专题02 二次函数的图象与各系数关系7大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与系数关系，通过7类基础题型到综合应用的递进设计，培养几何直观与推理意识，实现从单一符号判断到复杂代数式推理的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型突破|约28题|含符号判断、函数值分析、对称轴应用等7类基础题型|从a/b/c/△符号判断（概念生成）到含a,b,c代数式推理（原理推导），再到图象变换（应用拓展）| |综合攻坚拔高|约15题|多结论判断、跨知识点综合题|整合函数性质与方程思想，强化模型观念，覆盖中考高频易错点|

专题02 二次函数的图象与各系数关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与各系数关系 题型1 直接判断a、b、c和△的符号 题型2 判断特殊自变量对应的函数值符号 题型3 利用对称轴推导a、b的等量（不等量）关系 题型4 判断含a、b、c的复杂代数式正误 题型5 比较函数值大小 题型6 图象平移翻折后系数变化 题型7 二次函数图象与系数关系综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与各系数关系 ◆题型1 直接判断a、b、c和△的符号 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 2．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． ◆题型2 判断特殊自变量对应的函数值符号 5．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 6．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点的横坐标为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． ◆题型3 利用对称轴推导a、b的等量（不等量）关系 9．已知：二次函数的图像如图所示，经过点和，正确的是（　　） A． B． C．（m为任意实数） D． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 12．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ◆题型4 判断含a、b、c的复杂代数式正误 13．（多选）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若是抛物线上的两点，则 D．（其中） 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 15．如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 16．已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．现有下列结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型5 比较函数值大小 17．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．抛物线的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ ◆题型6 图象平移翻折后系数变化 21．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 22．二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 23．若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 24．在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（   ） A．2，，11 B．2，，5 C．，，11 D．，8，5 ◆题型7 二次函数图象与系数关系综合 25．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 26．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 28．已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知点，是二次函数图像上两点，且点关于原点对称，若该函数的对称轴始终位于直线的右侧，则在下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．函数有最大值 B．当时， C． D．当时，随的增大而减小 6．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有_______．（填写序号） 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④其中正确结论有______． 8．已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为__________． 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是____________． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 10．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法： ①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是____________． 11．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 _______（填序号）． 12．已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③； ④若方程的两根为，则．其中正确的有______． 13．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点M，点N是函数图象上的两点，则；④；⑤若t为任意实数，则，其中正确的结论有________________． 14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为______________． 15．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤． 其中正确的是______填序号．        1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的图象与各系数关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与各系数关系 题型1 直接判断a、b、c和△的符号 题型2 判断特殊自变量对应的函数值符号 题型3 利用对称轴推导a、b的等量（不等量）关系 题型4 判断含a、b、c的复杂代数式正误 题型5 比较函数值大小 题型6 图象平移翻折后系数变化 题型7 二次函数图象与系数关系综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与各系数关系 ◆题型1 直接判断a、b、c和△的符号 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 2．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 3．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 4．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． ◆题型2 判断特殊自变量对应的函数值符号 5．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向可判断①，根据对称轴公式可判断②，根据函数图象与x轴有两个不同的交点可判断③，根据当时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； ∴正确的只有③， 故答案为：③． 6．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性，开口方向等知识是关键． 根据二次函数图象开口，对称性得到时，，结合特殊值即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴， ∴B选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误； 当时，， ∴当时，，则，故A选项错误； 当时，，故D选项错误； 故选：B ． 7．二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系． ①由开口方向及对称轴的位置可判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；②由抛物线与x轴的交点个数可判断的符号；③观察当时，对应的函数值，可判断的符号． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，，对称轴， ∴， 故，正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，正确． ③当时，函数值，即，正确； 正确的有3个， 故选：D． 8．如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点的横坐标为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知该抛物线开口向下，对称轴为直线，然后可判断A、B，分别把和代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，即，对称轴为直线，则有， 当时，则；当时，则； 所以错误的是C选项； 故选C． ◆题型3 利用对称轴推导a、b的等量（不等量）关系 9．已知：二次函数的图像如图所示，经过点和，正确的是（　　） A． B． C．（m为任意实数） D． 【答案】A 【分析】本题考查图像与二次函数系数之间的关系，能根据图像特点得出各系数的正负及其相互关系是解题关键．由题意得出，结合判断A选项；根据对称轴判断B选项；根据当时，有判断C选项；根据即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数经过点和． ∴， ∴，即， 又∵， ∴，因此选项A正确； ∵对称轴， ∴，因此选项B不正确； 当时，， 当时，有，则（m为任意实数）错误，因此选项C不正确； ∵，即，则，因此选项D不正确； 故选：A． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质；根据二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，可得，，即可判断③；再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据当时，，可判断②；根据当时，以及，可判断④． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵根据函数图象可知：当时，， ∴，故②正确； ∵根据函数图象可知：当时，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：C． 11．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出，再观察函数，得出，整理得，故，观察函数图象，当时，则，得，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③ 12．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． ◆题型4 判断含a、b、c的复杂代数式正误 13．（多选）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若是抛物线上的两点，则 D．（其中） 【答案】AD 【详解】二次函数经过点， ，故B错误； ， ， 将代入中，得，故A正确； 抛物线开口向下，对称轴为，且， ，故C错误； 当时，有最大值，此时， 当时，， （其中，故D正确． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 15．如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 16．已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．现有下列结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和与轴交于负半轴，来判断出，再根据对称轴的得到求解A；根据对称轴来判断B，根据由图象可知，当时，，再结合来求解C；根据图象可知，当时，来求解D． 【详解】解：二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴， . 对称轴为直线，即， ， ，故A错误； ， ，故B错误； 由图象可知，当时，， ， ， 即，故C项错误； 由图象对称性可知，当时的函数值与时的函数值相等， 故由图象，时，与， ，故D项正确， 综上所述，正确的是D． ◆题型5 比较函数值大小 17．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，即；再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；因为对称轴，当时，，则当时，，即可判断②；由对称轴为直线，则，即可判断③； 由，即，由抛物线的对称轴是直线，即点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，所以，故可以判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 18．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 【答案】 ①②③ 【分析】根据抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，可得，再根据对称轴为直线，可得，即可判断①②；然后说明，可得和关于对称轴对称，进而得出，说明③即可；最后根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④． 【详解】解：由图象可知抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， 则可知①②正确； ∵，且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， 则，可知③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，可知④不正确． 则正确的有． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据抛物线图象确定参数的取值即可； ②根据对称轴确定点坐标，然后当时，确定函数值的取值即可； ③根据对称轴确定参数的数量关系即可； ④根据抛物线顶点坐标即可确定不等式． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵抛物线交轴于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线，且， ∴， 结合抛物线图象可得，当时，， 即， 故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④∵抛物线开口向下， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 当时，， 当时，， ∴， 即， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故选：C． 20．抛物线的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会根据二次函数的图象判断各项系数和式子符号是解答的关键． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：①∵图象开口向下，对称轴为直线，图象与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， 则①错误； ②∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，．故②正确． ③当时，二次函数取得最大值为． 当时，二次函数的值为， ∴ 即， ∴ 故③正确． ④∵当时，． 当时，， ∴， ∴，即，故④错误， 所以正确的结论是②③． 故选C． ◆题型6 图象平移翻折后系数变化 21．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 22．二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移规律及多项式相等的条件，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移法则，以及通过比较多项式系数求解参数是解题的关键． 先根据函数平移的“左加右减，上加下减”法则，对原二次函数进行平移变换，得到平移后的函数表达式；再将其与题目给出的平移后函数进行对比，通过比较系数求出和的值． 【详解】解：∵原函数为， ∴向右平移2个单位后：， ∴向下平移1个单位后：，即， ∵平移后函数为， ∴， ∴， ∵等式左边无项， ∴，解得， ∴代入常数项：， 故选：B． 23．若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值． 【详解】∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为， ∴抛物线为． 展开得， 故选：A。 24．在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（   ） A．2，，11 B．2，，5 C．，，11 D．，8，5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，由题意得出，结合题意得出抛物线的顶点坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标为，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数关于轴对称的图象，再绕图象的顶点旋转，所得抛物线与抛物线的开口方向相同， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴最后得到的抛物线的解析式为， ∴． 故选：A． ◆题型7 二次函数图象与系数关系综合 25．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【答案】C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 26．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 27．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数．①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得，再根据，即可得结论． 【详解】解：①观察图象开口向下，，故①正确； ②对称轴在y轴右侧，，故②正确； ③∵抛物线与x轴的一个交点B的坐标为，对称轴在y轴右侧， ∴当时，，即，故③错误； ④∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，故④正确． 综上：①②④正确． 故答案为：①②④． 28．已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，即可得出的符号，即可判断①，根据时，，即可判断②，根据时，即可判断③，根据时，，即可判断④，根据抛物线开口向下，时，的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ，故①正确； ②当时，，故，故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误； ④由对称知，当时，函数值小于，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时， ， 所以， 故，即，故⑤错误． 故①②④正确． 故答案为：①②④． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的性质，核心是利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合特殊点的函数值，判别式分析代数式的符号． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：已知抛物线经过，对称轴是，结合图象开口向下，因此， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， ，故A错误； 抛物线与轴有2个交点，说明一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式，即，故B错误； 当时，函数值为， 根据图象可得，当时，，故C错误； 对称轴公式，整理，即，故D正确． 故选：D． 2．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与y轴的交点位置可判断出a、b、c的符号，可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；利用和时的函数值可判断和的符号，可判断③；把代入整理可得，可判断④，可求得答案． 【详解】因为抛物线开口向下，所以， 对称轴为， ，即， 因为抛物线与y轴交点在x轴上方， ， ，故①不正确； 因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根， ， 故②不正确； 当时，，当时，， ，， ， 即， ，故③不正确； ， ， 若，则， 即，则有，而由题意可知，故④正确； 综上可知正确的只有1个，所以A选项是正确的． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题． 3．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 4．已知点，是二次函数图像上两点，且点关于原点对称，若该函数的对称轴始终位于直线的右侧，则在下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入， 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④，共3个． 故选：C． 5．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．函数有最大值 B．当时， C． D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，当时，函数值大于 0 ，即即判断C选项，根据函数图象，直接可得时，即可判断 B 选项，根据函数图象开口向下，即可判断A选项，根据对称轴为直线，开口向下，即可判断 D 选项． 【详解】解：根据函数图象可得：当时，函数值大于 0 ，即，故C选项错误，符合题意； 当时，，故B选项正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴函数有最大值，故A选项正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有_______．（填写序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据函数图象分别判断a,b,c的符号即可判断结论①；利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论③；利用和时的函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴a，b同号，即， ∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴，即，故④正确； 故答案为：②④． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④其中正确结论有______． 【答案】①②③④ 【分析】根据开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断①；根据二次函数的对称性和图象上点的坐标特征即可判断②；根据二次函数的对称性和增减性即可判断③；通过求得，由，即可判断④． 本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 【详解】解：①由开口可知：， 对称轴， ， 由抛物线与y轴的交点可知：， ，故①正确； ②抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另外一个交点为， 时，， ，故②正确； ③由于，且关于直线的对称点的坐标为， ， ，故③正确， ④， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确 故答案为①②③④． 8．已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，求得该函数的对称轴，进而根据二次函数性质，离对称轴距离越近其值越大，建立不等式，求解即可； 【详解】解：由题可知，抛物线（，是常数且，）经过点， 则对称轴为， 则， 则， ， ， 该抛物线开口向下， 根据二次函数性质可知，离对称轴距离越近其值越大， 则， 即， 两边平方可得：， 解得：； 故答案为： 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是____________． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 【答案】④⑥ 【分析】此题考查掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可得：抛物线开口向上，即， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即， ∴，故①错误； 由函数图象可得：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故③错误； 由图象可得抛物线与x轴的一个交点为，又对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，则是方程的一个根，故④正确； ∵，，， 且 ∴，故⑤错误； 抛物线交轴于，，则， 则 ∵抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界）， ∴，即：， ∴，故⑥正确； 综上，正确的是④⑥， 故答案为：④⑥． 10．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法： ①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是____________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得到，，，可判断①结论；由函数图象可知，当时，，可判断②结论；根据当时，有最大值，可判断③结论；根据和点关于对称轴直线对称，可判断④结论． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，①结论正确； 由函数图象可知，当时，， ， ， ，②结论正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值； 当时，， ， ， ， ， ，③结论错误； 和点满足， 和点关于对称轴直线对称， ， ，， ， ，， ，④结论正确， 故答案为：①②④ 11．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 _______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 12．已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③； ④若方程的两根为，则．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． ①③当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出，再判断a的范围； ②将，代入方程，根据根的判别式即可判断； ④由，，可得，所以，再根据b的范围求解后即可判断． 【详解】解：抛物线，，是常数，经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值． ， ，解得：， ， ， ，， ， 故①③正确； ，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故②正确； ，， ， ， ， ， 故④正确； 故答案为：①②③④ 13．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点M，点N是函数图象上的两点，则；④；⑤若t为任意实数，则，其中正确的结论有________________． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，对称轴结合特殊点以及的范围判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线 ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴；故②正确； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，函数值最大， ∴， ∴；故⑤错误； 故答案为：①②③④． 14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为______________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④. 15．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤． 其中正确的是______填序号．        【答案】②③⑤ 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出， ，，据此可判断①；根据图当时所对应点的位置可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤． 【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此， 由于抛物线的对称轴是直线，所以、异号，而，所以， 由于抛物线与轴的交点在轴的正半轴，因此， 所以， 因此①不正确； 由图象可知，当时，，即， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，等于c，c大于0， 当时，， 因此③正确； 因为对称轴为，即， 而当时，， 所以， 即， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握：抛物线的开口方向确定a的正负，对称轴的位置及a的符号确定b的符号，与y轴交点的位置确定c的符号． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $