25.2.3 因式分解法【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 25.2.3因式分解法分层作业（人教版九年级数学上册），同步新授课，通过“前置-巩固-拓展-探究-中考”五级分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象、运算推理与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|因式分解法基本思路、步骤与依据|填空式概念回顾，夯实抽象基础| |巩固性作业|提公因式法、公式法及实际应用|题型分层（选择/解答），结合砗磲生长等情境，强化运算推理| |拓展性作业|含参数方程、因式分解与函数综合|参数问题与函数结合，提升逻辑思维| |探究性作业|新定义运算、规律探究|新定义题型与阅读探究题，发展创新意识| |中考链接|中考考点与真题|中考真题演练，培养应用意识|

25.2.3 因式分解法【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 提公因式法解方程】 2 【题型2 运用公式法因式分解解方程】 3 【题型3 综合运用因式分解法】 4 【题型4 因式分解法的实际应用】 4 【题型5 基础解答】 5 三.拓展性作业（部分参与，选做） 6 【题型1 解含参数的一元二次方程】 6 【题型2 因式分解与函数综合】 7 四.探究性作业（部分参与，选做） 8 【题型1 规律探究与新定义】 8 【题型2 探究性综合问题】 9 五.中考链接（全员参与） 11 六.作业自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）因式分解法解一元二次方程的基本思路是：先将方程化为两个一次式的______等于0的形式，再使这两个一次式分别等于______，从而实现降次。这种解法叫做因式分解法。 （2）因式分解法的理论依据是：若ab＝0，则______或______。 （3）常见的因式分解方法有______法和______法（包括平方差公式、完全平方公式）。 （4）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程右边为______；②将方程左边进行______；③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的解。 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 提公因式法解方程】 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． （1）他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； （2）请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： 【题型2 运用公式法因式分解解方程】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： （1） （2） 2．（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程：，_______ 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程：． 【题型3 综合运用因式分解法】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： （1）； （2）． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）用因式分解法解下列方程： （1）． （2） 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【题型4 因式分解法的实际应用】 1．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率y（单位：/天）与年龄x（单位：岁）近似满足关系：．现测得某砗磲样本的平均日生长速率为天，求它的年龄． 2．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． （1）若“□”表示常数5，请你求出方程的解． （2）若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． （3）在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【题型5 基础解答】 1．（24-25九年级上·福建漳州·阶段检测）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程： （1）； （2） （3）． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）用适当方法解方程： （1）； （2）． 4．（24-25九年级上·河南商丘·期中）采用适当方法解下列方程． （1）； （2） 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 解含参数的一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川巴中·开学考试）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【题型2 因式分解与函数综合】 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知函数． （1）分别求出当和时，函数y的值； （2）当时，求自变量x的取值． 2．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 3．（24-25九年级上·河北张家口·阶段检测）定义为不大于实数x的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（　　）． A． B．， C． D．无实数解 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知关于x的一元二次方程： （1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型1 规律探究与新定义】 1．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 2．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 3．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如下图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的5倍． 【题型2 探究性综合问题】 1．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 2．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 3．（23-24八年级下·广西崇左·阶段检测）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． （1）【问题】方程的根是 ， ； （2）【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 4．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）关于x的一元二次方程经过适当变形可以写出的形式．现列表探究的变形： 变形 m n p 5 0 4 3 1 t 6 2 2 7 （1）表格中的t的值为______，m与n满足的等量关系为______，p的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； （2）若一元二次方程变形为，则______． 五.中考链接（全员参与） 一、单选题 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 三、解答题 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 4．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 5．（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 （1）随的增大而 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3 因式分解法【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 提公因式法解方程】 2 【题型2 运用公式法因式分解解方程】 5 【题型3 综合运用因式分解法】 7 【题型4 因式分解法的实际应用】 10 【题型5 基础解答】 13 三.拓展性作业（部分参与，选做） 17 【题型1 解含参数的一元二次方程】 17 【题型2 因式分解与函数综合】 20 四.探究性作业（部分参与，选做） 23 【题型1 规律探究与新定义】 23 【题型2 探究性综合问题】 26 五.中考链接（全员参与） 32 六.作业自我评价 38 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）因式分解法解一元二次方程的基本思路是：先将方程化为两个一次式的______等于0的形式，再使这两个一次式分别等于______，从而实现降次。这种解法叫做因式分解法。 （2）因式分解法的理论依据是：若ab＝0，则______或______。 （3）常见的因式分解方法有______法和______法（包括平方差公式、完全平方公式）。 （4）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程右边为______；②将方程左边进行______；③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的解。 【参考答案】 （1）乘积；0 （2）a＝0；b＝0 （3）提公因式；公式 （4）①0；②因式分解；③0 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 提公因式法解方程】 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． （1）他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； （2）请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】（1）小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． （2）先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． （1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 【答案】 0 3 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤填空即可． 解：略 4．（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】 解：∵， ∴， ∴，即， 解得． 【题型2 运用公式法因式分解解方程】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． （1）解：， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 3．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程：，_______ 【答案】，． 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程．先将方程分解为，再根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程，即可得到方程的解． 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 解：∵， ∴， ∴或， ∴ 【题型3 综合运用因式分解法】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， （1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）用因式分解法解下列方程： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是将方程通过因式分解转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再求解． （1）通过移项、运用因式分解公式将方程转化为两个因式的乘积为0的形式，进而求解； （2）运用因式分解公式将方程转化为两个因式的乘积为0的形式，进而求解． （1）解： 或 ； （2）解： ， 或， ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． （1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． （3）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． （1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． （3）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 【题型4 因式分解法的实际应用】 1．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率y（单位：/天）与年龄x（单位：岁）近似满足关系：．现测得某砗磲样本的平均日生长速率为天，求它的年龄． 【答案】64岁 【分析】将代入，得到一元二次方程，求解方程即得答案． 解：将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：该砗磲样本的年龄为64岁． 2．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方程的两个根． 先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． （1）若“□”表示常数5，请你求出方程的解． （2）若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． （3）在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【答案】（1），；（2）9；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根，再利用根的判别式，求出的取值范围，即可解答； （3）利用配方法解方程即可． （1）解：由题意得，， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，； （2）解：设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根， ∴， 解得：， ∴的最大值为9， 即字母“□”的最大值为9； （3）解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴方程的解为． 【题型5 基础解答】 1．（24-25九年级上·福建漳州·阶段检测）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）无解；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可求解． （1）解：，，， ∵， ∴原方程无实数根，即原方程无解； （2）解：原方程化为，即， ∴或 ∴，． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程： （1）； （2） （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用配方法进行解方程，即可作答． （1）解： 或， ∴； （2）解： 或， ； （3）解： ∴， ． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分组分解法，十字相乘法．掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可． （1）解：， 或， ; （2）整理得：， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 该一元二次方程的解是 4．（24-25九年级上·河南商丘·期中）采用适当方法解下列方程． （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】你主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将方程变形，用因式分解法解方程即可得到答案； （2）将方程变形，用公式法解方程即可． （1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， ， ，． 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 解含参数的一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川巴中·开学考试）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 【题型2 因式分解与函数综合】 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知函数． （1）分别求出当和时，函数y的值； （2）当时，求自变量x的取值． 【答案】（1）当和时，函数y的值都为16；（2） 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． （1）直接将和代入函数，计算即可求解； （2）令，解一元二次方程即可． （1）解：当时，， 当时，， 则当和时，函数y的值都为16； （2）解：当时，可有，即， 解得． 2．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 解：函数是正比例函数， ， 解得：． 3．（24-25九年级上·河北张家口·阶段检测）定义为不大于实数x的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（　　）． A． B．， C． D．无实数解 【答案】A 【分析】此题考查了新定义问题，二次函数的性质，解一元二次方程因式分解法，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据图象确定出的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可． 解：当时，原方程可化为， 解得，，均不符合题意，舍去； 当时，原方程可化为， 解得，（舍去）； 综上所述，方程的解为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知关于x的一元二次方程： （1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式． 【答案】（1）证明： ， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，再根据非负数的意义及已知条件得到，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根； （2）先解出方程的两个根，，判定根的大小，代入原式即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴方程的两个根分别为和， ∵， 又∵， ∴， ∴． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型1 规律探究与新定义】 1．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 2．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 3．（24-25九年级下·青海西宁·开学考试）将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如下图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的5倍． 【答案】20 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知， 解得， 又n为正整数，则，即第20个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的5倍． 故答案为：20． 【题型2 探究性综合问题】 1．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】（1），；（2）2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． （1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 2．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）方程两边平方，将无理方程转化为一元二次方程求解，注意检验增根． 解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴． ∴或． 解，得，． ∴原方程的解为，，． （3）方程的两边平方，得． 整理，得． 解得，． ∵，， ∴． ∴原方程的解为． 3．（23-24八年级下·广西崇左·阶段检测）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． （1）【问题】方程的根是 ， ； （2）【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 【答案】（1）；1；（2）①，②或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可； （2）①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或或， 解得， 故答案为：；1； （2）解：①∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴； ②令，则， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 4．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）关于x的一元二次方程经过适当变形可以写出的形式．现列表探究的变形： 变形 m n p 5 0 4 3 1 t 6 2 2 7 （1）表格中的t的值为______，m与n满足的等量关系为______，p的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； （2）若一元二次方程变形为，则______． 【答案】（1），，减小；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）结合表格数据即可判断得解； （2）依据题意，由，则，从而，结合变形为，进而可以判断得解． （1）解：观察：由表格可得； 由、、、知， 对于，，； 对于，，； 对于，，； 对于，，． 可以发现的值从逐渐减小到，的值从逐渐增大到， 的值随值的增大而减小． 故答案为：，，减小． （2）由题意，， ， ， 变形为， ，． ∴ 故答案为： 五.中考链接（全员参与） 一、单选题 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 二、填空题 2．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 三、解答题 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 【答案】， 解： 或 ，． 4．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或；（2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 5．（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 （1）随的增大而 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 【答案】（1）增大；（2）证明：函数与轴，轴分别交于，两点， 令，得， ，， 令，得， ，两边除以得， 解得， ，， （3）存在，函数解析式为和 （4）① ；② 示例：点符合条件，验证见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据一次函数增减性的判定，由得一次项系数，可直接判断增减性； （2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可证明结论； （3）将点坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解得到非零的，即可得到对应函数解析式； （4） ① 将点代入函数，整理得到关于的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相等实根，利用判别式为0整理即可得到关于的解析式； ② 任意取符合条件的点，求出对应函数和坐标，计算中点验证即可． 解：（1）一次函数为， ， ，即， 随的增大而增大. （2）略 （3）解： 将代入得： ， 整理得， 解得，，均满足， 因此存在符合要求的函数， 当时，解析式为， 当时，解析式为. （4）① 解： 将代入 得： ， 整理得， 函数有且只有一个，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 令得， 不在坐标轴上， ， 整理得. ② 验证： 取，得，即， 代入得， 解得，满足， 函数解析式为， 令得， ， 令得， ， 中点坐标为，与坐标一致，因此是的中点. 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $