江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练1

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 （ ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 6种 2．用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为 （ ） A． B． C． D． 3．已知直线的斜率大于零，其系数是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是 （ ） A． B． C． D． 4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为 （ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 6．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有 （     ） A．240 B．360 C．480 D．600 7．将诗集《诗经》《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》 ，四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》7本书放在一排，下列结论中正确的是 （ ） A．戏剧放在中间的不同放法有 B．诗集相邻的不同放法有 C．四大名著互不相邻的不同放法有 D．四大名著不放在两端的不同放法有 8．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是 （       ） A．144 B．96 C．72 D．60 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，则下列说法中正确的有 （ ） A．若社区必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．若同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有25种 C．若三名选择的社区各不相同，则不同的安排方法有种 D．若甲、乙 两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法有种 10．下列问题中，属于排列问题的是 （ ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动 C．从四个字母中选出两个字母 D．从 四个数字中选出两个组成一个两位数 11．如图，四棱锥中，底面为正方形，， 平面，为的中点，则 （ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为； C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”，在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 . 13．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，则没有女生的选法有 种，若3人中至少有一名女生，则选派方案有 种. 14．某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动，每个路口一名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有 种. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．规定为正整数，且，这是排列数是正整数，且的一种推广.（1）求的值；（2）确定函数的单调区间. 16．名男生和名女生站成一排． (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (3)男、女分别排在一起的站法有多少种？ (4)男、女相间的站法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 17．电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 18．用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数；（2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 19．在四棱锥中，平面，，，点M在棱PD上. （1）证明：； （2）若，，，和平面所成角的正切值是，求平面和平面夹角的余弦值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 （ A ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 6种 2．用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为 （ C ） A． B． C． D． 3．已知直线的斜率大于零，其系数是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是 （ A ） A． B． C． D． 4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为 （ B ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B. 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （ D ） A. B. C. D. 6．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有 （  C    ） A．240 B．360 C．480 D．600 【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法.故选：C. 7．将诗集《诗经》《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》 ，四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》7本书放在一排，下列结论中正确的是 （ C ） A．戏剧放在中间的不同放法有 B．诗集相邻的不同放法有 C．四大名著互不相邻的不同放法有 D．四大名著不放在两端的不同放法有 8．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是 （   D   ） A．144 B．96 C．72 D．60 【详解】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法，故选：D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，则下列说法中正确的有 A．若社区必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．若同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有25种 C．若三名选择的社区各不相同，则不同的安排方法有种 D．若甲、乙 两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法有种 （ABC）10．下列问题中，属于排列问题的是 （ AD ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动 C．从四个字母中选出两个字母 D．从 四个数字中选出两个组成一个两位数 11．如图，四棱锥中，底面为正方形，， 平面，为的中点，则 （ BCD ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为； C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则、、、、、；对A：，则，故A错误； 对B：，，则， 故异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：，，，设平面的法向量为，则有，取，则，故，则有，则与平面所成角的正弦值为，故C正确；对D：，，设平面的法向量为， 则有，取，则，，故， 又，则到平面的距离，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”，在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 . 13．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，则没有女生的选法有 种，若3人中至少有一名女生，则选派方案有 种. 14．某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动，每个路口一名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有 种. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．规定为正整数，且，这是排列数是正整数，且的一种推广.（1）求的值；（2）确定函数的单调区间. 15．解：（1）由已知得； （2）函数， 则， 令， 所以函数的递增区间为， 令， 所以函数的递减区间为 16．名男生和名女生站成一排． (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (3)男、女分别排在一起的站法有多少种？ (4)男、女相间的站法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16．解：（1）先排甲有种，其余有种， 共有种排法. （2）先排甲、乙，再排其余人， 共有种排法. （3）把男生和女生分别看成一个元素， 男生和女生内部还有一个全排列，共种. （4）先排名男生有种方法， 再将名女生插在男生形成的个空上有种方法， 故共有种排法. （5）人共有种排法， 其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法． 17．电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 17．解：（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有种； （3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种． 18．用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数；（2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 18．解：（1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：. （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：. （3）从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是. 19．在四棱锥中，平面，，，点M在棱PD上. （1）证明：； （2）若，，，和平面所成角的正切值是，求平面和平面夹角的余弦值. 19．解：（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 因为，所以. （2）因为平面，所以是和平面所成角， 在中，， 在中，， 于是在中，， 又因为，所以. 由平面和第（1）问，可知、、两两垂直， 故以为原点建立如下图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 于是，，，， 设平面的一个法向量为， 由，可得，取， 设平面的一个法向量为， 由，可得，取， 于是， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 4 学科网（北京）股份有限公司 $