26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（分层作业,7大知识点）数学新教材人教版九年级上册

26.2.2二次函数的图象和性质 知识点一 识别抛物线基本性质 1．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数图象的顶点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数的顶点式形式为 ，其顶点坐标为 ， 又∵ 给定二次函数解析式为， 对比顶点式可得 ，， ∴ 该二次函数图象的顶点坐标为 ． 2．（25-26九年级上·广东中山·月考）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下，故A正确； ∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误． 4．（25-26九年级下·黑龙江·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 知识点二 抛物线平移变换 1．（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据二次函数图象的平移规律“左加右减（针对自变量），上加下减（针对常数项）”，按照题目给定的平移顺序分步计算即可求解． 【详解】∵原抛物线解析式为 ，平移规律为：上下平移改变常数项，上加下减；左右平移改变自变量，左加右减， ∴所得抛物线解析式为． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则推导平移后的解析式. 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得， 再向下平移2个单位，得； 故所得抛物线解析式为. 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（   ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据解析式可得两个抛物线的顶点坐标，根据对应的顶点坐标可判断出对应的平移方式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵将点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点， ∴抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到抛物线， 故选：B． 知识点三 比较抛物线上函数值大小 1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质比较函数值大小，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵，，，且， ∴． 2．（2026·广东佛山·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向和对称轴，再利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大， ∵点，，到对称轴的距离分别为，，，且 ∴． 3．（25-26九年级下·河南安阳·月考）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据抛物线顶点式得到开口方向和对称轴，利用开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较大小. 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： ，，， ∵，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越大，对应的值越小， ∴. 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 知识点四 待定系数法求顶点式解析式 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 2．（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标是． (1)求函数解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． （1）设二次函数的解析式为，将点代入函数解析式求出，即可求解； （2）根据二次函数的性质可得：当时，随的增大而减小，得到当时，函数有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）二次函数的解析式为， 当时，随的增大而减小， 又， 当时，函数有最小值，最小值为． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点主要有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质以及平面内两点间的距离公式． （1）由抛物线的顶点坐标是知：，，则．再把代入此解析式求解即可； （2）连接、则设点的坐标为，则根据平面内两点间的距离公式可得，的值，令二者相等求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 知识点一 限定自变量取值范围求最值 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 3．（25-26九年级上·江西赣州·月考）当时，二次函数有最大值，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线的对称轴为轴，再分和两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 4．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点” (2)①6；②或 【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可． （2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系． ①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”． ②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； （2）解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 知识点二 抛物线对称性综合应用 1．（25-26九年级下·福建厦门·月考）已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 【答案】或 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出m的取值范围，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∵，都不存在的情形， ∴或， 解得或， ， 解得， ∴m的取值范围是或． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握抛物线的性质是解题的关键． 先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式组求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为， ∵，， ∴， ∴． 故选答案为． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 知识点三 二次函数与几何图形综合 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、坐标与图形、三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数的性质确定、，即，再根据三角形面积公式即可． 【详解】解：如图：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为，当时，，即该抛物线交轴于点， ∴， ∴的面积． 2．（25-26九年级上·云南大理·期中）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，可知该抛物线开口向上，顶点坐标在x轴下方，顶点的纵坐标，然后求出m，二次函数解析式，最后令y=0求出BC，运用面积公式求的面积即可． 【详解】解：抛物线的顶点到轴的距离为3，与轴交于、两点， 该函数图象开口向上，， 解得， 抛物线的解析式为：． 令，解得：， ∴BC=， ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出． 3．（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（，）， ∵抛物线的顶点坐标在第二象限， ∴， ∴； （2）当时，抛物线解析式为， 令，即， 解得或， 令，， ∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3）， ∴OD=3，AB=2， ∴， ∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用. 用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值. 设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标. 【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点. 解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：设． 是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论： ①当时，点B和点P关于y轴对称． ； ②当时，， ， 整理，得， 解得． 当时，； . 当时，． . 综上所述，点B的坐标为或或． 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，且， ∴的最小值为， ∴无论取何值，总是正数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵：， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而增大，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：B 2．（25-26九年级下·河北沧州·月考）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 【答案】D 【分析】由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，结合正方形的性质可得，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，故只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值． 【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点， ∴只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值， 当互异二次函数经过点时，， 解得或， 当互异二次函数经过点时，， 解得：或， ∴互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是，． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值． (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线，y的最大值为4， (2) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）根据顶点坐标，得出抛物线是向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，然后即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：拋物线， 抛物线C的对称轴为直线，y的最大值为4． 将代入，得， 解得，． 点P在抛物线C的对称轴的右侧， ， ． （2）解：平移后的抛物线的表达式为， 平移后抛物线的顶点坐标为． 平移前抛物线的顶点坐标为， 胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 点移动的最短路程为． 4．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点” (2)①6；②或 【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可． （2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系． ①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”． ②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； （2）解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2二次函数的图象和性质 知识点一 识别抛物线基本性质 1．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数图象的顶点坐标（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东中山·月考）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 4．（25-26九年级下·黑龙江·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 知识点二 抛物线平移变换 1．（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（   ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 知识点三 比较抛物线上函数值大小 1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河南安阳·月考）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 知识点四 待定系数法求顶点式解析式 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 2．（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标是． (1)求函数解析式； (2)当时，求函数的最小值． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 知识点一 限定自变量取值范围求最值 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 3．（25-26九年级上·江西赣州·月考）当时，二次函数有最大值，则的值为______． 4．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 知识点二 抛物线对称性综合应用 1．（25-26九年级下·福建厦门·月考）已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 知识点三 二次函数与几何图形综合 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 2．（25-26九年级上·云南大理·期中）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积． 3．（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级下·河北沧州·月考）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值． (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程． 4．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $