专题03 二次函数与方程、不等式的关系10大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题03 二次函数与方程、不等式的关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与方程关系 题型1 抛物线与x轴的交点坐标 题型2 抛物线与y轴的交点坐标 题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4 根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 题型5 求x轴与抛物线的截线长 题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 考点二 二次函数与不等式关系 题型1 图象法解一元二次不等式 题型2 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型3 根据交点确定不等式解集 题型4 二次函数与不等式、方程的关系综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与方程关系 ◆题型1 抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数与轴交于，则的值为______． 2．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 4．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． ◆题型2 抛物线与y轴的交点坐标 5．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 6．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 7．填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 8．已知抛物线经过点与． (1)求该抛物线的函数关系式． (2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． ◆题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 10．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 12．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． ◆题型4 根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 13．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 14．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 15．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 16．若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（     ） A．， B．m应满足 C．当时，， D．当时， ◆题型5 求x轴与抛物线的截线长 17．若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 19．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 20．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． ◆题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 21．利用函数的图象求下列方程的根： (1)； (2)． 22．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 23．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 24．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 考点二 二次函数与不等式关系 ◆题型1 图象法解一元二次不等式 25．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 26．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 27．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 28．已知二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，顶点为P点，与一次函数交于A、D两点，请分别完成以下问题（不需要过程）： (1)D点坐标为________； (2)面积为________； (3)若，则x的取值范围为________； (4)若，则x的取值范围为________； (5)当时，的取值范围为________． ◆题型2 利用不等式求自变量或函数值的范围 29．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 30．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 31．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 32．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当，且 时，y有最大值32，求n的值； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． ◆题型3 根据交点确定不等式解集 33．画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值，有下列结论： x … 0 1 … y … 2 m 2 n … ①；②；③若，则一元二次方程有两个不等的实数根；④若，，则．以上结论正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．已知和，对于的值取任意实数时均有，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 35．已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 36．已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． ◆题型4 二次函数与不等式、方程的关系综合 37．已知一次函数与二次函数 （）的图像交于点，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线，给出以下五个结论： ① ；②；③ 点 P是抛物线的顶点；④ 当 时，；⑤ 若点 在抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________． 38．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 39．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①当时，若对任意的，，恒有，试判断n的取值范围； ②当时，若对任意的，，当满足时，恒有，则当时，求的值． 40．定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 4．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 5．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 6．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 7．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 8．二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 9．已知是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 10．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的不等式的解为_____． 11．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 13．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． (1)点坐标为___________，点坐标为___________； (2)当满足时，的取值范围是___________； (3)若关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，的取值范围是___________． 14．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 15．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： (2)结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与方程、不等式的关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与方程关系 题型1 抛物线与x轴的交点坐标 题型2 抛物线与y轴的交点坐标 题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4 根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 题型5 求x轴与抛物线的截线长 题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 考点二 二次函数与不等式关系 题型1 图象法解一元二次不等式 题型2 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型3 根据交点确定不等式解集 题型4 二次函数与不等式、方程的关系综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与方程关系 ◆题型1 抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 2．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 4．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． ◆题型2 抛物线与y轴的交点坐标 5．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 6．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 【答案】(1)与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； （2）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 7．填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 8．已知抛物线经过点与． (1)求该抛物线的函数关系式． (2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标以及函数平移规律，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法，将点与点代入中，建立关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值，从而得到该抛物线的函数关系式； （2）先求出原抛物线的顶点坐标为，根据点坐标平移规律，求得平移后的顶点坐标为，由顶点落在直线上，求得m的值，从而求出平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解：将点与点代入中，得 ， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴顶点坐标为， ∵此抛物线向下平移m个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∵平移后的顶点落在直线上， ∴将，代入中， 得：， 解得：， ∴此抛物线向下平移个单位， ∵原抛物线， ∴令，， 可得原抛物线与y轴交点为， 又∵此抛物线向下平移个单位， ∴点向下平移后，得， 即平移后抛物线与y轴的交点坐标为． ◆题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 10．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 12．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的结合、二次函数上点的坐标特征以及二次函数在给定区间内的最值问题，关键是掌握二次函数的图象性质与方程的结合． （1）求二次函数与轴的交点，只需令，解一元二次方程即可； （2）点在抛物线上，将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向与顶点坐标，再结合给定的的范围，分析的最值，从而确定取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得，解得，， 由图象可知点在轴负半轴，点在轴正半轴， 故，； （2）解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得， 解得或． 故或； （3）解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， 又∵， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； 比较可得，当时，的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． ◆题型4 根据二次函数的图象确定相应方程根的情况 13．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 14．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 15．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 16．若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（     ） A．， B．m应满足 C．当时，， D．当时， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【详解】解：将，代入一元二次方程得原方程左边为0， 则当时，方程成立， 则A选项错误，不符合题意； 方程化简得：， 由题意得，方程有两个不相等的实数根， 则， 解得：， 则B选项错误，不符合题意； 令， 这是开口向上的抛物线，与轴交于和，顶点, 当时，直线与抛物线交于两点， 其横坐标满足，， 则C选项错误，不符合题意； 由C选项可知，顶点, 当时，直线与抛物线有两个交点， 满足， 则D选项正确，符合题意． ◆题型5 求x轴与抛物线的截线长 17．若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 19．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1) 证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 20．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． ◆题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 21．利用函数的图象求下列方程的根： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）画出的图象，确定抛物线与轴的交点，即可得出结果； （2）画出的图象，确定抛物线与轴的交点，即可得出结果. 【详解】（1）解：画出的图象如下： 由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为， ∴方程的解为，； （2）解：画出的图象如下： 由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为， ∴方程的解为，. 22．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 23．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 24．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 考点二 二次函数与不等式关系 ◆题型1 图象法解一元二次不等式 25．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 26．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 27．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 28．已知二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，顶点为P点，与一次函数交于A、D两点，请分别完成以下问题（不需要过程）： (1)D点坐标为________； (2)面积为________； (3)若，则x的取值范围为________； (4)若，则x的取值范围为________； (5)当时，的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与不等式（组等知识点，能求出、、、的坐标是解此题的关键． （1），当时求出，当时求出，得出、、的坐标，把的坐标代入求出，再解两函数解析式组成的方程组，即可求出点的坐标； （2）求出点的坐标，求出的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可； （3）先画出草图，再根据图形得出答案即可； （4）根据图形得出答案即可； （5）根据图形得出答案即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 即， 解得：或， 当时，， 二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 把点的坐标代入得：， 解得：， 即， 解方程组， 得或， 点的坐标是， 故答案为：； （2）解：， 所以顶点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， ， 面积， 故答案为：； （3）解：如图： 当时，的取值范围为， 故答案为：； （4）解：根据图象，当时，的取值范围为或， 故答案为：或； （5）解：根据图象，当时，的取值范围为， 故答案为：． ◆题型2 利用不等式求自变量或函数值的范围 29．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 30．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 31．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 32．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当，且 时，y有最大值32，求n的值； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入即可求出抛物线的对称轴，结合时，y有最大值32，可得当时，取得最大值32，建立方程求解即可； （2）根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时抛物线的对称轴为直线． 对于，当时，， 当时，， ∴当时，取得最大值32， ∴， 解得 （舍去），， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线 ， 两种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上， ． 当时，对于 ，都有， ∴ ，解得， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， ∴当时，a的取值范围为； ②当时，抛物线开口向下， ． 由对称可知，直线关于直线对称的直线为， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的取值范围是或． ◆题型3 根据交点确定不等式解集 33．画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值，有下列结论： x … 0 1 … y … 2 m 2 n … ①；②；③若，则一元二次方程有两个不等的实数根；④若，，则．以上结论正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由表格易得，，然后可得二次函数表达式为，进而根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由表格可知二次函数图象经过点，则有：该二次函数的对称轴为直线，即，，故①正确； ∴该二次函数表达式为， ∴当时，则有，即，故②错误； 当时，即，则有， ∴当时，即，则根据一元二次方程根的判别式可得：， ∴一元二次方程有两个不等的实数根；故③正确； 当时，则二次函数经过点，代入得：， 解得：， ∴该二次函数的开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，由表及二次函数的增减性可知：或，故④错误； 综上所述：正确的有①③，共2个． 34．已知和，对于的值取任意实数时均有，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的函数表达式，根据对于任意实数,恒成立，即该二次函数开口向上、判别式,进而求出的取值范围． 【详解】解：， 对于的值取任意实数时均有， 当，即时，，符合题意； 当时，对于的值取任意实数时均有， 需，且， 即，解得， 综上，． 35．已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意易得，抛物线的开口向上，即，且当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：把点代入二次函数得：， ∵时，的取值范围是或， ∴抛物线的开口向上，即，当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，， 令， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴方程可为，， ∵，且， ∴， ∴， ∴m的值可能是5． 36．已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用一元二次方程的判别式判断根的个数，先计算判别式，再结合条件，判断，从而证明方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个公共点； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴和顶点，当时，令顶点在轴下方，且区间端点、处的函数值均大于，列不等式组求解；当时，令顶点在轴上方，且区间端点、处的函数值均小于 ，列不等式组求解，最后合并两种情况，得到最终结果． 【详解】（1）证明：根据题意可知，， ， ，， ， 故该函数的图象与轴有两个公共点． （2）解：，可知该抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 当，抛物线开口向上，若，则抛物线的顶点在轴下方，当和时，， ， 解得； 当，抛物线开口向下，若，则抛物线的顶点在轴上方，当和时，， ， 解得， 综上，的取值范围是或． ◆题型4 二次函数与不等式、方程的关系综合 37．已知一次函数与二次函数 （）的图像交于点，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线，给出以下五个结论： ① ；②；③ 点 P是抛物线的顶点；④ 当 时，；⑤ 若点 在抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出，，，的值，再逐一判断每个结论即可． 【详解】解：∵ 点在一次函数上， ∴ 将代入得， 解得，故②正确． ∵ 二次函数的对称轴为， ∴ ，得． ∵ 点在抛物线上， ∴ ， 将代入得． 联立一次函数与二次函数得， 整理得：， ∵ 直线与抛物线只有一个交点， ∴ 该方程判别式， 解得，故①错误． ∴，， 将抛物线配方得， ∴ 抛物线顶点坐标为，不是，故③错误． 对任意，， 即，仅当时等号成立． ∵当时，， ∴，故④错误． ∵在抛物线上，在直线上， ∴ ， 该式的最大值为，不存在最小值，故⑤错误． 综上，正确结论的序号是②． 38．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 39．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①当时，若对任意的，，恒有，试判断n的取值范围； ②当时，若对任意的，，当满足时，恒有，则当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，根据时，抛物线的解析式为，根据对任意的，，恒有，得到抛物线的顶点在抛物线的顶点的上方，即可得出结果；②根据，得到，根据恒成立，推出恒成立，令，根据对于任意值，恒成立，得到，结合完全平方的非负性求出，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①由（1）知：点在二次函数的图象上， ∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵时，抛物线化为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∵点在二次函数的图象上，且对于任意的，，恒有， ∴抛物线的顶点的纵坐标大于抛物线的顶点的纵坐标， 即； ②当时，， ∵点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立， ∵， ∴恒成立， 令， ∴抛物线的开口向上， ∵对于任意值，恒成立， ∴抛物线与轴最多有1个交点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 40．定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次函数的性质，由一个点的横纵坐标之和为，可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ， 故选：． 综合攻坚·知能拔高 1．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 2．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 【答案】C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 4．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及坐标特点，先求对称轴直线，直线，列方程求出，代入原抛物线关系式，根据抛物线与轴有两个公共点及抛物线与轴的交点在轴的上方列不等式，，求出，最后根据抛物线的递增情况求的取值范围． 【详解】 解：∵、， ∴抛物线对称轴是直线， ∵抛物线对称轴是直线， ， ∴抛物线， ∵抛物线与轴有两个公共点， ， ， ， 则或， 解得，或， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， ， 则， 把代入， 得， ，且对称轴是直线， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ，且， ， 则当时，， 当时，， ． 5．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 6．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 【答案】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，再根据函数图象平移规则得到平移后抛物线的顶点坐标，结合抛物线开口方向，根据平移后抛物线与坐标轴有且只有一个公共点的条件，得到顶点纵坐标的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：，原抛物线顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后，顶点坐标变为，即， 平移后抛物线解析式为， 抛物线开口向上，且平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 抛物线与轴无交点，仅与轴有一个公共点，顶点纵坐标大于，即：，解得， 故答案为． 7．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 8．二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数时，，由此可得二次函数的对称轴为直线，则对应的的值为，故或，由此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时， 即对应的的值为， ∴在一元二次方程中，或 解得，， 故答案为：， 9．已知是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由点P和Q的纵坐标均为4，可得x₁和x₂是方程 + 的两个根，即．根据根与系数的关系，，代入二次函数解析式中，计算y值． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴和是方程的解， 即和是方程的两个根 则； 又∵， 则将代入函数解析式得， ． 故答案为：2． 10．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的不等式的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，不等式与函数的关系．根据题意将点A，B的坐标代入抛物线和一次函数中，求出其参数的值，再将所求的值代入不等式中，最终求得不等式的解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点，， ∴将点，代入直线可得： ，解得， 将点，代入抛物线可得： ，解得， ∴关于x的不等式为， 整理得：， 结合图象可知当时，， 故答案为：． 11．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)的取值范围是或 【分析】本题是考查二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质建立不等式求参数的取值范围． （1）代入，得到二次函数的表达式，继而求解即可． （2）根据二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，得到满足条件的的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为， ∴分两种情况讨论， ①当时，函数图象如图所示， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴点在对称轴的右侧， ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴点在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴， ∴解得， ②当时，函数图象如图所示， ∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴，且， ∴，， ∴解得， 综上所述，的取值范围是或． 13．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． (1)点坐标为___________，点坐标为___________； (2)当满足时，的取值范围是___________； (3)若关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程得到点坐标；再将抛物线化为顶点式即可得到点坐标； （2）由（1）中得到的、，作出的函数图象，数形结合求解即可得到答案； （3）理解题意，将方程解的情况转化为图象交点问题，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点（点在点的左边）， 令，得， 则， 或， 则点坐标为； ， 点坐标为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知抛物线与轴交于点，点坐标为，则当时，作出这个范围的图象，如图所示： 的取值范围是， 故答案为：； （3）解：关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，是指直线与抛物线有两个不同的交点，且交点的横坐标是负值，如图所示： 当直线过抛物线顶点时，直线与抛物线有且只有一个交点， 当直线过抛物线与轴交点时，直线与抛物线有两个交点，且交点的横坐标是一个负值和， 当时，直线与抛物线有两个交点，且交点的横坐标是一个负值和一个正值， ∴结合图象可知：关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线与坐标轴的交点、将一般式化为顶点式求顶点坐标、有图象求抛物线函数值的取值范围、函数图象交点情况与方程解关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 14．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案； （2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可． 【详解】（1）解：直线与 轴交于点， ，则直线， 当时，，解得，即， 抛物线与直线交于点， ，解得； （2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围， 联立，消去得， ，解得或， 或， 、， 当或时，抛物线在直线的下方， 关于的不等式的解集是或． 15．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： (2)结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 【答案】(1) 函数图象如下图; (2)①；②或；③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格，描点连线作图即可； （2）①根据二次函数图象的对称性求解即可； ②结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可； ③设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ②由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $