B，取，则，所以不是的必要条件，故B错误； 对于选项C，等价于，所以是的充要条件，故C错误； 对于选项D，等价于，所以是的充要条件，故D错误. 5. 已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三棱锥的体积公式列式求解. 【详解】由平行六面体的体积为8，得， 设到平面的距离为，由，得， 而的面积为，解得， 所以到平面的距离为. 6. 若函数（）在上的值域为，则可以为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 7. 已知，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及向量数量积的运算律求解即可. 【详解】设的中点为，如图 则，且 因为, 所以 ， 当同向共线时，等号成立. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的偶函数条件得到的对称关系并求导判断B，再用反例排除A、C、D. 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 存在，使得函数恰有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据正弦函数非负确定定义域，再结合复合函数单调性判断区间单调性；通过方程变形为两个函数图像的交点问题，利用平移和交点个数判断值域中是否包含特定值及零点个数. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确. 当时，函数单调递增，所以在上单调递增，C正确. 记，则. 当时，函数与的图象显然没有交点， 即的值域中一定不含，B错误. 当时，函数与的图象如图所示， 若将函数的图象往右移一点，两个函数的图象有两个交点， 所以存在，使得函数恰有两个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到切点处斜率满足的关系，再结合切点同时在曲线和切线上，代入整理即可求得的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则，即， 又因为切点同时在切线上，故，则， 即，则. 13. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 14. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先分析二项展开式中系数为负数的项的个数，再计算排列中存在系数为负数的项相邻（即）的概率，最后即可根据期望的定义计算． 【详解】二项式的通项公式为， 显然该二项式展开共有项，且当时，即第项系数为负数， 所以存在系数为负数的项相邻的排列数为, 又排列总数为，所以， 因此． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，为的导函数. （1）若，求证：； （2）若对任意，，求的取值范围. 【答案】（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得，再根据基本不等式即可得出证明； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论得出在上的单调性，得出其在上的最小值，解不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）存在 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 而，又得：． 【小问2详解】 由（1）知：，，由得： 得，， ，或， 解得：或，， 得：或，， 所以的解集为：. 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【小问1详解】 甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； 【小问2详解】 甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 【小问3详解】 乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 19. 设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； （3）证明：函数具有性质的充要条件是． 【答案】（1）具有性质，理由为： 由得，.设，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得，即， 故函数具有性质. （2） （3）证明：由得，，由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值0， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，由函数的性质可得，即， 且当时，，，，则， 则存在满足，即成立，所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则， 由得， 若，则，与已知矛盾. 若，设，则， 即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 先证明， 令，，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾. 综上，函数具有性质的充要条件为. 【解析】 【分析】（1）利用定义检验即可； （2）利用定义将问题转化成三次函数问题，分离参数，利用函数有三个解即可研究参数的范围； （3）利用定义，结合逻辑关系，从充分性和必要性两个方向出发，结合导数知识即可证明. 【详解】（1）略. （2）解：.由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得 即，即 由已知方程有三个不相等的实数根. 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值0 ↘ 极小值 ↗ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是. （3）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $