专题01 二次函数的图象与性质16大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 以二次函数图象性质为核心，按形式从简到繁、难度从基础到综合系统编排题型，覆盖中考高频考点与难点 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|16题型64题|从基础形式到一般式，涵盖图象性质、对称性、最值等16类题型，突出高频与难点|遵循“特殊形式→一般形式→综合应用”的概念生成与推导过程，构建完整知识网络| |综合攻坚·知能拔高|15题|综合应用题型，融合多知识点考查分析解决问题能力|通过跨知识点整合，强化数学思维与模型意识，提升知识迁移能力|

专题01 二次函数的图象与性质 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与性质 题型1 y=ax2的图象与性质 题型2 y=ax2+k的图象与性质 题型3 y=a(x-h)2的图象与性质 题型4 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型5 y=ax2+bx+c的图象与性质（高频） 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 题型7 根据二次函数的图象判断式子符号（重） 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型10 y=ax2+bx+c的最值（难） 题型11 待定系数法求二次函数解析式（高频） 题型12 二次函数图象的平移问题（难） 题型13 一次函数与二次函数的交点问题（难） 题型14 二次函数的倍点关系问题 （难） 题型15 二次函数的恒成立求参数问题（难） 题型16 二次函数的图象与性质综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与性质 ◆题型1 y=ax2的图象与性质 1．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 3．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 4．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． ◆题型2 y=ax2+k的图象与性质 5．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 6．已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 7．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 8．在平面直角坐标系中，定义：横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”． 由此回答下列问题： (1)点________（填“是”或“不是”）“倍横点”；点_______（填“是”或“不是”）“倍横点”； (2)求函数的图象上的“倍横点”坐标； (3)函数的图象上有没有“倍横点”若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． ◆题型3 y=a(x-h)2的图象与性质 9．在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 10．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 11．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 12．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． ◆题型4 y=a(x-h)2+k的图象与性质 13．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 14．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 15．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 16．如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． ◆题型5 y=ax2+bx+c的图象与性质（高频） 17．已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 18．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 19．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 20．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． ◆题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 21．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 22．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 23．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．且 D．或 ◆题型7 根据二次函数的图象判断式子符号（重） 25．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 26．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 27．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 28．（多选）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若是抛物线上的两点，则 D．（其中） ◆题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 29．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 30．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 31．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 32．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 ◆题型9 根据二次函数的对称性求函数值 33．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 34．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 35．已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 36．已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． ◆题型10 y=ax2+bx+c的最值（难） 37．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 38．当时，二次函数的最大值为________． 39．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 40．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． ◆题型11 待定系数法求二次函数解析式（高频） 41．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 42．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 43．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 44．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． ◆题型12 二次函数图象的平移问题（难） 45．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 46．已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 47．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 48．将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． ◆题型13 一次函数与二次函数的交点问题（难） 49．已知是关于x的一次函数． (1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标． 50．已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，将点A向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数（a、b是常数，）图象的对称轴上． (1)用含a的代数式表示b． (2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． (3)若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 51．一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． ◆题型14 二次函数的倍点关系问题（难） 53．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．若点在某一个函数的图象上，且点的横、纵坐标相等，我们称点为这个函数的“完美点”．若二次函数（为常数）图象上有两个不同的“完美点”且两个“完美点”的横坐标都小于，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 55．二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． 求这个函数“倍值点”的坐标； 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 56．阅读与思考 下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务． “k倍点” 【概念理解】 如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”．例如，抛物线的“3倍点”为或 【问题提出】 问题1：抛物线的“2倍点”（原点除外）的坐标为▲． 问题2：若抛物线上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围． 【问题解答】 解：设该抛物线上的“3倍点”为，则有，即 该抛物线有两个不同的“3倍点”， 一元二次方程有两个不同的实数根， 任务： (1)问题1中，“▲”处应填写______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)若抛物线仅有一个“k倍点”，求k的值． ◆题型15 二次函数的恒成立求参数问题（难） 57．已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 58．已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．在平面直角坐标系中，已知点和是抛物线上的两个点，且恒成立，则的取值范围为_____． 60．在平面直角坐标系中，已知二次函数， (1)若此二次函数的图象经过，求a的值； (2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； (3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． ◆题型16 二次函数的图象与性质综合 61．在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 62．①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 63．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 64．已知抛物线 与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知点为第一象限抛物线上一点，横坐标为， ①如图1，连接 、 ，若点为顶点时，求 的面积； ②如图2，连接 交直线于点，求的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位（ ），得到图形，当 时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 1．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 2．将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 3．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 4．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 5．若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 6．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 7．已知是抛物线上的点，则的大小关系为_____．（用“”连接） 8．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 9．已知二次函数，且当时，y随x的增大而增大，若点，为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为________． 10．已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 11．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 12．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 13．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于，都有，求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象与性质 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与性质 题型1 y=ax2的图象与性质 题型2 y=ax2+k的图象与性质 题型3 y=a(x-h)2的图象与性质 题型4 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型5 y=ax2+bx+c的图象与性质（高频） 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 题型7 根据二次函数的图象判断式子符号（重） 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型10 y=ax2+bx+c的最值（难） 题型11 待定系数法求二次函数解析式（高频） 题型12 二次函数图象的平移问题（难） 题型13 一次函数与二次函数的交点问题（难） 题型14 二次函数的倍点关系问题 （难） 题型15 二次函数的恒成立求参数问题（难） 题型16 二次函数的图象与性质综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的图象与性质 ◆题型1 y=ax2的图象与性质 1．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 2．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 3．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 4．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． ◆题型2 y=ax2+k的图象与性质 5．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 6．已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)解：图象如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）由函数解析式列表描点作图即可． （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 7．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据，可知点C是线段的中点，设，可得代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C是线段的中点， ∵是抛物线与的公共顶点， 当时，， ∴， 设点C的坐标为， ∴点B的坐标为， 把代入得，， ∴． 8．在平面直角坐标系中，定义：横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”． 由此回答下列问题： (1)点________（填“是”或“不是”）“倍横点”；点_______（填“是”或“不是”）“倍横点”； (2)求函数的图象上的“倍横点”坐标； (3)函数的图象上有没有“倍横点”若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1)是；不是； (2)； (3) 解：没有，理由如下： 假设函数图象上有“倍横点”， 把点代入得，， 整理得： ， 方程没有实数根，所以图象上没有“倍横点”． 【分析】此题考查了新定义，根据新定义、一次函数和二次函数的图象和性质、一元二次方程根的判别式进行解答即可． （1）根据“倍横点”的定义进行判断即可； （2）设函数图象上的“倍横点”坐标为，把坐标代入函数解析式，即可求出答案； （3）假设函数图象上有“倍横点”，代入二次函数解析式，判断一元二次方程有无实数根即可． 【详解】（1）解：∵是1的2倍，不是的2倍， ∴点是 “倍横点”； 点不是 “倍横点”； 故答案为：是，不是； （2）解：设函数图象上的“倍横点”坐标为， 把点代入得：，解得， ， 所以函数图象上的“倍横点”坐标为； （3）略 ◆题型3 y=a(x-h)2的图象与性质 9．在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 10．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 11．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) 描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 12．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． ◆题型4 y=a(x-h)2+k的图象与性质 13．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 14．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 15．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 16．如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴； （2）分别考虑抛物线过点D、C时a的值，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点， ∴， 即， ∴， ∵点A的坐标为，，且四边形为正方形， ∴，， 当抛物线经过点D时，则， 解得：； 当抛物线经过点C时，则， 解得：； ∴当抛物线与正方形的边有交点时，则a的取值范围为； 故答案为：． ◆题型5 y=ax2+bx+c的图象与性质（高频） 17．已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的横坐标范围，利用二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，二次项系数， ∴，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∵，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足， ∴． 18．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 19．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 20．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 ◆题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 21．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 22．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 23．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 24．在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】首先求出直线的表达式为，然后和抛物线联立得到，然后根据判别式求出，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 将直线和二次函数联立得，，即， 整理得，， ∵直线与抛物线有两个交点， ∴， 解得， 当时，抛物线开口向下 ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得： ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得． 综上a的取值范围为：或． ◆题型7 根据二次函数的图象判断式子符号（重） 25．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 26．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 27．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 28．（多选）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法正确的是（     ） A． B． C．若是抛物线上的两点，则 D．（其中） 【答案】AD 【详解】二次函数经过点， ，故B错误； ， ， 将代入中，得，故A正确； 抛物线开口向下，对称轴为，且， ，故C错误； 当时，有最大值，此时， 当时，， （其中，故D正确． ◆题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 29．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 30．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 31．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 32．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． ◆题型9 根据二次函数的对称性求函数值 33．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 34．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先利用表格中相等函数值对应的自变量求出对称轴，判断开口方向，再根据对称性得到端点的函数值，最后结合增减性确定给定取值范围内的取值范围． 【详解】解：∵由表格可知，和时的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时的函数值，大于和的函数值， ∴二次函数开口向下，顶点为，即函数在处取得最大值， 根据二次函数对称性，与关于直线对称， ∵时， ∴时， 在区间中，开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小，离对称轴最远，函数值最小为， 因此当时，的取值范围是． 35．已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 36．已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】(1) (2)2． (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）结合二次函数的图象和性质求解即可. （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可. 【详解】（1）解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． （3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． ◆题型10 y=ax2+bx+c的最值（难） 37．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 38．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 39．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 40．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． ◆题型11 待定系数法求二次函数解析式（高频） 41．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 42．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 43．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 44．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． ◆题型12 二次函数图象的平移问题（难） 45．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 46．已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 47．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 48．将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点， 所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间， ∴， 解得． ◆题型13 一次函数与二次函数的交点问题（难） 49．已知是关于x的一次函数． (1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； (2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点得出方程有两个相等的实数根，即，解方程即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把顶点坐标代入中求出的值，在解方程组即可得到另一公共点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点， 方程即有两个相等的实数根， ， 解得：， 当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； （2）解：二次函数， 二次函数的顶点， 一次函数的图象与二次函数的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点， ， 解得：， 一次函数的解析式为， 则联立方程组得：， 解得：或， 一次函数的图象与二次函数的图象的另一公共点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是直线和抛物线的交点个数与一元二次方程实数根之间的关系，当时，一元二次方程有两个不等的实数根，图象有两个公共点；当时，一元二次方程有两个相等的实数根，图象有一个公共点；当时，一元二次方程无实数根，图象没有公共点． 50．已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，将点A向左平移4个单位，得到点，且点恰好在二次函数（a、b是常数，）图象的对称轴上． (1)用含a的代数式表示b． (2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． (3)若二次函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：联立方程组， 得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为； (3)a的取值范围是或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键． （1）先求得，再利用抛物线的对称轴方程列式计算即可求解； （2）联立方程组结合，得到，求得，，据此求解即可； （3）分①当时和②当时，两种情况讨论，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 由题意可得， ∴，即； （2）略 （3）解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点，一次函数的图象与y轴交于点， ①当时， ∵二次函数的图象与y轴交于点，一次函数的图象与y轴交于点， 又∵两函数必定交于一个定点为， ∴由图象可得，时，均符合题意； ②当时， 由图象可得，当时，，或者二次函数的图象与线段只有一个交点时，符合题意； 当时，，解得； 当二次函数与线段只有一个交点时， 联立方程组，得， 即， 由，即， 解得， 综上所述，a的取值范围是或或． 51．一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，由一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，从而可联立方程，即，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点， ∴联立方程． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 52．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．先求出点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点的直线与新抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出值即可得到答案． 【详解】解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ①当直线过点时，则交点有3个，此时； ②当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． ◆题型14 二次函数的倍点关系问题（难） 53．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义倍数点与二次函数结合的问题，关键是将问题转化为一元二次方程根的判别式问题，利用求解即可． 根据倍数点的定义，点在二次函数上，代入得方程．由于总有两个不同的倍数点，该方程需有两个不同的实根，故判别式大于0，即，解得． 【详解】解：设倍数点为，代入函数，得， 整理得， ∵总有两个不同的倍数点， ∴方程有两个不同的实根， ∴，即， ∴， 故选：A． 54．若点在某一个函数的图象上，且点的横、纵坐标相等，我们称点为这个函数的“完美点”．若二次函数（为常数）图象上有两个不同的“完美点”且两个“完美点”的横坐标都小于，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的性质求出点所在的直线上，再根据二次函数有两个不相等的“完美点”得出，根据两个“完美点”都小于，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，要使两根均小于2，需满足当，，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵点在某一个函数的图象上，且点的横、纵坐标相等， ∴点在直线上． ∵二次函数有有两个不同的“完美点”， ∴有两个不相等的根， ∴， ，即， ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 又∵两个“完美点”都小于， ∴当时，，代入，即， 解得， ∴的取值范围是：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，点的坐标特征，解题的关键是理解题意并熟悉掌握函数的基本性质． 55．二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． 求这个函数“倍值点”的坐标； 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】(1)这个二次函数的解析式为； (2)这个函数“倍值点”的坐标为或；的最大值与最小值的差为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）把代入得，然后解方程即可； 因为是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点，所以，由得，抛物线开口向上，对称轴为直线，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：把代入得，， 整理得：， 解得：或， ∴这个函数“倍值点”的坐标为或； ∵是该二次函数图象上“倍值点”和之间的点， ∴， 由得，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，取最小值，当时，取最大值， ∴的最大值与最小值的差为． 56．阅读与思考 下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务． “k倍点” 【概念理解】 如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”．例如，抛物线的“3倍点”为或 【问题提出】 问题1：抛物线的“2倍点”（原点除外）的坐标为▲． 问题2：若抛物线上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围． 【问题解答】 解：设该抛物线上的“3倍点”为，则有，即 该抛物线有两个不同的“3倍点”， 一元二次方程有两个不同的实数根， 任务： (1)问题1中，“▲”处应填写______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)若抛物线仅有一个“k倍点”，求k的值． 【答案】(1)； (2)且； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程得关系、二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意建立方程求解即可； （2）依据题意补全过程求m范围即可； （3）参考（2）中过程求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， 解得舍去或， 将代入得， 抛物线的“2倍点”原点除外的坐标为， 故答案为：； （2）解：由整理得， ， 解得， 又，即， 的取值范围为且； （3）解：是抛物线， ， 设抛物线的“k倍点”坐标为， 点在抛物线上， 整理得， 抛物线仅有一个“k倍点”， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． ◆题型15 二次函数的恒成立求参数问题（难） 57．已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【答案】D 【分析】先根据已知点坐标求出抛物线开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的增减性和恒成立条件判断选项． 【详解】解：把，代入得： 两式相减得，化简得. 把代入抛物线得，减去点的式子得， 把代入得，解得. ， ，即，抛物线开口向上， 对称轴为，结合的范围可得， 对于点和，开口向上时，等价于，平方化简得. 若恒成立，则对所有都满足， 因此， 解得. 同理，若恒成立， 可得， 所以选项D正确． 58．已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴且， 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故选：D． 59．在平面直角坐标系中，已知点和是抛物线上的两个点，且恒成立，则的取值范围为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数的图象和性质等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，分别表示出和，再利用作差法可得，进而代入建立关于的不等式求解即可； 【详解】解：∵和在抛物线上， ， ， ， ， ， ， ， 或， 或， 故答案为：或． 60．在平面直角坐标系中，已知二次函数， (1)若此二次函数的图象经过，求a的值； (2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； (3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质， （1）把已知点代入解析式求出a的值； （2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可； （3）求出的关系式，根据当时，，即可得到，根据题意得到，求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵二次函数的图象经过、， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：， ， ， 当时，， ∵， ， 即， 解得， ∵时恒成立， ∴， 解得． ◆题型16 二次函数的图象与性质综合 61．在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入抛物线，得到关于的一元二次方程在上有两个不相等实根，利用二次函数图像性质求解的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线，得， 展开整理得， ∴该一元二次方程在上有两个不相等的实数根 设，该函数开口向上，对称轴为，满足， 如图：：， 解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴． 62．①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 【答案】 2 1或 【分析】①根据抛物线平移的上加下减法则，可直接得到平移单位； ②联立抛物线与直线的解析式，转化为一元二次方程在上只有一个解的问题，分判别式为0（相切）和只有一个根在内两种情况讨论，求解得到的取值范围． 【详解】① 原抛物线解析式为，平移后抛物线解析式为，根据抛物线平移“上加下减”的规律，可得向上平移了个单位； ② 联立抛物线与直线的解析式得： ， 消去整理得： ， 问题转化为在上只有一个解， 情况一：当，方程有两个相等的实数根，抛物线与直线相切， 此时： ，解得，此时方程的根为，满足，故符合题意； 情况二：当，方程有两个不相等的实数根，同时方程有且只有一个根在内： ， ， 解得， ①当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 解得； ②当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 此时，无解， 综上，的取值范围是或． 63．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②存在，t的值为或． 【分析】（1）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （2）①根据题意得出方程有两个相等的实数根，即，进而得出，根据“二倍点”的定义得出“二倍点”的坐标为．代入得出，进而求得的值，代入解析式，即可求解； ②先化为顶点式，，分类讨论，①当，②当，③当时，根据二次函数的性质求得最小值，根据题意列出方程，即可求得的值． 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． 64．已知抛物线 与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知点为第一象限抛物线上一点，横坐标为， ①如图1，连接 、 ，若点为顶点时，求 的面积； ②如图2，连接 交直线于点，求的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位（ ），得到图形，当 时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①3；② (3)或 【分析】（1）把点，的坐标代入，即可求解； （2）①先求得点，的坐标，利用割补法即可求解； ②过点作轴，交于点，先求得直线的解析式为，设，则，再证明，即可求解； （3）分图形与直线只有一个交点，图形与直线有两个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①∵抛物线，点为抛物线的顶点， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴． ②如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． （3）解：设点为抛物线的顶点，对称轴与交于点， 如图，当图形与直线只有一个交点时， 设平移后抛物线解析式为， 由（2）②得直线的解析式为， 联立得， ∴，整理得， ∵图形与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； ②如图，当图形与直线有两个交点时， ∵抛物线的对称轴为，对称轴与交于点， ∴， 由（2）可知，抛物线的顶点为， ∴当顶点从点平移到点的过程中，即时，时，图形与直线有且只有一个公共点， ∴， 如图，当时，即从顶点与点重合到图形与直线只有一个交点时，时，图形与直线有两个公共点，不符合题意； 如图，当时，图形与直线没有交点，不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 综合攻坚·知能拔高 1．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 2．将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法将二次函数化为顶点式，通过完成平方，即加上和减去一次项系数一半的平方，形成完全平方式. 【详解】 顶点式为， 故选：B. 3．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 4．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 5．若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，关键是通过顶点位置判断取值范围，结合端点值求解．对函数解析式配方，得出二次函数图象开口向下，顶点为，再根据在的范围内的最大值为4，得出或，求出时的自变量取值，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵二次函数在的范围内的最大值为4， ∴或， 当时，， 整理得， 解得或， 当时，即 ，此时最大值在右端点， ∴， 解得：， 当时，此时最大值在左端点， ∴， 综上可知，实数的值为或5， 故选：A． 6．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 7．已知是抛物线上的点，则的大小关系为_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据抛物线解析式求出对称轴，判断开口方向，根据开口向上抛物线的性质，点到对称轴距离越大，纵坐标越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小． 【详解】解：在抛物线中，，，． ∴抛物线对称轴为直线，得：， 因为，所以抛物线开口向上，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的纵坐标值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 因为， 所以． 8．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 9．已知二次函数，且当时，y随x的增大而增大，若点，为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线，由当时随的增大而增大可知抛物线开口向上，从而点离对称轴越远函数值越大；由可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，解此不等式可得的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即， ∵点，在抛物线上，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 化简得：， 解不等式， 两边平方得：， 展开得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 10．已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值为，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 11．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)当时，；当时，；当时，，理由： 是抛物线上的两点， ∴ 故当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，对称轴代入，由方程具有两个相等的实数根得到，从而得出关于参数的方程组，解方程组求出参数的值，即得到表达式； （2）根据题目条件代入计算，故可由的正负判断结论． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得： ①， 由函数的对称轴为，即  ②， 关于x的方程有两个相等的实数根，则  ③， 联立①②③，得 解得， 故抛物线的表达式为． （2）略． 12．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 13．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴的公式计算即可； （2）①再分别求出M，N，P的坐标，以及的表达式，再将，代入求解即可；②分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为； （2）解：①当时，，则，过作轴的垂线，方程为 ； 当时， ，则，过作轴的垂线，方程为 ； ∴两垂线交点，， ∵， ∴ ∵，， ∴ ； ②∵，，， ∴， ∴， 情况1：​， 整理得： ， ∵ ， ∴， 要存在 满足 ，即，解得； 情况2： ， 令，解得或1， 则当时，；当时，； 又∵， ∴， ∴ 解得， 综上，a的取值范围为或． 15．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴公式、二次函数图象上点的坐标特征、不等式的解法以及区间的包含关系，熟练掌握二次函数的性质、不等式的转化方法以及区间包含关系的条件是解题的关键． （1）直接运用二次函数的对称轴公式，代入抛物线表达式中的系数即可求出对称轴． （2）先将点代入抛物线解析式，结合化简不等式，得到关于的取值范围；再根据题意，将区间包含关系转化为不等式组，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线为， ， 对称轴， （2）解：点在抛物线上， ∴， ， ∴ ∴ ， ， ， ， ∵对于，都有， ∴， 由得， 由得， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $