25.3 实际问题与一元二次方程【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 这份分层作业以“前置-巩固-拓展-探究-中考”五级递进设计，覆盖一元二次方程实际应用全题型，通过基础模型建构、综合问题解决到中考真题演练，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|核心概念梳理|填空式梳理传播/增长率等公式模型| |巩固性作业|单一题型应用|基础应用题+地方期末题，强化公式直接应用| |拓展性作业|跨知识点综合|动态几何动点/增长率与利润综合题，提升推理能力| |探究性作业|数学建模探究|三角点阵/矩形绿化项目式探究，发展创新意识| |中考链接|中考考点对接|中考真题分类呈现，衔接阶段测评需求|

25.3 实际问题与一元二次方程【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二、巩固性作业 2 【题型1 传播裂变问题】 2 【题型2 增长率问题】 3 【题型3 几何图形平移、折角问题】 3 【题型4 商品销售利润问题】 5 【题型5 握手、循环比赛问题】 6 三、拓展性作业 7 【题型6 矩形靠墙面积问题】 7 【题型7 动态几何动点问题】 8 【题型8增长率与销售利润问题综合】 10 四、探究性作业 12 【题型9 一元二次方程与几何、函数综合应用】 12 五、中考链接 12 六.作业自我评价 16 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 传播问题模型：若1个传染源，每轮平均1人传染 x 人，一轮后传染总人数为_____，两轮后传染总人数为________。 2. 增长率、降低率问题：设基数为 a，平均变化率为 x，经过 n 次变化后总量为 A。增长率公式：________；降低率公式：________。常见题型为两年增长、降低问题，即 n=2。 3. 图形面积问题：解决矩形道路、裁剪拼接等面积问题，常用________法，将不规则图形转化为规则矩形求解；列方程后需根据实际情况舍去边长为________的根。 4. 销售利润问题：单件利润 = ________ － ________；总利润 = ________ × ________ 5. 一元二次方程实际解题通用步骤：审、设、列、解、________、答，其中________是解决实际问题的关键步骤，需舍去不符合现实意义的根。 二、巩固性作业 【题型1 传播裂变问题】 1.（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期中）今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 3.（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 4.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【题型2 增长率问题】 1.（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 2.（2026·安徽马鞍山·模拟预测）2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 4.（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． （1）生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ （2）在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 【题型3 几何图形平移、折角问题】 1.（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米．若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 2.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，设矩形的宽为，则可列方程为_____． 4.（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在一块矩形广场上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为，宽为，其中两纵道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区．若6块休闲区的面积和为，求道路宽多少？ 【题型4 商品销售利润问题】 1.（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）某水果经销商以每千克8元的价格购进一批葡萄，若按每千克20元的价格销售，平均每天可售出60千克．经市场调研发现，若这批葡萄每千克的售价每降低1元，平均每天的销售量将增加10千克，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．请问水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 2.（25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______元． 4.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，根据以上条件，解决下列问题： （1）如果上涨元，则售价为________元，则销量为________件； （2）该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【题型5 握手、循环比赛问题】 1.（25-26八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． （1）问该校八年级共有几个班？ （2）篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 2.（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 4.（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 三、拓展性作业 【题型6 矩形靠墙面积问题】 1.（26-27九年级上·全国·单元复习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： （1）如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? （2）如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 2.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（   ）    A． B． C．或 D． 3.（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 4.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【题型7 动态几何动点问题】 1.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1） ， （用含t的代数式表示） （2）则当t为何值时，的面积为． 2.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 4.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． （1）当时，的面积为__________； （2）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【题型8增长率与销售利润问题综合】 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 2.（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 3.（26-27九年级上·全国·期末）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 4.（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 四、探究性作业 【题型9 一元二次方程与几何、函数探究应用】 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）综合与实践 【问题呈现】 为了改善学生的学习环境，某新建学校要把一块矩形空地进行绿化，规划把空地面积的一半建造一个美丽花坛，剩余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理有创意，学校决定在全校同学中征集设计方案．该校数学兴趣小组的同学决定对此项目进行探究． 【问题解决】 工具：卷尺、标杆、笔、记录本等 任务：测量矩形空地的长和宽． 测量结果：矩形空地的长为米，宽为米． 【问题拓展】 拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为厘米，在边上确定中点，则的长应为_______； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形进行绿化，其余部分作为花坛，如图．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【问题应用】学校后期从同学们的投稿中，选取合适的方案，按照图纸进行绿化． 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 三、解答题 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 5．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二、巩固性作业 2 【题型1 传播裂变问题】 2 【题型2 增长率问题】 5 【题型3 几何图形平移、折角问题】 7 【题型4 商品销售利润问题】 10 【题型5 握手、循环比赛问题】 13 三、拓展性作业 16 【题型6 矩形靠墙面积问题】 16 【题型7 动态几何动点问题】 21 【题型8增长率与销售利润问题综合】 28 四、探究性作业 33 【题型9 一元二次方程与几何、函数综合应用】 33 五、中考链接 33 六.作业自我评价 42 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 传播问题模型：若1个传染源，每轮平均1人传染 x 人，一轮后传染总人数为_____，两轮后传染总人数为________。 2. 增长率、降低率问题：设基数为 a，平均变化率为 x，经过 n 次变化后总量为 A。增长率公式：________；降低率公式：________。常见题型为两年增长、降低问题，即 n=2。 3. 图形面积问题：解决矩形道路、裁剪拼接等面积问题，常用________法，将不规则图形转化为规则矩形求解；列方程后需根据实际情况舍去边长为________的根。 4. 销售利润问题：单件利润 = ________ － ________；总利润 = ________ × ________ 5. 一元二次方程实际解题通用步骤：审、设、列、解、________、答，其中________是解决实际问题的关键步骤，需舍去不符合现实意义的根。 参考答案 1. 1+x； 2. a=A；a=A 3. 平移拼接；负数 4. 单件售价；单件进价；单件利润；销售数量 5. 验；检验 二、巩固性作业 【题型1 传播裂变问题】 1.（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】（1）8个人；（2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． （1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）略 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期中）今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设该群有人，每人收个红包，总收红包数为，解方程，求正整数解即可． 解：设该群有人，每人收个红包，列出方程为： 即 解得或（舍去） 因此，该群一共有人， 故选：C． 3.（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意两轮传染后患流感的人数为总共患流感的人数．先列出一轮传染后患流感的人数，再根据一轮后患流感的人数写出二轮传染的人数的代数式，两者相加等于64即可． 解：设每轮传染中一个人平均传染x个人，则一轮传染后患流感的人数为， 则二轮传染后患流感的人数为： 故答案为：． 4.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】（1）7；（2）512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 解：（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）（人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 【题型2 增长率问题】 1.（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设出平均每次下调价格的百分率，根据从4元下调到2.56元，列出一元二次方程求解即可． 解：设平均每次下调价格的百分率是x，由题意得： ， 解得，， 因为降价的百分率不可能大于1， 所以不符合题意，舍去； 答：平均每次下调价格的百分率是． 2.（2026·安徽马鞍山·模拟预测）2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 3.（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 解：根据题意， 可列方程为． 4.（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． （1）生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ （2）在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 【答案】（1）；（2）2560元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设生产1吨该药品的成本年平均降低率是，再结合两年前生产1吨某药品的成本是5000元，现在生产1吨该药品的成本是3200元，进行列方程，解方程，即可作答． （2）根据生产1吨该药品的成本年平均降低率是，进行列式计算得出明年生产1吨该药品的成本，即可作答． （1）解：设生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意：， 解得：，（舍） 答：生产1吨该药品的成本年平均降低率是． （2）解：由（1）得生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意， 答：明年生产1吨该药品的成本是2560元． 【题型3 几何图形平移、折角问题】 1.（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米．若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 【答案】1 米 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． 根据图示信息用代数式表示出挂画的长和宽，根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可． 解：挂画的长为：米；挂画的宽为：米； 由题意得：， 解方程得：（不合题意，舍去）． 答：锦缎边饰的宽度为 1 米． 2.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 3.（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，设矩形的宽为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要是一元二次方程的应用题，关键是找出题中的等量关系；设矩形的宽为，则矩形的长为，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为，宽为，高为，根据盒子的容积是，列出方程即可． 解：设矩形的宽为，则矩形的长为，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为，宽为，高为， 根据题意： 故答案为：． 4.（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在一块矩形广场上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为，宽为，其中两纵道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区．若6块休闲区的面积和为，求道路宽多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设道路宽，根据休闲区面积，列出方程求解即可． 解：设道路宽． 解得：，（舍）． 答：道路宽． 【题型4 商品销售利润问题】 1.（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）某水果经销商以每千克8元的价格购进一批葡萄，若按每千克20元的价格销售，平均每天可售出60千克．经市场调研发现，若这批葡萄每千克的售价每降低1元，平均每天的销售量将增加10千克，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．请问水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】能达到，葡萄的销售单价为16元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，正确列出方程是解题的关键． 设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 解：设降价元，则销售量为千克， ∴， 解得，，， 当降价2元时，销售量为（千克）， 当降价4元时，销售量为（千克）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴能达到，葡萄的销售单价为16元． 2.（25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 3.（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______元． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 故每件应降价10元． 故答案为：10． 4.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，根据以上条件，解决下列问题： （1）如果上涨元，则售价为________元，则销量为________件； （2）该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】（1）；；（2）元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解变化量列方程求解是解题的关键． （1）根据售价与进价、上涨价格的关系以及销量与售价变化的关系求解即可； （2）先根据利润的计算公式列出方程，再解方程，最后根据销量尽可能大的条件确定售价； 解：（1）已知冰墩墩的进价是元，原售价为元，上涨元，那么售价为元， 每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，上涨元后，减少的销售量为件，所以销量为件； 故答案是：；． （2）由题意得：， 化简得：， ，， 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 要使销量尽可能大， ，此时售价为元． 【题型5 握手、循环比赛问题】 1.（25-26八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． （1）问该校八年级共有几个班？ （2）篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】（1）10个班；（2）5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． （1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2.（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 3.（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 4.（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 三、拓展性作业 【题型6 矩形靠墙面积问题】 1.（26-27九年级上·全国·单元复习）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： （1）如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? （2）如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； （1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 2.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（   ）    A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握根据几何图形的边长与面积关系列方程，并结合实际限制条件筛选解是解题的关键． 设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米，根据面积列方程求解，再结合墙长限制筛选符合条件的解． 解：设该养鸡场中垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米 ∵ 养鸡场的面积为 ∴ 整理方程得： 因式分解得： 解得：或 ∵墙长为， ∴平行于墙的边长不能超过 当时，平行于墙的边长为米 ∵，不符合墙长限制，故舍去； 当时，平行于墙的边长为米 ∵，符合墙长限制 ∴ 该养鸡场中垂直于墙的边长为． 故选：B． 3.（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【答案】 【分析】利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出取值范围． 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 4.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】（1）①；②米；（2）养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． （1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 【题型7 动态几何动点问题】 1.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1） ， （用含t的代数式表示） （2）则当t为何值时，的面积为． 【答案】（1）；；（2）或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． （1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 2.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 3.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 4.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． （1）当时，的面积为__________； （2）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】（1）；（2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． （1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）略 【题型8增长率与销售利润问题综合】 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）；（2）万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． （1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 2.（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】（1）；（2）购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． （1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 3.（26-27九年级上·全国·期末）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）40元；（2） 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． （1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 4.（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1）；（2）20元 【分析】（1）设月平均增长率为未知数，因为月平均增长率相同，所以根据初始销量、增长次数、最终销量的关系，可列一元二次方程求解． （2）设售价降低的金额为未知数，用降价金额表示出每架的利润和实际销售量，因为总利润=单架利润×销售量，所以结合总获利为1200元列一元二次方程，再根据尽量减少库存的条件选取符合要求的解． （1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 四、探究性作业 【题型9 一元二次方程与几何、函数探究应用】 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）能，；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在数字规律题中的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）令，即可求解； （2）根据即可求解； （3）令，即可求解． 解：（1）令，解得：（舍）， ∴； （2）前n行的点数总和为： （3）令， 解得：（负值舍去）， ∵为正整数， ∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）综合与实践 【问题呈现】 为了改善学生的学习环境，某新建学校要把一块矩形空地进行绿化，规划把空地面积的一半建造一个美丽花坛，剩余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理有创意，学校决定在全校同学中征集设计方案．该校数学兴趣小组的同学决定对此项目进行探究． 【问题解决】 工具：卷尺、标杆、笔、记录本等 任务：测量矩形空地的长和宽． 测量结果：矩形空地的长为米，宽为米． 【问题拓展】 拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为厘米，在边上确定中点，则的长应为_______； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形进行绿化，其余部分作为花坛，如图．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【问题应用】学校后期从同学们的投稿中，选取合适的方案，按照图纸进行绿化． 【答案】（1）厘米；（2）小路的宽为厘米时符合设计要求；（3）（答案不唯一，符合题意即可） 如图：连接，交于点， 四边形是矩形，，， ，， ， ≌， 同理：≌， ， ，且阴影部分是轴对称图形， 第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 【分析】本题主要运用矩形面积公式、比例尺以及轴对称图形的相关知识． （1）根据矩形长和比例尺计算对应线段长度，进而即可算出花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）通过设未知数，利用矩形面积关系建立方程求解； （3）根据轴对称图形性质进行设计方案绘制． 解：（1）为中点， 厘米， 故答案为：厘米； ， ； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，则：， ， ，（不符合题意，舍去）， 小路的宽为厘米时符合设计要求； （3）略 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 2．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 二、填空题 3．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 三、解答题 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 5．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1）；（2）该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． （1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $