第25章专题复习-一元二次方程的根与系数的关系 题集2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础计算、参数求解、综合应用等题型构建递进式训练，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|约6题|已知方程求两根和/积、已知一根求另一根|从韦达定理直接应用到简单变形| |参数求解|约5题|已知根的关系求参数、根的性质（互为倒数等）|结合方程定义与根的判别式深化应用| |综合拓展|约7题|代数式求值、构造方程、含参数综合题|从数量关系到数学模型，培养应用意识|

1. 已知一元二次方程 的两根为、，则 （ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ∴ ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程 的两根为 和，则 的值是（ ）． A. B. C. D. C 略． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 3. 已知：关于 的方程 ． （ 1 ）若方程总有两个实数根，求 的取值范围． （ 2 ）若两实数根 、 满足 ，求 的值． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）∵ ， ， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴由 解得： ∵ ． ， 得： ， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 4. 若关于的二次方程 的两实根互为倒数，则 ． 由方程的两实根互为倒数可得， ，解得 ， ， 又∵ ∴ ∴ ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 5. 若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（ ）． A. B. C. D. A ∴ ∴ 不妨设方程 ，则 ，将 的两个根为 、 ，且 ， ， 代入方程 整理，即可得 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 6. 已知关于的方程的两根分别是，，且满足 ，则的值是 ． ∴ ∴ 解得： ∵关于 的方程 ， 的两根分别是 ， ， ， ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 7. 已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是 ，若 ，则的值 ． ; （ ）由方程有两个实数根，可得 ， 解得 ． 答： 的取值范围是 （ ）依据题意可得 ． ， ， ， 由（ ）可知 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， 解得 ∴ 的值是 （舍去）， ． ， 答： 的值是 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 8. 已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） ． ． ． ．． ． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 5 ） ． （ 6 ） ． （ 1 ）由韦达定理知 ， ．于是 ， ．于是 ． （ 2 ）由韦达定理知 ， ．于是 ， ．于是 ． （ 3 ）由韦达定理知 ， ．于是 ， ．于是 ． （ 4 ）由韦达定理知 ， ．于是 ， ．于是 ． （ 5 ）由韦达定理知 ， ．于是 ， ．于是 ． （ 6 ） ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 9. 已知实数，且满足，，则的值为（ ）． A. B. C. D. B 容易知道 整理得 于是有 是方程 ， ，于是 的两个根， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 10. 已知关于的一元二次方程 有两个实数根 ， ． （ 1 ）求实数的取值范围． （ 2 ）是否存在实数使得 成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由． （ 1 ） 时，原方程有两个实数根． （ 2 ）不存在实数 使得 成立． （ 1 ）∵原方程有两个实数根， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴当 ， ． 时，原方程有两个实数根． （ 2 ）假设存在实数 使得 成立． ∵ ∴由得 ∴ ， 是原方程的两根， ， ， ． ． ，整理得： 时，上式才能成立． ， ， ∴只有当 又∵由（ ）知 ∴不存在实数 使得 成立． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 11. 已知，是方程的两个根，求的值为 ． 由韦达定理知： ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 12. 设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是 ． 由韦达定理知 ， 所以 ， ， ， ， 所以，以 、 为两根的一元二次方程为 ． 【知识点】由一元二次方程的解求参数的值 $ 1. 已知一元二次方程 A. B. 的两根为 、，则 C. （ ）． D. 2. 一元二次方程 A. B. 的两根为 和 ，则 C. 的值是（ ）． D. 3. 已知：关于 的方程 ． （ 1 ）若方程总有两个实数根，求 的取值范围． （ 2 ）若两实数根 、 满足 ，求 的值． 4. 若关于的二次方程 的两实根互为倒数，则 ． 5. 若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知关于的方程的两根分别是，，且满足 ，则的值是 ． 7. 已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是 ，若 ，则的值 ． 8. 已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值： 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） ． ． ． ．． ． 9. 已知实数，且满足，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程有两个实数根 ， ． （ 1 ）求实数的取值范围． （ 2 ）是否存在实数使得 成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由． 11. 已知，是方程的两个根，求的值为 ． 12. 设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是 ． $ 1. 已知一元二次方程 的两个实数根分别是、 ，则 ． 2. 如果，是方程 的两个根，那么 ； ． 3. 若关于的方程 的一个根是 ．则另一根 ； ． 4. 若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式． 5. 已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根． 6. 已知关于的方程的两个根为、，若，则 ． 7. 求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，． 8. 若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则 ． 9. 已知、 是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示） （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 10. 已知一元二次方程的两个根为、，则 ， ， ， ． 11. 已知，是方程的两个根，那么 ， ． 12. 已知、是方程的两根，求的值． 13. 已知 ， ，求 的值． 14. 若 ，且 及 ，则 ， . 15. 设，是方程的两个实数根（），求的值． 16. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）若方程有实数根，求实数的取值范围． （ 2 ）若方程两实数根分别为，，且满足 ，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 17. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：方程总有实数根． （ 2 ）设这个方程的两个实数根分别为，，且 ，求的值． 18. 关于的一元二次方程 的两个实数根分别为，． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若 ，求 的值． $ 1. 已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 2. 如果，是方程的两个根，那么 ； ． ; 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 3. 若关于的方程的一个根是．则另一根 ； ． ; 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 4. 若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式． ． 设 的二根为 ， ， 则 消去 得： ，且 ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 5. 已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根． ．方程另一根为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴把 得： ∵ ∵方程一个根为 ． 代入 ，解得 ． ． ． ，方程另一根为 ． ． ∴ ∴ ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 6. 已知关于的方程的两个根为、，若，则 ． ∵ ， ． ， ∵ ∴ 解得： ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 7. 求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，． ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 8. 若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 9. 已知、 是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示） （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 1 ） ． （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ． ． ． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 【知识点】利用根求代数式的值 10. 已知一元二次方程的两个根为、，则 ， ， ， ． ; ; ; ∴ ∴ ∵方程 ， 有两个根 ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 11. 已知，是方程的两个根，那么 ， ． ; 略． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 12. 已知、是方程的两根，求 的值． ． 方法一：由韦达定理可得， ， ． ∴ ， ∴ ． 方法二：所以 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 13. 已知，，求的值． 若 ，则 ，若 ， ． ( )若 ( )若 则 有两种情况： ，则 ， ，根据题意， 、 是方程 ， ， ，即 的根， ， ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 14. 若，且及，则 ， . ; 由 可得 ，又由 可的 ， ∴ ， 为方程 ∴ ， 的两个不等实根. ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 15. 设，是方程的两个实数根（ ），求的值． 将 ， 代入方程，得 ① ② 由①-②， ∴ 得 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 16. 已知关于的一元二次方程 ． （ 1 ）若方程有实数根，求实数的取值范围． （ 2 ）若方程两实数根分别为，，且满足 ，求实数的值． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）根据题意得 ， 解得 ． （ 2 ）根据题意得 ， ， ∵ ∴ ， ，即 ， ∴ 整理得 ， ，解得 而 ， ， ， ∴ 的值为 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 17. 已知关于的一元二次方程 ． （ 1 ）求证：方程总有实数根． （ 2 ）设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ， ． （ 1 ） ， ∵ ， ∴方程总有实数根． （ 2 ）由题意可得 ， ， ， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ． 【知识点】一元二次方程根的判别式 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若 ，求的值． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ） （ 2 ） $