专题01 二次函数的图像与性质（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像与性质，通过分层题型构建从基础到综合的知识网络，强化几何直观与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数特殊形式图象性质|6题|考查开口方向、对称轴、最值等基础性质|从特殊形式（顶点式、一般式）切入，夯实概念理解| |二次函数与一次函数图像综合|3题|图像识别与系数关系判断|结合一次函数考查函数图像的关联性，培养模型意识| |二次函数图像与系数符号|3题|通过图像推理系数符号及代数式关系|深化数形结合，提升推理能力，衔接综合应用|

专题01 二次函数的图像与性质 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图像与性质 ◆题型1二次函数几种特殊形式的图象和性质 1．B 2．A 3.【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 4．【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 5．【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 6.【详解】（1）解： ； （2）解：用描点法作图如下； （3）解：如图所示，抛物线与轴的交点坐标是， 抛物线与轴的交点坐标是和， 所以函数图象与坐标轴所围成的三角形的底长为4，高为6， 所以函数图象与坐标轴交点所围成的三角形面积为：. ◆题型2 二次函数与一次函数图像综合判断 1．D 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 2．A 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． 3．C 【详解】解：根据二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，并交于点，和， 当时， 由函数图像可知， 故选：C． ◆题型3 二次函数图像与各项系数符号 1．B 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 2．C 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 3．①②③④ 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 综合攻坚·知能拔高 1．B 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 2．D 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 3．B 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 4．D 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 5．D 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A不正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故B不正确； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故C不正确； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D正确； 故选：D． 6．D 【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 设 ∴ ∵ ∴有最大值，最大值为 故选：D． 7．或7/7或-1 【详解】解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 当时，二次函数在x=m时取得最小值， ∴所以，该方程无解； 当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 故答案为：或7． 8． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 9． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值是， 当时，的最小值是， 则代数式的最大值与最小值的差是： 故答案为：． 10． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 11．四 【详解】解：由二次函数图象知，， 又抛物线的对称轴在y轴右边，即，则， ∴一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四． 12．或 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 13． 4 5 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 14． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 16．(1)向下，直线， (2) (3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度 【详解】（1）解：∵函数，， ∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； （2）解：∵函数， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； （3）解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线． 17．(1)2， (2) ，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． (3) 证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 18．(1) (2) ，理由如下： ∵对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着增大而减小， ∵，， ∴； (3)或 【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当时，， ∵， ∴在的右侧， 当、 都在对称轴直线的右侧时，如图， ∵， ∴，解得； 当、 在对称轴直线的两侧时， 即关于直线的对称点为 关于直线的对称点为 ∵， ∴， 解得 当、 都在对称轴直线的左侧时， ∵， ∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 与相矛盾， ∴此种情况不存在， 综上，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图像与性质 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图像与性质 题型1 二次函数几种特殊形式的图象和性质（重） 题型2二次函数与一次函数图像综合判断（高频） 题型3两个二次函数的图像判断（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图像与性质 ◆题型1二次函数几种特殊形式的图象和性质 1．对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 2．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 4．如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 5．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 6．二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的画法，解题的关键是根据二次函数的解析式求出其顶点坐标，与坐标轴的交点坐标画出图象. （1）根据配方法来求解； （2）根据其顶点坐标及其坐标轴的交点画出函数图象； （3）根据抛物线与坐标轴的交点求得三角形的底边长和高，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）解： ； （2）解：用描点法作图如下； （3）解：如图所示，抛物线与轴的交点坐标是， 抛物线与轴的交点坐标是和， 所以函数图象与坐标轴所围成的三角形的底长为4，高为6， 所以函数图象与坐标轴交点所围成的三角形面积为：. ◆题型2 二次函数与一次函数图像综合判断 1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 2．已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． 3．如图，二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，交点和，若，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像作答即可． 【详解】解：根据二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，并交于点，和， 当时， 由函数图像可知， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． ◆题型3 二次函数图像与各项系数符号 1．如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 2．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 3．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 3．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 4．如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 5．二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A不正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故B不正确； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故C不正确； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D正确； 故选：D． 6．若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 设 ∴ ∵ ∴有最大值，最大值为 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 7．已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为_______． 【答案】或7/7或-1 【分析】对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可． 【详解】解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 当时，二次函数在x=m时取得最小值， ∴所以，该方程无解； 当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 故答案为：或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用． 8．已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 9．若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是_______． 【答案】 【分析】此题考查解三元一次方程，解一元一次不等式组，二次函数的性质，解题关键在于掌握运算法则，先利用加减消元法求出的值，建立关于z的不等式组，求出z的取值范围，再把代入代数式，将其转化为关于z的二次函数，利用二次函数的性质分别求出最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值是， 当时，的最小值是， 则代数式的最大值与最小值的差是： 故答案为：． 10．已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据的不同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为，筛选出符合条件的的取值范围． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 11．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合；根据二次函数的图象确定b，c的符号，即可确定一次函数不经过的象限． 【详解】解：由二次函数图象知，， 又抛物线的对称轴在y轴右边，即，则， ∴一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四． 12．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 13．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 14．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 三、解答题 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 16．已知函数 (1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； (2)当x______时，y随x的增大而增大； (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 【答案】(1)向下，直线， (2) (3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可以解答本题； （3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题． 【详解】（1）解：∵函数，， ∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； （2）解：∵函数， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； （3）解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线． 17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【答案】(1)2， (2) ，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． (3) 证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得； （2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； （3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2）略 （3）略 18．已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着增大而减小， ∵，， ∴； (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）求出点关于直线的对称点为，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）分、 都在对称轴直线的右侧；、 在对称轴直线的两侧；、 都在对称轴直线的左侧，三种情况讨论，画出对应的草图，数形结合，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当时，， ∵， ∴在的右侧， 当、 都在对称轴直线的右侧时，如图， ∵， ∴，解得； 当、 在对称轴直线的两侧时， 即关于直线的对称点为 关于直线的对称点为 ∵， ∴， 解得 当、 都在对称轴直线的左侧时， ∵， ∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 与相矛盾， ∴此种情况不存在， 综上，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图像与性质 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图像与性质 题型1 二次函数几种特殊形式的图象和性质（重） 题型2二次函数与一次函数图像综合判断（高频） 题型3二次函数图像与各项系数符号（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图像与性质 ◆题型1二次函数几种特殊形式的图象和性质 1．对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 2．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C． D． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 4．如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 5．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 6．二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积 ◆题型2 二次函数与一次函数图像综合判断 1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C．D． 2．已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．如图，二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，交点和，若，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型3 二次函数图像与各项系数符号 1．如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 4．如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 5．二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为_______． 8．已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 9．若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是_______． 10．已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 11．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 12．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 13．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 14．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 三、解答题 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 16．已知函数 (1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； (2)当x______时，y随x的增大而增大； (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 18．已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，都有，直接写出t的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $