8.3用公式法解一元二次方程同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

8.3 用公式法解一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． 2．定义运算：，．例如：，，若方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（   ） A． B． C． D．1 3．若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．关于一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有实数根，则 B．若方程无实数根，则 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．当时，方程的根为 7．按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断 二、填空题 8．方程中，的值为___． 9．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 10．，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 11．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 三、解答题 12．解方程： (1) (2)． 13．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 14．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 15．已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据“判别式Δ等于0时，方程有两个相等的实数根”，分别计算各选项的判别式，即可得出答案． 【详解】解：A：， ，方程无实数根． B：， ，方程有两个相等的实数根． C：， ，方程有两个不相等的实数根． 2．D 【分析】方程可转化为，再利用一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，最后结合选项选出符合条件的m值． 【详解】∵，， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 只有1在范围内，即m的值可能是1． 故选：D． 3．D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符号关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理得， ∵，，， ∴， ∴两个根一个为，一个为，两根异号， A项：，故A错误； B项：题目未规定的大小，若为正根，则，故B错误； C项：两根异号，则，故C错误； D项：两根异号，异号两数相除商为负，则，故D正确． 4．A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴，只有A选项的满足． 5．D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此计算k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，由一元二次方程的一般式可得，再根据判别式与根的关系逐一分析选项即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， 、若方程有实数根，则，即， 解得，故正确，符合题意； 、若方程无实数根，则，即， 解得，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程无实数根，故错误，不符合题意； 故选：． 7．C 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 8． 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，能够识别系数，，的值和掌握判别式是是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，确定系数，，的值，然后计算判别式即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 9．2（答案不唯一，即可） 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 故答案为：2（答案不唯一，即可） 10．有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 11． 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 12．(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）用公式法求解即可； （2）根据移项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 即，； （2）解：， ， ； 13．(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的根的定义． （1）利用一元二次方程根的判别式，列出关于m的不等式，求解m的取值范围； （2）将代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解该方程得到m的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由题意知，将代入方程中得， 解得，， 经检验，，均满足． 14．(1)公式法，② (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是关键． （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误； （2） 整理得，， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 15．(1) (2)c的最小值为2 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值； （2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2． 【详解】（1）解：∵用公式法解得方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴， 而， ∴， ∴， ∴c的最小值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $