25.2.3 因式分解法（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.A2.x2+6x-2=016-23.a≠3【变式题】-24.B5.36.07.A 8.C9.A10.22 11.解：(1)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(14一x)cm.根据题 意，得号x(14-x)=24.化成一般形式为2-14红十48=0.(2)设这个群里有x名好 友.根据题意，得x(x一1)=132.化成一般形式为x2一x-132=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.x1=1,x2=一12.D【变式题】C 3.解：(1)整理，得x2=8.根据平方根的意义，得x=士2√2，即1=2√2，x2=一2√2. (2)整理，得r=号根据平方根的意义，得x=土号，即4=号=一号.(3)整理， 得x2=100.根据平方根的意义，得x=士10，即x1=10,x2=一10. 4.D5.D 6.解：(1)整理，得x2=1.根据平方根的意义，得x=士1，即x1=1,x2=一1.(2)根据平 方根的意义，得2x十1=士5，即2x+1=5,或2x十1=-5，解得x1=2,x2=-3.(3)整 理，得(x十1)2=4.根据平方根的意义，得x+1=士2，即x十1=2，或x+1=一2，解得 x1=1,x2=-3. 7.C8.89.一3305【变式题】x1=2,x2=-2 10.解：(1)整理，得(x一3)2=7.根据平方根的意义，得x一3=士√7，即x一3=√7，或x -3=-√7，解得x=3十√7，x2=3-√7.(2)根据平方根的意义，得2x十3=3x十2，或 2x十3=-3x-2,解得x1=1,x2=-1. 11.解：把x=2代入方程(x十1)2=k2+3,得(2十1)2=k2+3,k2=6,解得k=士√6. .原方程是(x十1)2=9，解得x1=一4，x2=2..方程的另一个根是x=一4. 12.解：(1)52-2-8(2)原方程变为[(x-1)-4][(x-1)+4]=6,∴.(x-1)2 一4=6..(x一1)2=22.根据平方根的意义，得x一1=士√22，解得x1=1十√22，x2 =1-√22. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.(111(2)3号3.A4.B 5.解：(1)移项，得x2-2x=2.配方，得x2-2x十12=2+12，即(x一1)2=3.由此可得x -1=±5，解得=1+，=1-.(2)配方，得x+7z+(经)'=-是+ (仔)》广，即(+子)”=9.由此可得x计子=士3，解得=一分a=一号 6.C 7.解：(1)移项、二次项系数化为1，得x2-4x=6.配方，得x2-4x十22=6十22，即(x 2)2=10.由此可得x-2=±√0，解得1=2十√0，x2=2-√0.(2)移项、二次项 系数化为1，得2-2x=号，配方，得x2-2x+1=号+1，即（红-1）=了，由此可得 x-1=士四，解得=1+，=1-.(3)移项、二次项系数化为1，得2 号x=多配方，得2-号x+(号)°=是+（号），即(x-号)°-8由此可得x 号=土台，解得五=1=一是 8.D9.A10.x1=206,x2=-204 11.解：(1)移项，得x2十2√2x=-1.配方，得(x十√2)2=1.由此可得x十√2=士1，解得 x1=-√2+1，x2=-√2-1.(2)整理，得3x2+2x=-1.二次项系数化为1，得x2十 号=一子配方，得（十3）广=一合”-号<0原方程无实数根 12.解：1)=54=号(22(3)二次项系数化为1，得-9x=-1.配方， 得(x一)}'-尝开平方，得x一号=士号=5=言经检酸南=5 5 号都是原方程的解。(1)中猜想结论正确. 专题特训配方法的常见运用 1.C 2.解：(1)11(2)3-x2+2x=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.,(x-1)2≥0，.-(x -1)2≤0..-(x-1)2+4≤4..3-x2十2x的最大值为4. 3.解：5x2-6x十4-(x2-2x+2)=4x2-4x+2=(2x-1)2+1.(2x-1)2≥0，∴.(2x -1)2+1>0..5x2-6.x+4>x2-2x+2. 4.解：(1)x2-4x+y2+2y+5=0,∴.(x-2)2+(y+1)2=0..x-2=0,y+1=0,解 得x=2,y=-1.(2)a2+b2=12a+8b-52,∴.(a-6)2+(b-4)2=0.a-6=0,b- 4=0,解得a=6,b=4..△ABC是等腰三角形，∴.c=4或6. 5.解：原式=x2-4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x- y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.C2.A3.m>8 4.解：(1)a=1,b=-3V2,c=4,.△=b-4ac=(-3W2)2-4×1X4=2>0.∴.方程 有两个不相等的实数根.(2)方程化为x2+5x十10=0.：a=1,b=5,c=10,∴△=b 4ac=52-4X1×10=-15<0..方程没有实数根.(3)方程化为x2+6x十9=0.a= 1,b=6,c=9,∴.△=b2一4ac=62一4×1×9=0.，∴.方程有两个相等的实数根. 5.C【变式题】D6.有两个不相等的实数根 7.(1)证明：由题意，得△=(2a+1)2-4×2(a-1)=4a2+4a+1-8a+8=(2a-1)2+ 8.,(2a-1)2≥0，∴.△=(2a一1)2十8>0..此方程一定有两个不相等的实数根. (2)解：由题意，得△=(2a-1)2十8=9，.(2a-1)2=1,解得a1=0,a2=1.,该方程为 一元二次方程，.a-1≠0，即a≠1.a=0. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.B2.B3.D 4-8-2-32(一2》25不相等二别洁医？名 2X2 5.解：(1)·a=2,b=7,c=0,.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相 等的实数根六一止匹-装-7，即A-0,=一子.（②=3， 2a 2×2 b=-5,c=1,.△=62-4ac=(-5)-4×3×1=13>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.工=b吐4@c=二（一》生压-5±压，即=5+，，= 2a 2×3 6 2 5-压.(3)方程化为9x2+7x+2=0.”a=9,b=7,c=2,△=-4ac=72-4X9 6 ×2=-23<0.∴.原方程无实数根.(4)a=1,b=一2√2，c=2,.△=b2-4ac= （一2②-4X1X2=0六方程有两个相等的实数根，小通==一名--区 6.c7.c8.12 9.解：(1)方程化为2x2+2x-1=0.a=2,b=2,c=-1,∴.△=b2-4ac=22-4×2× （一1)=12>0.∴方程有两个不相等的实数根.x=二b士Y-4ac=一2±区 2a 2×2 -2±23，即=-1+3，x4=-125.(2)方程化为2x-x-3=0.:a=2,6= 4 2 2 -1,c=-3,∴.△=6-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0.∴.方程有两个不相等的实 数根-生公@c-二《一议装压1与，即-是=-1 2a 2X2 10第：(1)：∠ACB=90,BC=号，AC=6,AB=VBC+AC=√+8= Y@亚.：BD=号，∴AD=AB-BD=Y中-2.(2)方程可化为x十aE-公 2 2 =0,小4=a2-4×1X(-8)=a2+4h>0.x=二a±a+4 2 ,即x= -a+√a+46 ,4=二a一@+4近：AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不 2 2 能表示方程的负根， 25.2.3因式分解法 1.D【变式题】C2.A 3.解：(1)左边因式分解，得x(x十4)=0..x=0,或x十4=0.∴.x1=0,x2=-4.(2)移 项，得x(x-7)+8(x-7)=0.左边因式分解，得(x-7)(x十8)=0..x-7=0,或x十8 =0..x1=7,x2=-8.(3)左边因式分解，得(x-1+2)(x-1-2)=0,即(x十1)(x- 3)=0.∴.x+1=0,或x-3=0..x1=-1,x2=3. 4.A 5.解：(1)移项，得2x2=8.二次项系数化为1，得x2=4.x1=2,2=-2.(2)配方，得 y2-2y+12=80+12,即(y-1)2=81.y-1=±9.y1=10,y=-8.(3)a=1,b =-5,c=2,△=b2-4ac=(一5)2-4×1×2=17>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.“r=生你4@c-二（一，生应=5±)厘，即=5+y,= 2×1 2 2 5二应.(4)移项，得(x十5)一2(x十5)=0.左边因式分解，得(x+5)(z十5-2)=0. ∴.x十5=0，或x+3=0..x1=-5,x2=-3. 6.B7.18.12 9.解：1)-（2)a=子=1(3)①整理，得(x+1D(x-1D-4(x-1D=0.左边因 式分解，得(x-1)(x十1一4)=0..x-1=0,或x-3=0,解得x1=1,x2=3.②整理， 得3(x-5)2+(x+5)(x-5)=0.左边因式分解，得(x-5)(3x一15十x十5)=0.∴.x一 5=0,或4x-10=0,解得=5，=号 10.解：(1)①②(2)解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，m一1 =0,解得m=1;当相同的根是x=2时，4十2+m-1=0,解得m=-5.综上所述，m的 值是1或-5.(3)，关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)同时满足a一b+c= 0和9a十3b十c=0,∴该方程的两个根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的 3 两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2+bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，n=一1或3. 专题特训一元二次方程的解法【热点】 1,解：1)移项，得红=25.二次项系数化为1，得2-空根据平方根的意义，得x 土号∴=号=一号.(2)移项，得(x一1=25，根据平方根的意义，得x-1= .5 士5.∴x-1=5,或x-1=-5..=6,x2=-4.(3)配方，得x2-23x+(W3)2=1十 (W3)2,即(x-√3)2=4..x-√5=2，或x-√3=-2..x1=√3+2，x2=√5-2.(4)移 项，得x2-7x十12=0.，a=1,b=-7,c=12,.△=2-4ac=(-7)2-4×1×12=1> 0.方程有两个不相等的实数根。=二（2生-7生.=4，=8，(5)整 2×1 理，得2x2-7x+7=0.a=2,b=-7,c=7,∴.△=b-4ac=（-7)2-4×2×7=-7< 0.∴.原方程无实数根.(6)左边因式分解，得(x一1)(x-3)=0.∴x-1=0,或x-3= 0..x1=1,x2=3.(7)整理，得2x2十2V2x十1=0.a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2- 4如c=(2v②)-4X2X1=0.∴方程有两个相等的实数根.==一号-一. 2X2 2· (8)移项，得(2x一1)2一(3-x)2=0.左边因式分解，得(2x一1十3-x)(2x一1-3十x) =0,即(x十2)(3x-)=0.∴x十2=0，或3x-4=0.∴=-2，=手(9)整理，得 x2十9x十20=0.a=1,b=9,c=20,.△=b2-4ac=92-4×1X20=1>0..∴.方程有 两个不相等的实数根.=装-号=一4=-5. 2×1 2.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十2)=0..x十1=0，或x+2=0..x1=一1，x2 =-2.(2)左边因式分解，得(x-4)(x十2)=0.∴.x-4=0,或x十2=0.∴.x=4,x2= -2.(3)左边因式分解，得(2x-3)(x十2)=0.2x-3=0,或x十2=0.a=号， =一2.(4)左边因式分解，得(x-√2)(x一1)=0.∴x一√2=0，或x-1=0.∴.x1=√2， x2=1. 3.解：(1)设3x一5=y,则原方程可化为y2十4y十3=0，解得y=-3,y2=一1.∴.3x一 5=-3,或3x-5=-1.函=号w=专(2)设2=y,则原方程可化为-y一6= 0,解得y=3,y2=-2(舍去).x2=3.∴.x1=√3，x2=一√3.(3)设x2-x=y,则原方 程可化为y(y-4)=-4,解得1=y2=2.x2一x=2..x1=2,x2=一1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.C2.B3.D 4.解：函十=-吾4=0.2a+名=-2E,=-号.(8)方程化为5 3z3=0.心西十2三号，x4=-号 5.B6.47.m>号 8.解：(1)，一元二次方程x2一(2k十1)x十2+1=0有两个不相等的实数根，.△= [-(2+1DP-4(+1)>0,解得>.(2)答案不唯一，如：选①.由题意，得= 皮+1=2解得k=士1.由(1)，得>k=1. 9.D10.D11.C 12.解：西是方程2x+3x一8=0的两个根，面十=-一多，=-1.(1 十店+a=(国十-=（是）-(-10=终.(2)要+号- 西+-2盟-+2（) -2= -2=-17 X1X2 X1X2 一1 Γ4 13.解：(1)，关于x的一元二次方程kx2十x一3=0有两个不相等的实数根，∴.△=12 一4X(一3)>0，解得>-立又：≠0，实数及的取值范围为>一立且≠0. (2由根与系数的关系，得西十=一名函=一是“（西一）十5函=（国十 )+-(-安)》-是=4，阁得=6-1.心一立且0=子 1 14.C【解析】设菱形的两条对角线的长分别为a,6.“菱形的面积为11，之ab=11, 即ab=22.由根与系数的关系，得a+6=10.菱形的边长为√（受）+（名）= 7Va+6-2a6=710-2x2=Vm. 专题特训根与系数的关系的运用【新教改变化】 1.D2.B3.-3 4.(1)解：将x=1代入方程x2十ax+a一3=0，得1十a+a一3=0，解得a=1.∴.原方程 为x2十x一2=0.设另一个根为x1,则1·x1=一2，解得x1=一2..该方程的另一个根 为一2.(2)证明：，△=a2一4(a一3)=(a一2)2+8>0，.不论a取何实数，该方程都有 两个不相等的实数根。 5.C 6.解：方程化为4x2-7x-3=0,.x1十x2 、 x2= 7 =-子2+=+2-2=(）‘-2x(-）=得 4 【变式题1】C 【变式题2】解：·a,b是互不相等的两个实数，且分别满足a2-a-1=0,-b-1=0, ∴.a,b可看作方程x2-x-1=0的两个实数根.∴.a十b=1,ab=-1.∴.a十b十2ab=1 +2×(-1)=-1. 7.解：(1)根据题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)根据题意，得x十x2 =6,x1x2=2m+1.2x1x2十1十x2≥20，.2(2m十1)+6≥20，解得m≥3.m≤4， .3≤m4. 8.解：1)由题意，得4=[-(2m+3)]3-4(m+2)≥0，解得m≥-立(2)根据题意， 得x十x2=2m+3,x1x2=m2+2.x号+x号=16十x1x2,.(1十x2)2=16+3x1x2. .(2m十3)2=16+3(m2+2),解得m=-13(不合题意，舍去)，m2=1..m的值为1. 9.解：1)根据题意，得4=（一42-4(-2m十5）>0，解得m>号，(2)设，a是方程 的两根根据题意，得=-2m十5>0，解得m<号.“m>名合<m<号∴m 的最小整数值是1.当m=1时，原方程是x2一4x十3=0，解得x1=1,x2=3. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.4 3.解：设一直角边的长为xcm,根据勾股定理，得(24一10-x)2十x2=102,解得x1=6, x2=8.当x=6时，24一10-x=8:当x=8时，24一10-x=6.答：这个直角三角形两直 角边的长分别为6cm和8cm. 4.B 5 5.解：设小路的宽为xm(0<x8).根据题意，得(16一2x)(9一x)=112,解得x1=1, x2=16(舍去)..x=1.答：小路的宽应为1m. 6.D7.5 8.解：设甲、乙、丙三块绿地周围的硬化路面的宽为x(0<x<15).根据题意，得(60一 4x)(40-2x)=60×40×7,解得x1=5,=30(舍去).·x=5.答：三块绿地周围的 硬化路面的宽为5m. 9.解：(1)根据题意，得AQ=tcm,BP=2tcm,.AP=(6-2t)cm,DQ=(4-t)cm.四 边形ABCD为矩形，∠A=90.Sm=号DQ·AP=6,即2（4-)(6-2)=6， 解得i=1,t=6(不合题意，舍去)..当t的值为1时，△PDQ的面积为6cm2.(2)不 存在.理由如下：由(1)，得AQ=tcm,AP=(6-2t)cm,DQ=(4-t)cm..PQ=AQ+ AP=t+(6-2t)2.,△PDQ为等腰三角形，∴DQ=PQ.∴.DQ=PQ,即(4-t)2= +(6-2t)2.整理，得t-4t十5=0.，△=(-4)2-4×1×5=-4<0，.原方程无实 数根.∴.不存在t的值，使△PDQ为等腰三角形. 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 1.A2.8 3.解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x人.根据题意，得1十x十(x十1)x=144,解得 x1=11,x2=一13（不合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一人传染了11人.(2)144十11 ×144=1728(人).答：经过三轮传染后共有1728人患流感. 4.A5.A 6.解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x.由题意，得20(1+x)2=24.2,解得 x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增长率为 10%.(2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）.答：预计该商场七月份投人资金 将达到26.62万元. 7.C8.6 9.解：(1)设该市近两年商品房成交均价平均每年的降价率为x.根据题意，得10000(1 -x)2=10000×(1一36%)，解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去).答：该市 近两年商品房成交均价平均每年的降价率为20%.(2)10000×(1一36%)×(1一20%) =5120(元/m2).答：明年该市商品房的成交均价约为5120元/m2. 10.解：设每个人每天把消息转发给了x个人.根据题意，得9(1十x)2=1089.解得x1 =10,x2=一12（不合题意，舍去）.答：每个人每天把消息转发给了10个人. 11.解：(1)20000÷20=1000(kg/亩).答：去年种植南瓜的亩产量为1000kg/亩. (2)20(1+2x)(3)根据题意，得1000(1十x)·20(1十2x)=26400,解得x1=0.1= 10%,x2=一1.6（不合题意，舍去）.答：今年平均亩产量的增长率为10%. 第3课时循环、数字与销售问题 1.7x(x一1)=45【变式题1 2.解：设数学兴趣小组的人数是x.根据题意，得x(x一1)=210，解得x1=15,x2=一14 (不合题意，舍去).答：数学兴趣小组的人数是15. 3.D 4.解：设最小的数为x,则最大的数为x十10.根据题意，得x(x十10)=144，解得x1= 8,x2=-18(舍去)..x十10=18.答：最小的数为8，最大的数为18. 5.(x-3)(x+3)=160136.(1)①(130+x)②(70-x)(2)(130+x-120)(70 -x)=1600(3)x1=x2=30(4)160(5)1607.A8.89.36 10.解：(1)(20+2x)(40-x)(2)根据题意，得(20十2x)(40-x)=1200,解得x1= 10,x2=20.,要尽快减少库存，.x=20.答：每件大衣应降价20元. 625.2.3因式分解法 A分点训练 0夯实基础 知识点2用适当的方法解一元二次方程 知识点①用因式分解法解一元二次方程 4.解方程(x一3)2=4，最合适的方法是() 1.方程(x-1)(x十2)=0的两根为( A.直接开平方法 B.配方法 A.x1=-1,x2=2B.x1=1,x2=2 C.公式法 D.因式分解法 5.用适当的方法解下列一元二次方程： C.x1=-1,x2=-2D.x1=1,x2=-2 (1)2x2-8=0; 【变式题】条件与结论互换 已知一元二次方程的两根分别为x1=一3， x2=一4，则这个方程可以为 () A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0 C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0 2.用因式分解法解一元二次方程x(x一3)= (2)y2-2y=80; x一3时，原方程可化为 () A.(x-1)(x-3)=0B.(x+1)(x-3)=0 C.x(x-3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 3.用因式分解法解下列方程： （1)x2+4x=0; (3)x2-5x+2=0: (2)x(x-7)=8(7-x); (4)(x+5)2=2(x+5). (3)(x-1)2-4=0. 10 数学九年级上册人教版 B综合运用 。提升能力 C创新拓展 ⊙发展素养 6.下列一元二次方程中，最适合用因式分解法 10.新趋势新定义定义：若两个一元二次方程 求解的是 ( 有且只有一个相同的实数根，我们就称这 A.(x-2)(x+5)=2B.(x-2)2=x-2 两个方程为“同伴方程”.例如，方程x2=4 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 和(x一2)(x+3)=0有且只有一个相同的 7.情境题科技创新)下图是小明与DeepSeek的 实数根x=2,所以这两个方程为“同伴 对话，DeepSeek在深度思考后，告诉小明这 方程” 个数是 (1)根据以上定义，下列方程属于“同伴方 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再 程”的是 .(填序号) 减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个 ①(x-1)2=9; 数相同？ ②x2+4x+4=0; 8.(易错题)已知等腰三角形的两边长分别是 ③x2+2x-8=0. 一元二次方程x2一7x十10=0的两根，则该 (2)关于x的一元二次方程x2一2x=0与 等腰三角形的周长是 x2十x十m一1=0为“同伴方程”，求m 9.新趋势过程纠错)小明同学解一元二次方程 的值. 的过程如下，请仔细阅读，并解答下列问题： (3)若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 解方程：(3x-1)2=2(3x-1). (a≠0)同时满足a一b+c=0和9a+3b+ 解：方程两边同除以3x一1，得3x一1=2. c=0,且与(x一)(x十3)=0互为“同伴方 (第一步) 程”，求n的值. 移项、合并同类项，得3x=3.（第二步) 系数化为1，得x=1.（第三步) (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)此题的正确结果是 (3)用因式分解法解方程： ①x2-1=4(x-1); ②3(x-5)2=25-x2. 第二十五章一元二次方程 11