专题02 相似三角形的实际应用12大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形实际应用，通过12类场景化题型构建"问题情境-模型构建-相似应用"的完整解题链，强化数学建模与跨学科实践能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |建筑高度问题|3题|含标杆测量、影子重叠等变式|以平行投影为基础，通过构造"A型"相似三角形建立比例关系| |影长问题|3题|结合阳光下、灯光下及古代土圭测影|区分平行投影与中心投影，应用相似比解决动态影长问题| |河宽/树高问题|6题|含直接测量、镜面反射等方案|利用"一线三垂直"模型转化不可直接测量距离| |杠杆/实验问题|6题|融合物理杠杆原理与光学实验|通过相似三角形性质推导物理量间的函数关系| |古代问题|3题|源自《九章算术》等典籍|将古代算题抽象为几何模型，体现数学文化传承| |综合应用|10题|含最值、裁剪、材料阅读等|综合相似判定与性质，培养复杂问题转化能力|

专题02相似三角形的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 题型一、建筑高度问题（高频） 题型二、影长问题（高频） 题型三、河宽问题 题型四、树高问题 题型五、杠杆问题 题型六、实验问题 题型七、古代问题 题型八、裁剪问题 题型九、生活实际问题（高频） 题型十、三角形的内接矩形问题（高频） 题型十一、相似三角形中的最值问题 题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 ◆题型一、建筑高度问题 1．（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1)12 (2)10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 【答案】(1) (2)乙树的高度为米 (3)丙树的高度为米 【分析】（1）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （2）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （3）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； 本题考查了同一时刻物体的高度与影长比例相同，熟练运用同一时刻物体的高度与影长比例相同是解题的关键． 【详解】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得， ， 解得：， ∴甲树的高度为米， 故答案为米； （2）解：如图，设为乙树的高度， ∵米，米， ∴米 ， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴乙树的高度为米． （3）解：如图，过点D作于点F，则四边形是矩形， 由题意得，， ∴， ∵ ∴， 解得 ∴丙树的高度为（米）． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二，三；灯柱的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行， 选方案一， ， ， ， ， 设， 则， 同理可得， ， ， 解得：， ， 答：灯柱的高度为． ◆题型二、影长问题 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 【答案】(1) (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长． 【答案】24尺 【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 由，得，知，故，即第二时刻的影长为24尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：，， ∴； 故第二时刻的影长为24尺． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：， 灯杆的长为； （2）由题意得：，， ， ， ， 解得：； ∴此时小华的影长的长为． ◆题型三、河宽问题 7．（24-25九年级上·广西百色·期中）某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 【答案】14米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是14米． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度． 项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据： 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务． 任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度； （2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可） 任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？ 【答案】（1）河流的宽度为；（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键： （1）证明，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可； （2）根据题意可知本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识； （3）证明，得到，要求出的长，需要知道的长，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故河流的宽度为； （2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）； （3）如图：根据题意可得， 则， ∴， ∴要求出的长，需要知道的长， ∴需要测量的线段为． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥长120米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长即可． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：，解得：． ∴桥的长度为120米． ◆题型四、树高问题 10．（24-25九年级下·陕西渭南·开学考试）某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度． 【答案】树的高度为6米 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵米，米， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 答：树的高度为6米． 11．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： (1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． (2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米， ①甲树的高度为______米， ②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据同一时间竹竿的高度与影长之比等于树的长度与树的影长之比即可求得； （2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲树的高度为米 根据题意得： 解得： 故答案为： （2）解：连接并延长交的延长线于，延长交于，连接， ∵米，米，米 ∴（米） ∴ ∴ ∴（米） ∴（米） 答：乙树的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形列出比例式是解题的关键． ◆题型五、杠杆问题 13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 【答案】支点到地面的高度为为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：依题意得： ，， ， ， ， 又，， ， ， 同理可证： ， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 14．（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 【答案】(1)4米 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． （1）直接利用等腰三角形的“三线合一”得米，根据相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理和相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过A点作于F， 米，米，米， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为4米； （2）解：过点G作于点F，过点A作于点H，则，如图所示： 米，， 米， （米）， （米）， ，， ， ， ， 解得（米）， ∴此时点G到水平底板的距离为米． 15．（24-25九年级上·广东佛山·期末）【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． (1)支柱的高度 米． (2)保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） (3)请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 【答案】(1) (2)不会 (3) 方案：如图，将支点装在距离跷跷板端点米处， 过点作于点，则， ， ， 米，米，米， ， 米， 即将支点装在距离跷跷板端点米处，满足要求． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理求解即可； （2）利用三角形中位线定理求解即可； （3）如图，将支点装在距离跷跷板端点米处，根据相似三角形的判定与性质，求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， 是的中位线， （米）， 故答案为：； （2）解：支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度不会变化，理由： 这个高度（米）， 故答案为：不会； （3）略 ◆题型六、实验问题 16．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）当减小、增大时，的高度变大； （4） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可； （4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． 17．（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 18．（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 【答案】（1）①设，，，， ∵，， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 即规律1得证． ②连接， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴，，即规律2得证． （2）或 （3）或或 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，得到，证明，得到，即可推导解题即可； ②连接，即可得到四边形为平行四边形，证明，即可得到结论； （2）根据题意可证，，根据对应边成比例解答即可； （3）分为或两种情况，根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：①略 ②略 （2）解：设物体的长为a，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，即蜡烛和透镜的距离为或． （3）解：或或． ①当时， ∵， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴，即 ∴，（舍去） ∴． ②当时 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即 ∴，， ∴或， 综上所述，u的值为或或． ◆题型七、古代问题 19．（25-26八年级下·山东烟台·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？” 其大意是：如图，一座正方形城池，在各边的中点开门．A为北门的中点，出北门往正北方向走30步（“步”为古代的长度单位），有一棵树木（点B）．C为西门的中点，出西门往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？ 请你用所学知识解决这个问题． 【答案】正方形城池的边长为300步 【分析】根据题意可得∠BAE=∠ECD=90°，BA//EC，则可证明△BAE∽△ECD，   得到AE∶CD=BA∶EC，设正方形城池的边长为x步，则，解方程即可． 【详解】解：由题意知：∠BAE=∠ECD=90°， ∴BA//EC, ∴∠B=∠DEC， ∴△BAE∽△ECD，    ∴AE∶CD=BA∶EC， 设正方形城池的边长为x步，则 ， 解得，x1=300，x2=-300（舍去）， 所以正方形城池的边长为300步， 答：正方形城池的边长为300步． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 【答案】． 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为， ∴， 解得：， ∴． 21．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，据题意可得，，，可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， 又∵， ， ． ，， ， ， ． 答：树高为． ◆题型八、裁剪问题 22．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36º的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线． (1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45º的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) ． (2)如图3，△ABC 中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长． 【答案】（1）图见解析，；（2）三分线长分别是和 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数； （2）根据等腰三角形的判定定力容易画出图形，设，则，，则，得出对应边成比例，设，得出方程组，解方程即可得． 【详解】解:(1)作图如图1、图2所示: 在图1中， 即三个等腰三角形的顶角分别为 在图2中，   ， ， 即三个等腰三角形的顶角分别为 (2) 如图3所示，就是所求的三分线 设，则， 此时， 设 ， ∵，∴ ∵，∴， 解方程组 解得：，或（负值舍去） ， 即三分线长分别是和 【点睛】本题是相似形的综合性题目，考查了等腰三角形的判定和性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定和性质、解方程组等知识，本题考查学生学习的理解能力及动手创新能力，综合性较强，有一定难度． 23．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 【答案】(1)84（cm）2;(2) 78cm;(3) 756（cm）2 【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）根据相似三角形的性质得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到结论； （3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AC⊥BD， ∴小风筝的面积S＝AC•BD＝×12×14＝84（cm）2； （2）∵小风筝与大风筝形状完全相同， ∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′， ∴△ABCD∽△A′B′C′D′， ∵它们的对应边之比为1：3， ∴A′C′＝3AC＝42cm， 同理B′D′＝3BD＝36cm， ∴至少需用42+36＝78cm的材料； （3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积＝矩形的面积﹣大风筝的面积＝42×36﹣9×84＝756（cm）2． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 24．（2025·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：略； 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． ◆题型九、生活实际问题 25．（2025·陕西渭南·二模）数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）．    【答案】 在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直树立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示， 【分析】利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆AB的高度为． 【点睛】本题考查实际问题中测量较高物品的高度，利用标杆时通常采用视线共线方案，通过三角形相似来计算高度．注意视线共线时，高度为眼睛距地面的高度，非测量人员身高． 26．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； (3)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵立杆相交于点， ． ， ， ∴； (2)， (3)晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）证明，即可求解，再证明，即可求解； （3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上． 27．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）略 ◆题型十、三角形的内接矩形问题 28．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 29．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当面积为时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长． 【答案】(1) (2)这个零件的边长为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，由对应高之比等于相似比得，据此求解即可 【详解】（1）∵，高， ∴． ∵矩形零件， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为． 30．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    【答案】甲同学的加工方法符合要求 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得出，，，再根据正方形的性质得出，，再分别设图①正方形的边长为，图②正方形的边长为，代入数值得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，，面积为， ∴， 解得：， 如图①，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 如图②，过点作，分别交于两点，    又∵，，面积为，， ∴，， ∴，， 设图②正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求． ◆题型十一、相似三角形中的最值问题 31．（25-26九年级上·陕西西安·期中）某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．    (1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值 (2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值． 【答案】(1)，最小值为 (2)，最小值为 【分析】对于（1），作点A关于直线的对称点，可知，要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点，M，E三点共线时取最小值，即，再根据勾股定理求出答案； 对于（2），作点A关于直线的对称点，连接，作，且，连接，再根据勾股定理，求出，可得，然后确定点的位置，再延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，可得的最小值，最后根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）如图所示，作点A关于直线的对称点， ∴． 要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点，M，E三点共线时取最小值，即．    过点E作，交于点F， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 所以的最小值为． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得． 当时，的最小值为． （2）如图所示．作点A关于直线的对称点，连接，作，且，连接， 根据勾股定理，得． ∴四边形是平行四边形， ∴． 要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知点E，，F三点共线时，最小，即． 延长交的延长线于点G． 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得． 当时，的最小值为．    【点睛】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，两点之间线段最短等，勾股定理求线段长的常用方法． 32．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 问题提出 （1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；    思维转换 （2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；    拓展应用 （3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．    【答案】（1）如图①，点即为所求，    （2）； （3） 【分析】（1）作点A的对称点，由两点之间线段最短即可求解； （2）将M、N看作定点，E看作动点，由（1）作法可解； （3）由相似得出为定值，再根据（2）作法求出的最值，即可求解． 【详解】解：（1）作法：作点A关于的对称点， 连接，交直线于点，由对称可得， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最短，即最短； （2）如图②，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，则的值即是的最小值，    ∵点到直线的距离为， ∴ ∵ ∴， ∴，即的最小值为； （3）如图③，过作，，作关于直线的对称点，连接，    由（2）可得，为的最小值， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，由题意可得：， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴ 由题意可得：， ∴ ∴，即 解得， ∴ ∵， ∴ ∴， 周长的最小值 【点睛】本题考查了线段和最值作法的应用，三角形相似的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 33．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． ◆题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 34．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 35．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 36．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·河北沧州·三模）如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（   ） A．2米 B．3米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先利用平行得到，结合30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体缩小为原来的． 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（   ） A．30米 B．36米 C．40米 D．56米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线判定相似三角形、利用相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出河的宽度． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得（米）， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北邢台·期中）手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出，然后利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 即， 故选：C． 6．（2025·广西梧州·二模）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 7．（2026·河北保定·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 【答案】20 【分析】利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∵中边上的高为米，中边上高为米， ∴， ∴若在光源不动的情况下，小明的手，则手影． 8．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：30． 9．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为____________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 设正方形边长为，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：如图，设正方体的棱长为，与交于点P， 为的高， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北·阶段检测）“今有邑，东西六里，南北八里，各开中门，出东门五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形，东边城墙长8里，南边城墙长6里，东门点E、南门点F分别是的中点，，，里,经过A点，则__________里 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据矩形的直角特性和线段垂直关系，识别出直角三角形的相似关系，利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式，求解的长度． 先根据矩形边长及中点定义，求出的一半，4里）和的一半，3里）；再由、及矩形的直角性质，推出，结合“同角的余角相等”得，判定；最后根据相似三角形对应边成比例，代入、、的数值计算． 【详解】解：∵四边形是矩形，里，里，、分别是、的中点， ∴里，里，且 ∵，， ∴，， ∴ ∵，， ∴（同角的余角相等）． ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知里，代入得， 交叉相乘得， 解得． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答． 【详解】解：如图，在正方形中，（分米）， 由此裁剪可得，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即（分米）， （分米）， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 礼品盒的体积为（立方分米）． 故答案为：8． 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）图1是某兴趣小组探究凸透镜成像规律的装置图，图2是由图1抽象出的几何图形，蜡烛发出的一条平行于主光轴l的光线，经过凸透镜折射后过焦点，并与过凸透镜中心的光线相交于点，其中四边形是矩形，于点，于点． (1)将高为厘米的蜡烛进行移动，使物距为厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为厘米，求像的高度； (2)在（）的条件下，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)像的高度为； (2)凸透镜焦距的长为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由题意可得，，，，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴像的高度为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得， ∴凸透镜焦距的长为． 15．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)点到地面的高度的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 16．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是___________（填序号）； ①只有甲同学的方案可行； ②只有乙同学的方案可行； ③两个同学的方案都可行； (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】(1)③ (2)旗杆的高度为12米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用： （1）（2）若选择甲同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解；若选择乙同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解． 【详解】（1）解：若选择甲同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解；若选择乙同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据也可求解； 故两个同学的方案都可行， 故答案为：③； （2）解：若选择甲同学的方案：如图，过点作，垂足为，交于点． 由题意得，（米）， （米）， （米）， （米）， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为12米． 若选择乙同学的方案：如图，过点作，垂足为，交于点，则， ， 由题意得，厘米米， 厘米米，米， ， ， ，即 （米）， 旗杆的高度为12米． 17．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1) (2) 解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【详解】（1）解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）略. 19．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】(1)飞虹塔的高度是 (2)飞虹塔的大致高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’ （2）设，依据题意得：，证明，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的高度是； （2）解：设，依据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的大致高度为． 21．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相似三角形的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 题型一、建筑高度问题（高频） 题型二、影长问题（高频） 题型三、河宽问题 题型四、树高问题 题型五、杠杆问题 题型六、实验问题 题型七、古代问题 题型八、裁剪问题 题型九、生活实际问题（高频） 题型十、三角形的内接矩形问题（高频） 题型十一、相似三角形中的最值问题 题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的实际应用 ◆题型一、建筑高度问题 1．（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． ◆题型二、影长问题 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． ◆题型三、河宽问题 7．（24-25九年级上·广西百色·期中）某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度． 项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据： 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务． 任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度； （2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可） 任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？ 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． ◆题型四、树高问题 10．（24-25九年级下·陕西渭南·开学考试）某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度． 11．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： (1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． (2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米， ①甲树的高度为______米， ②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度． ◆题型五、杠杆问题 13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 14．（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 15．（24-25九年级上·广东佛山·期末）【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． (1)支柱的高度 米． (2)保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） (3)请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． ◆题型六、实验问题 16．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 17．（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 18．（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． ◆题型七、古代问题 19．（25-26八年级下·山东烟台·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？” 其大意是：如图，一座正方形城池，在各边的中点开门．A为北门的中点，出北门往正北方向走30步（“步”为古代的长度单位），有一棵树木（点B）．C为西门的中点，出西门往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？ 请你用所学知识解决这个问题． 20．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 21．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． ◆题型八、裁剪问题 22．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36º的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线． (1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45º的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) ． (2)如图3，△ABC 中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长． 23．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 24．（2025·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． ◆题型九、生活实际问题 25．（2025·陕西渭南·二模）数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）．    26．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； (3)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 27．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． ◆题型十、三角形的内接矩形问题 28．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 29．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当面积为时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长． 30．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    ◆题型十一、相似三角形中的最值问题 31．（25-26九年级上·陕西西安·期中）某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．    (1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值 (2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值． 32．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 问题提出 （1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；    思维转换 （2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；    拓展应用 （3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．    33．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） ◆题型十二、相似三角形中材料阅读型问题 34．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 35．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 36．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·河北沧州·三模）如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（   ） A．2米 B．3米 C．米 D．米 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（   ） A．30米 B．36米 C．40米 D．56米 5．（25-26九年级上·河北邢台·期中）手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 6．（2025·广西梧州·二模）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2026·河北保定·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 8．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 9．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为____________． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________． 11．（25-26九年级上·河北·阶段检测）“今有邑，东西六里，南北八里，各开中门，出东门五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形，东边城墙长8里，南边城墙长6里，东门点E、南门点F分别是的中点，，，里,经过A点，则__________里 12．（25-26九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米． 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）图1是某兴趣小组探究凸透镜成像规律的装置图，图2是由图1抽象出的几何图形，蜡烛发出的一条平行于主光轴l的光线，经过凸透镜折射后过焦点，并与过凸透镜中心的光线相交于点，其中四边形是矩形，于点，于点． (1)将高为厘米的蜡烛进行移动，使物距为厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为厘米，求像的高度； (2)在（）的条件下，求凸透镜焦距的长． 15．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 16．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是___________（填序号）； ①只有甲同学的方案可行； ②只有乙同学的方案可行； ③两个同学的方案都可行； (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 17．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 18．（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 19．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 21．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $