25.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 同步练聚焦人教版九年级上册“一元二次方程的根与系数的关系”，分层设计清晰，从基础应用到中考综合，覆盖韦达定理全考点，适配新授课巩固与思维提升，培养运算能力、推理意识和应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|韦达定理直接应用（求两根和积、参数、代数式值等）|选择填空为主，巩固概念，如不解方程求两根和积| |进阶思维题|综合应用（两根差、相反数根、判别式证明）|解答题占比增加，提升推理能力，如证明方程总有实根| |中考链接题|中考真题再现（定理应用、综合计算）|对接中考题型，强化应用意识，如已知两根关系求参数|

人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 本节知识点总结 1. 韦达定理（根与系数的关系）：如果一元二次方程的两个根是x₁、x₂，那么： x₁ + x₂ = -，x₁·x₂ = 。 2. 韦达定理的推导：由求根公式x = ， x₁ + x₂ = = - = -， x₁·x₂ = = = = = 。 3. 韦达定理的应用： ① 不解方程，直接求两根的和与积； ② 已知一根，求另一根和参数； ③ 求与两根有关的代数式的值； ④ 利用根与系数的关系检验方程的根。 4. 常用的两根代数式变形： ① x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ ② + = () ③ (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ ④ = ⑤ x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) 5. 注意：韦达定理成立的前提是方程有实数根，即Δ ≥ 0。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接求两根的和与积（不解方程） 1．（2024秋·江苏南京·单元测）方程x² + 3x - 4 = 0的两根之和为（　　） A．3 B．-3 C．4 D．-4 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）方程2x² - 5x + 1 = 0的两根之积为（　　） A． B．- C． D．- 3．（2024秋·山东济南·月考）方程x² - 6x + 8 = 0的两根之和为________，两根之积为________。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）方程3x² + 2x - 6 = 0的两根之和为________，两根之积为________。 题型02 已知一根求另一根及参数 5．（2024秋·湖南长沙·期中）已知方程x² + px + 6 = 0的一个根为2，则另一个根和p的值分别为（　　） A．3，-5 B．3，5 C．-3，-5 D．-3，5 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）已知方程2x² + mx - 4 = 0的一个根为1，则m = ________，另一个根为________。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）已知关于x的方程x² - 4x + k = 0有一个根为-1，求k的值及另一个根。 题型03 求两根代数式的值 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）已知x₁、x₂是方程x² + 3x - 1 = 0的两个根，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）已知x₁、x₂是方程2x² - 4x + 1 = 0的两个根，则 + 的值为（　　） A．4 B．-4 C． D．- 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 5x + 6 = 0的两个根，则(x₁ - x₂)²的值为________。 11．（2024秋·天津南开·单元测）已知x₁、x₂是方程x² + 2x - 3 = 0的两个根，求下列各式的值： （1）x₁² + x₂²；（2） + ；（3）(x₁ - x₂)²。 题型04 利用韦达定理检验方程的根 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）下列方程中，两根之和为3的是（　　） A．x² + 3x - 4 = 0 B．x² - 3x + 4 = 0 C．x² - 3x - 4 = 0 D．x² + 3x + 4 = 0 13．（2024秋·广东深圳·月考）已知方程x² + bx + c = 0的两根为2和-3，则b、c的值分别为（　　） A．b = 1，c = -6 B．b = -1，c = -6 C．b = 1，c = 6 D．b = -1，c = 6 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）若一元二次方程的两根为-2和5，则这个方程可以是（　　） A．x² + 3x - 10 = 0 B．x² - 3x - 10 = 0 C．x² + 3x + 10 = 0 D．x² - 3x + 10 = 0 题型05 韦达定理与判别式结合 15．（2024秋·福建福州·单元测）关于x的方程x² - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知关于x的方程x² - 4x + k = 0有两个实数根，则k的取值范围是_______。 17．（2024秋·山东青岛·期末）已知关于x的方程x² - (m + 2)x + 2m = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁ + x₂ = 5，求m的值。 题型06 韦达定理的简单应用 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 3x - 2 = 0的两个根，则x₁ + x₂ - x₁x₂的值为（　　） A．5 B．-5 C．1 D．-1 19．（2024秋·北京海淀·月考）若x₁、x₂是方程x² + x - 2 = 0的两个根，则x₁²x₂ + x₁x₂²的值为_______。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）已知关于x的方程x² - 2x + m = 0的两根为x₁、x₂，且x₁ + 2x₂ = 3，求m的值。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 3x - 5 = 0的两个根，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．19 B．14 C．11 D．9 2．（2024秋·湖南长沙·期末）若关于x的方程x² + 2x + k = 0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）已知方程x² - 5x + m = 0的两根之差为3，则m的值为（　　） A．4 B．-4 C．6 D．-6 4．（2024秋·河北唐山·期末）设x₁、x₂是方程2x² + 4x - 3 = 0的两个根，则(x₁ + 1)(x₂ + 1)的值为（　　） A．- B．- C．- D． 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的方程x² - (k + 1)x + k = 0的两根互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．±1 6．（2024秋·辽宁大连·期末）若x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，则 + 的值为（　　） A．-6 B．-2 C．2 D．6 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 4x + 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂ = ________，x₁x₂ = ________。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知方程x² + mx + n = 0的两根为2和-3，则m = ________，n = ________。 9．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程x² - 6x + m = 0有两个实数根，则m的取值范围是________。 10．（2024秋·广东广州·期末）已知x₁、x₂是方程2x² + 3x - 1 = 0的两个根，则x₁²x₂ + x₁x₂²的值为________。 11．（2024-2025九年级上·山东济南·期末）已知x₁、x₂是方程x² + 3x - 2 = 0的两个根，则|x₁ - x₂|的值为________。 （三）解答题 12．（2024秋·江苏南京·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，求下列各式的值： （1）x₁² + x₂²；（2）(x₁ - x₂)²；（3）x₁³ + x₂³。 13．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程x² - (2k + 1)x + k² k - 1 = 0。 求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 14．（2024秋·湖北武汉·期中）已知关于x的一元二次方程x² - 2(m + 1)x + m² = 0有两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁ + x₂ = x₁x₂，求m的值。 15．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）已知x₁、x₂是关于x的方程x² - 2(k + 1)x + k² + 2 = 0的两个实数根，且(x₁ + 1)(x₂ + 1) = 8，求k的值。 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）已知x₁、x₂是方程x² - 3x + 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂的值为（　　） A．3 B．-3 C．1 D．-1 2．（2024·浙江杭州·中考）已知一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的两根为x₁、x₂，则x₁·x₂的值为（　　） A．4 B．-4 C．3 D．-3 3．（2024·山东济南·中考）若x₁、x₂是方程x² + 2x - 3 = 0的两个根，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 4．（2024·广东广州·中考）已知关于x的方程x² + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．（2024·四川成都·中考）已知x₁、x₂是一元二次方程2x² - 3x + 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂的值为（　　） A． B．- C． D．- 6．（2024·湖北武汉·中考）若x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，则x₁x₂的值为（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 7．（2024·陕西·中考）已知关于x的方程x² - 5x + m = 0的一个根是1，则另一个根是（　　） A．-4 B．4 C．-6 D．6 8．（2024·重庆·中考）已知x₁、x₂是方程x² - 4x + 2 = 0的两个根，求下列各式的值： 9．（2024·北京·中考）已知关于x的一元二次方程x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁ + x₂ = 5，求k的值。 10．（2024·上海·中考）已知x₁、x₂是关于x的方程x² - 2mx + m² + m = 0的两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若x₁² + x₂² = 6，求m的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 本节知识点总结 1. 韦达定理（根与系数的关系）：如果一元二次方程的两个根是x₁、x₂，那么： x₁ + x₂ = -，x₁·x₂ = 。 2. 韦达定理的推导：由求根公式x = ， x₁ + x₂ = = - = -， x₁·x₂ = = = = = 。 3. 韦达定理的应用： ① 不解方程，直接求两根的和与积； ② 已知一根，求另一根和参数； ③ 求与两根有关的代数式的值； ④ 利用根与系数的关系检验方程的根。 4. 常用的两根代数式变形： ① x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ ② + = () ③ (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ ④ = ⑤ x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) 5. 注意：韦达定理成立的前提是方程有实数根，即Δ ≥ 0。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接求两根的和与积（不解方程） 1．（2024秋·江苏南京·单元测）方程x² + 3x - 4 = 0的两根之和为（　　） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】直接用韦达定理：x₁ + x₂ = -。 【详解】解：∵a = 1，b = 3， ∴x₁ + x₂ = - = - = -3。 故选：B。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）方程2x² - 5x + 1 = 0的两根之积为（　　） A． B．- C． D．- 【答案】C 【分析】直接用韦达定理：x₁·x₂ = 。 【详解】解：∵a = 2，c = 1， ∴x₁·x₂ = = 。 故选：C。 3．（2024秋·山东济南·月考）方程x² - 6x + 8 = 0的两根之和为___6_____，两根之积为____8____。 【答案】6；8 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：∵a = 1，b = -6，c = 8， ∴x₁ + x₂ = - = - = 6， x₁·x₂ = = = 8。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）方程3x² + 2x - 6 = 0的两根之和为____-____，两根之积为___-2_____。 【答案】-；-2 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：∵a = 3，b = 2，c = -6， ∴x₁ + x₂ = - = -， x₁·x₂ = = - = -2。 题型02 已知一根求另一根及参数 5．（2024秋·湖南长沙·期中）已知方程x² + px + 6 = 0的一个根为2，则另一个根和p的值分别为（　　） A．3，-5 B．3，5 C．-3，-5 D．-3，5 【答案】A 【分析】利用两根之积求另一根，再利用两根之和求p。 【详解】解：设另一根为x₂， 由韦达定理：x₁·x₂ = = 6， ∵x₁ = 2，∴2·x₂ = 6，x₂ = 3。 又x₁ + x₂ = -p， ∴2 + 3 = -p，p = -5。 故选：A。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）已知方程2x² + mx - 4 = 0的一个根为1，则m = ____2____，另一个根为____-2____。 【答案】2；-2 【分析】先代入求m，再用韦达定理求另一根。 【详解】解：∵x = 1是方程的根， 代入得：2 + m - 4 = 0，∴m = 2。 方程为2x² + 2x - 4 = 0， 设另一根为x₂，由韦达定理：x₁·x₂ = = - = -2， ∴1·x₂ = -2，x₂ = -2。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）已知关于x的方程x² - 4x + k = 0有一个根为-1，求k的值及另一个根。 【答案】k = -5，另一个根为5 【分析】利用韦达定理求另一根和k。 【详解】解：设另一根为x₂， 由韦达定理：x₁ + x₂ = 4， ∵x₁ = -1，∴-1 + x₂ = 4，x₂ = 5。 又x₁·x₂ = k， ∴k = (-1)×5 = -5。 题型03 求两根代数式的值 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）已知x₁、x₂是方程x² + 3x - 1 = 0的两个根，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】利用x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = -3，x₁x₂ = -1， ∴x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (-3)² - 2×(-1) = 9 + 2 = 11。 故选：A。 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）已知x₁、x₂是方程2x² - 4x + 1 = 0的两个根，则 + 的值为（　　） A．4 B．-4 C． D．- 【答案】A 【分析】利用 + = 。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = = 2，x₁x₂ = ， ∴ + = = = 4。 故选：A。 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 5x + 6 = 0的两个根，则(x₁ - x₂)²的值为_____1___。 【答案】1 【分析】利用(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = 6， ∴(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 5² - 4×6 = 25 - 24 = 1。 11．（2024秋·天津南开·单元测）已知x₁、x₂是方程x² + 2x - 3 = 0的两个根，求下列各式的值： （1）x₁² + x₂²；（2） + ；（3）(x₁ - x₂)²。 【答案】（1）10；（2）；（3）16 【分析】先求x₁+x₂和x₁x₂，再代入各式。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = -2，x₁x₂ = -3。 （1）x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (-2)² - 2×(-3) = 4 + 6 = 10。 （2） + = = = 。 （3）(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = (-2)² - 4×(-3) = 4 + 12 = 16。 题型04 利用韦达定理检验方程的根 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）下列方程中，两根之和为3的是（　　） A．x² + 3x - 4 = 0 B．x² - 3x + 4 = 0 C．x² - 3x - 4 = 0 D．x² + 3x + 4 = 0 【答案】C 【分析】利用韦达定理检验，注意判别式。 【详解】解：A：x₁ + x₂ = -3，不符合； B：x₁ + x₂ = 3，但Δ = 9 - 16 = -7 < 0，无实根，不符合； C：x₁ + x₂ = 3，Δ = 9 + 16 = 25 > 0，符合； D：x₁ + x₂ = -3，不符合。 故选：C。 13．（2024秋·广东深圳·月考）已知方程x² + bx + c = 0的两根为2和-3，则b、c的值分别为（　　） A．b = 1，c = -6 B．b = -1，c = -6 C．b = 1，c = 6 D．b = -1，c = 6 【答案】A 【分析】利用韦达定理求b、c。 【详解】解：由韦达定理： x₁ + x₂ = -b，即2 + (-3) = -b，∴b = 1； x₁·x₂ = c，即2×(-3) = c，∴c = -6。 故选：A。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）若一元二次方程的两根为-2和5，则这个方程可以是（　　） A．x² + 3x - 10 = 0 B．x² - 3x - 10 = 0 C．x² + 3x + 10 = 0 D．x² - 3x + 10 = 0 【答案】B 【分析】由两根写出方程：x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂ = 0。 【详解】解：x₁ + x₂ = -2 + 5 = 3， x₁·x₂ = (-2)×5 = -10， ∴方程为x² - 3x - 10 = 0。 故选：B。 题型05 韦达定理与判别式结合 15．（2024秋·福建福州·单元测）关于x的方程x² - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 【答案】B 【分析】判别式Δ > 0。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ = (-2)² - 4×1×m = 4 - 4m > 0， ∴m < 1。 故选：B。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知关于x的方程x² - 4x + k = 0有两个实数根，则k的取值范围是___k ≤ 4_____。 【答案】k ≤ 4 【分析】判别式Δ ≥ 0。 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴Δ = (-4)² - 4k = 16 - 4k ≥ 0， ∴k ≤ 4。 17．（2024秋·山东青岛·期末）已知关于x的方程x² - (m + 2)x + 2m = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁ + x₂ = 5，求m的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）m = 3 【分析】（1）计算判别式证明非负；（2）用韦达定理求m。 【详解】（1）证明：Δ = [-(m + 2)]² - 4×1×2m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0， ∴无论m取何值，方程总有实数根。 （2）解：由韦达定理：x₁ + x₂ = m + 2， ∵x₁ + x₂ = 5， ∴m + 2 = 5， ∴m = 3。 题型06 韦达定理的简单应用 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 3x - 2 = 0的两个根，则x₁ + x₂ - x₁x₂的值为（　　） A．5 B．-5 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】直接代入韦达定理结果。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = -2， ∴x₁ + x₂ - x₁x₂ = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5。 故选：A。 19．（2024秋·北京海淀·月考）若x₁、x₂是方程x² + x - 2 = 0的两个根，则x₁²x₂ + x₁x₂²的值为____2____。 【答案】2 【分析】提取公因式x₁x₂，再代入韦达定理结果。 【详解】解：x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂)， 由韦达定理：x₁ + x₂ = -1，x₁x₂ = -2， ∴原式 = (-2)×(-1) = 2。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）已知关于x的方程x² - 2x + m = 0的两根为x₁、x₂，且x₁ + 2x₂ = 3，求m的值。 【答案】m = 1 【分析】利用韦达定理x₁ + x₂ = 2，结合x₁ + 2x₂ = 3，求出两根，再求m。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2， 又x₁ + 2x₂ = 3， 两式相减：x₂ = 1， ∴x₁ = 2 - x₂ = 2 - 1 = 1。 ∴m = x₁x₂ = 1×1 = 1。 验证：Δ = 4 - 4m = 4 - 4 = 0，方程有两个相等实根，符合题意。 ∴m = 1。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 3x - 5 = 0的两个根，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．19 B．14 C．11 D．9 【答案】A 【分析】利用x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = -5， ∴x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 3² - 2×(-5) = 9 + 10 = 19。 故选：A。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）若关于x的方程x² + 2x + k = 0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】判别式Δ = 0。 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ = 2² - 4k = 4 - 4k = 0， ∴k = 1。 故选：A。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）已知方程x² - 5x + m = 0的两根之差为3，则m的值为（　　） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】利用(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = m， ∵|x₁ - x₂| = 3，∴(x₁ - x₂)² = 9， 又(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂， ∴5² - 4m = 9， 25 - 4m = 9， 4m = 16， ∴m = 4。 故选：A。 4．（2024秋·河北唐山·期末）设x₁、x₂是方程2x² + 4x - 3 = 0的两个根，则(x₁ + 1)(x₂ + 1)的值为（　　） A．- B．- C．- D． 【答案】A 【分析】展开后代入韦达定理结果。 【详解】解：(x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1， 由韦达定理：x₁ + x₂ = - = -2，x₁x₂ = -， ∴原式 = - + (-2) + 1 = -。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的方程x² - (k + 1)x + k = 0的两根互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．±1 【答案】B 【分析】两根互为相反数，则x₁ + x₂ = 0。 【详解】解：∵两根互为相反数， ∴x₁ + x₂ = 0， 由韦达定理：x₁ + x₂ = k + 1， ∴k + 1 = 0， ∴k = -1。 验证：当k = -1时，方程为x² - 1 = 0，两根为±1，互为相反数，符合题意。 故选：B。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）若x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，则 + 的值为（　　） A．-6 B．-2 C．2 D．6 【答案】A 【分析】通分后利用x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂。 【详解】解： + = ， 由韦达定理：x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = -1， x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4 - 2×(-1) = 6， ∴原式 = = -6。 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 4x + 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂ = ____4____，x₁x₂ = ____1____。 【答案】4；1 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = 1。 8．（2024秋·天津和平·期末）已知方程x² + mx + n = 0的两根为2和-3，则m = ____1____，n = ____-6____。 【答案】1；-6 【分析】利用韦达定理求m、n。 【详解】解：由韦达定理： x₁ + x₂ = -m，即2 + (-3) = -m，∴m = 1； x₁·x₂ = n，即2×(-3) = n，∴n = -6。 9．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程x² - 6x + m = 0有两个实数根，则m的取值范围是____m ≤ 9____。 【答案】m ≤ 9 【分析】判别式Δ ≥ 0。 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴Δ = (-6)² - 4m = 36 - 4m ≥ 0， ∴m ≤ 9。 10．（2024秋·广东广州·期末）已知x₁、x₂是方程2x² + 3x - 1 = 0的两个根，则x₁²x₂ + x₁x₂²的值为________。 【答案】 【分析】提取公因式x₁x₂。 【详解】解：x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂)， 由韦达定理：x₁ + x₂ = -，x₁x₂ = -， ∴原式 = -×(-) = 。 11．（2024-2025九年级上·山东济南·期末）已知x₁、x₂是方程x² + 3x - 2 = 0的两个根，则|x₁ - x₂|的值为________。 【答案】 【分析】|x₁ - x₂| = 。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = -3，x₁x₂ = -2， (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = (-3)² - 4×(-2) = 9 + 8 = 17， ∴|x₁ - x₂| = 。 （三）解答题 12．（2024秋·江苏南京·期末）已知x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，求下列各式的值： （1）x₁² + x₂²；（2）(x₁ - x₂)²；（3）x₁³ + x₂³。 【答案】（1）6；（2）8；（3）14 【分析】先求x₁+x₂和x₁x₂，再代入各式。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = -1。 （1）x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 2² - 2×(-1) = 4 + 2 = 6。 （2）(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 2² - 4×(-1) = 4 + 4 = 8。 （3）x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 2³ - 3×(-1)×2 = 8 + 6 = 14。 13．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程x² - (2k + 1)x + k² k - 1 = 0。 求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【答案】证明见详解 【分析】计算判别式证明恒正。 【详解】证明：Δ = [-(2k + 1)]² - 4(k² + k - 1) = 4k² + 4k + 1 - 4k²-4k + 4 = 5＞0。 所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。 14．（2024秋·湖北武汉·期中）已知关于x的一元二次方程x² - 2(m + 1)x + m² = 0有两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁ + x₂ = x₁x₂，求m的值。 【答案】（1）m ≥ -；（2）m = 1 + 【分析】（1）判别式Δ ≥ 0；（2）利用韦达定理列方程求解。 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴Δ = [-2(m + 1)]² - 4m² ≥ 0， 4(m² + 2m + 1) - 4m² ≥ 0， 4m² + 8m + 4 - 4m² ≥ 0， 8m + 4 ≥ 0， ∴m ≥ -。 （2）解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2(m + 1)，x₁x₂ = m²， ∵x₁ + x₂ = x₁x₂， ∴2(m + 1) = m²， m² - 2m - 2 = 0， 解得 = 1 + ， = 1 - ≈ -0.732 < -（舍去）。 所以m的值为1 + 15．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）已知x₁、x₂是关于x的方程x² - 2(k + 1)x + k² + 2 = 0的两个实数根，且(x₁ + 1)(x₂ + 1) = 8，求k的值。 【答案】k = 1 【分析】展开后利用韦达定理列方程，注意判别式条件。 【详解】解：(x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = 8， 由韦达定理：x₁ + x₂ = 2(k + 1)，x₁x₂ = k² + 2， 代入得：k² + 2 + 2(k + 1) + 1 = 8， k² + 2 + 2k + 2 + 1 = 8， k² + 2k - 3 = 0， (k + 3)(k - 1) = 0， ∴k₁ = -3，k₂ = 1。 验证判别式：Δ = [-2(k + 1)]² - 4(k² + 2) = 4(k² + 2k + 1) - 4k² - 8 = 8k - 4。 当k = -3时，Δ = -24 - 4 = -28 < 0，无实根，舍去； 当k = 1时，Δ = 8 - 4 = 4 > 0，有两个实根，符合题意。 ∴k = 1。 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）已知x₁、x₂是方程x² - 3x + 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂的值为（　　） A．3 B．-3 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 3。 故选：A。 2．（2024·浙江杭州·中考）已知一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的两根为x₁、x₂，则x₁·x₂的值为（　　） A．4 B．-4 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理：x₁·x₂ = 3。 故选：C。 3．（2024·山东济南·中考）若x₁、x₂是方程x² + 2x - 3 = 0的两个根，则x₁² + x₂²的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】利用x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = -2，x₁x₂ = -3， ∴x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (-2)² - 2×(-3) = 4 + 6 = 10。 故选：A。 4．（2024·广东广州·中考）已知关于x的方程x² + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】判别式Δ = 0。 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ = 2² - 4m = 4 - 4m = 0， ∴m = 1。 故选：A。 5．（2024·四川成都·中考）已知x₁、x₂是一元二次方程2x² - 3x + 1 = 0的两个根，则x₁ + x₂的值为（　　） A． B．- C． D．- 【答案】A 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 。 故选：A。 6．（2024·湖北武汉·中考）若x₁、x₂是方程x² - 2x - 1 = 0的两个根，则x₁x₂的值为（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】直接用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理：x₁x₂ = -1。 故选：C。 7．（2024·陕西·中考）已知关于x的方程x² - 5x + m = 0的一个根是1，则另一个根是（　　） A．-4 B．4 C．-6 D．6 【答案】B 【分析】利用韦达定理求另一根。 【详解】解：设另一根为x₂， 由韦达定理：x₁ + x₂ = 5， ∵x₁ = 1，∴1 + x₂ = 5，x₂ = 4。 故选：B。 8．（2024·重庆·中考）已知x₁、x₂是方程x² - 4x + 2 = 0的两个根，求下列各式的值： （1）x₁ + x₂；（2）x₁x₂；（3）x₁² + x₂²。 【答案】（1）4；（2）2；（3）12 【分析】直接用韦达定理，再利用变形公式。 【详解】解：由韦达定理： （1）x₁ + x₂ = 4。 （2）x₁x₂ = 2。 （3）x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4² - 2×2 = 16 - 4 = 12。 9．（2024·北京·中考）已知关于x的一元二次方程x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁ + x₂ = 5，求k的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 2 【分析】（1）计算判别式证明恒正；（2）利用韦达定理求k。 【详解】（1）证明：Δ = [-(2k + 1)]² - 4(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2k + 1， ∵x₁ + x₂ = 5， ∴2k + 1 = 5， ∴k = 2。 10．（2024·上海·中考）已知x₁、x₂是关于x的方程x² - 2mx + m² + m = 0的两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若x₁² + x₂² = 6，求m的值。 【答案】（1）m ≤ 0；（2）m = 【分析】（1）判别式Δ ≥ 0；（2）利用韦达定理和x₁²+x₂²公式。 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴Δ = (-2m)² - 4(m² + m) = 4m² - 4m² - 4m = -4m ≥ 0， ∴m ≤ 0。 （2）解：由韦达定理：x₁ + x₂ = 2m，x₁x₂ = m² + m， x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (2m)² - 2(m² + m) = 4m² - 2m² - 2m = 2m² - 2m， ∵x₁² + x₂² = 6， ∴2m² - 2m = 6， m² - m - 3 = 0， m = = ， ∵m ≤ 0， ∴m = 。 学科网（北京）股份有限公司 $