九年级数学上学期9月学情自测（新教材北师大版第1～2章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 本试卷聚焦一元二次方程与特殊四边形，以劳动教育（矩形菜地实践）、文化传承（《周髀算经》解方程）为情境，通过基础题与探究题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配九年级学情自测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程根的判别式、平行四边形判定|第3题结合劳动教育，用篱笆围菜地建模| |填空题|8/32|图形旋转、折叠问题、方程应用|第12题正方形旋转坐标，考查空间观念| |解答题|8/78|解方程、几何证明与探究|第22题史料解读《周髀算经》方法，第25题矩形折叠多情境探究，体现推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九八年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·河南濮阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题中正确的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 3．（2026·湖南娄底·一模）如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 6．（2026·贵州遵义·二模）如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 8．（2026·广东东莞·二模）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 10．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 12．（2026·山西运城·三模）如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 14．（2026·河南周口·三模）如图，在矩形中，，E是上一点，连接，将沿着折叠后，点A的对应点刚好落在的中点处，是的中点，G是的中点，连接，求________． 15.（2026·湖北·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 16．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为_____． 17．（2025·成都·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知四边形是边长为6的正方形，为上一点，且，为线段上一动点，过点作于点，交线段于点．则下列结论中正确的有_______． ①．  ②若，则．  ③当时，．④若为线段上一动点，连接，则的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)．(3)；(4)． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 21．（2026·福建厦门·二模）如图，矩形，，． (1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 22．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． (1)特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为 ，方程的正数解为 ； (2)一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； (3)迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，求证：． 24.（2026·福建·模拟预测）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 25．（2026·河南周口·模拟预测）在矩形中，，点M为射线上一点，N为边上一点，将矩形沿所在直线折叠，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)如图1，若，点A与点N重合，点M在延长线上，经过点D，则与的数量关系是______；的值为______； (2)如图2，若，点A与点N重合，点M在边上，点落在对角线上，求的值； (3)若，N为边的中点，直线与射线交于点H，当，时，直接写出的长． 26．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的对角线在轴上，、两点分别在第一象限和第二象限，点坐标． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，为射线上一动点(不与点和点重合)，过点作轴交直线于点设线段的长度为，点的坐标为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于，的角平分线交轴于点，求点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九八年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·河南濮阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解： 展开得 移项整理得 这里 ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题中正确的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确. B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误. C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误. D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误. 3．（2026·湖南娄底·一模）如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米， 根据题意，得． 4．（2026·河北邢台·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，点为直线上一个动点，作射线，过点作，垂足为，连接，则的周长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，， ∵点为的中点，，，，， ，，由三角形三边关系定理得到：， ，∴的周长，∴C符合题意． 5．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 【答案】C 【详解】解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项：A.原方程一次项系数为 ，A 错误．B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确．D. 不是原方程的根，D 错误． 6．（2026·贵州遵义·二模）如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：设正方形中、交于O， 四边形是正方形，，，，． ，，∴四边形是矩形．，． ，．，． ．．． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【详解】设，由，得， 化简得，解得，即． 8．（2026·广东东莞·二模）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点O，∵四边形是菱形， ∴，， ∴，由勾股定理得， 由旋转的性质得，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴，∴， 在中，，∴由勾股定理得，∴． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【详解】解：设方程的两根分别为，．由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ．∴代数式的最大值为4． 10．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形，为中点， ，，∴， ，是等边三角形， ， ，， ∵，∴，，， 在和中，，， ，，， ，， ∵，，，∴， ∵，∴垂直平分， ∵矩形中三点共线，∴在的垂直平分线上，， 结合，可得是等边三角形，故①正确； 由①可得也是等边三角形，， ∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形，，∵，， ∴垂直平分，即，∵∴， 在中，，， ，，即，故②正确； ∵，，∴，， ∵，，∴，，， ∵，∴∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且．解得．故答案为：． 12．（2026·山西运城·三模）如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：如图，连接并将绕点按顺时针方向旋转，B点对应点为D ∵正方形边长为2∴，， 过D点作轴于点E，∴，∴， ∴，∴点的对应点的坐标为． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【答案】 【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个，小分支有个．根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得．故答案为：． 14．（2026·河南周口·三模）如图，在矩形中，，E是上一点，连接，将沿着折叠后，点A的对应点刚好落在的中点处，是的中点，G是的中点，连接，求________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是的中点，∴，由折叠的性质可知：， ∴在中，，∴，∴， ∴，∴，∵是的中点，∴， 以点为坐标原点，为轴，轴，如图所示：∴， ∵G是的中点，∴根据中点坐标公式可得，即， ∴根据两点间距离公式可得． 15.（2026·湖北·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为 ． 【答案】4 【详解】解：方程，解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得， 此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个．故答案为：． 16．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为_____． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是菱形且，∴， ∵为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，且长的最小值为， ∴，即，∴， ∵垂直平分，∴，， ∴，即的长为．故答案为：． 17．（2025·成都·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根，解方程得， ∴分情况讨论：①若，则； ②若，则若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，．故答案为：． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知四边形是边长为6的正方形，为上一点，且，为线段上一动点，过点作于点，交线段于点．则下列结论中正确的有__________． ①．  ②若，则．  ③当时，．④若为线段上一动点，连接，则的最小值为． 【答案】①③/③① 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故①正确； ∵，∴，∵，，， ∴，∴，∴， ∵不一定等于，∴不一定等边三角形，∴不一定等于，故②错误； 如图，连接，∵，∴点、、、四点共圆，∴， ∴，∴，故③正确； （另解：过点C作CT1,CT2分别垂直PE,PF，易证：,∴，∴，故③正确） 连接，，如图所示：∵在正方形中，，， 又∵，∴，∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、M、E三点共线时，最小，即最小， ∵，∴，∴， 即最小值为，故④错误；综上，正确的有①③． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)．(3)；(4)． 【答案】(1)， (2)，；(3), ；(4), 【详解】（1）移项，得， 配方，得，即 ， 开平方，得， ∴； （2）提取公因式，得， 化简，得，即 ， ∴ 或 ， ∴． （3）解：， ， ， ， ， ，， ∴，； （4）解：， ， ， ，， ∴, ． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率．(2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为；(2)涨价5元 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：，解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒应涨价元，根据题意可得：， 展开化简得：，因式分解得：，解得，， ∵要尽快减少库存，∴， 答：每盒应涨价5元． 21．（2026·福建厦门·二模）如图，矩形，，． (1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 【答案】(1)解：如图所示，四边形即为所求； (2)的值为，1，． （2）解：∵平行四边形面积是矩形面积的一半，∴垂直平分线段，， ，，是等边三角形；∴，∴． 当时，如图， 是等边三角形，，； 当时，如图，作交于点G， ∵，，； 当时，如图，作交于点M， 由，得，即， ，，，． 22．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． (1)特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为 ，方程的正数解为 ； (2)一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； (3)迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴构造的大正方形面积为， ∴大正方形的边长为，∴； (2)证明：（，）， 由题意，构造的大正方形的面积为，边长为， ∴，∴， 即关于的方程（，）的正数解为：； （3）解：∵（，），∴， ∵构造的大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点． (1)求证：；(2)如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵在正方形中，∴， ∵点为线段的中点，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴； (2)证明：∵，∴， ∵，∴， 由(1)知，又知，∴， 在和中，，∴，∴； (3)证明：如图3，连接， 由(1)知，∴， 由(2)知，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， 又∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴． 24.（2026·福建·模拟预测）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①(2)的值为18(3)代数式的值为或 【详解】（1）的根为，，，是“倍根方程”； 的根为，，，不是“倍根方程”；故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ，解得；经检验，符合题意，的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”，或，即或， 当时，；当时，；代数式的值为或． 25．（2026·河南周口·模拟预测）在矩形中，，点M为射线上一点，N为边上一点，将矩形沿所在直线折叠，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)如图1，若，点A与点N重合，点M在延长线上，经过点D，则与的数量关系是______；的值为______； (2)如图2，若，点A与点N重合，点M在边上，点落在对角线上，求的值； (3)若，N为边的中点，直线与射线交于点H，当，时，直接写出的长． 【答案】(1)；1(2)(3)的长为或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知，，，，∴，， ∵，∴，∴； ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：∵，点A与点N重合，即，∴，， ∴，∵四边形是矩形，∴， 由折叠的性质可知，，， ∵点落在上，，，∴为等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴； （3）解：∵N为的中点，，∴， ∵四边形是矩形，，∴，，， 由折叠的性质可知，，，，分两种情况： ①如图，当在下方时，过点作，分别交，于点E，F，则四边形为矩形，故，， ∵，∴，∴， 在中，，，∴，， ∴，， ∵，∴， ∴，在中，， ∴，∴，∴，解得； ②如图，当在上方时，过点作，分别过点H，N作的垂线，垂足分别为点F，点E， ∵，，∴，∴， 在中，，，∴， ∵，，，， ∴根据平行线间距离相等可得， ∵在中，，∴，由折叠可得， ∴，∵在中，，， ∴．综上可知，的长为或． 26．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的对角线在轴上，、两点分别在第一象限和第二象限，点坐标． (1)如图1，求点的坐标；(2)如图2，为射线上一动点(不与点和点重合)，过点作轴交直线于点设线段的长度为，点的坐标为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于，的角平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：菱形的对角线在轴上，、两点关于轴对称， ，； （2）如图，当时，作于点，于点， 设与交于点，，，，即，， 轴，，，，，四边形是矩形， ，，， 在和中，，，， ； 当时，作于点，于点， 同理可得：，，， 综上所述，； （3）如图3，连接交于点，在上取一点，使得，连接，作于点，延长交轴于点，连接交于点， ，，， ，， ，平分， （角平分线的性质定理，可以用面积法则证明，见下面补充说明）， 设，则，，，， ，整理得：，解得：或（舍去）， ，，，设直线的解析式为：， 将，代入得：，解得：，直线的解析式为：， 直线的解析式为：，联立，解得：，， 设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：， 直线的解析式为， ，的横坐标为，代入中，得：， ，，，， ，四边形是正方形，， ，，又，，， ，，，， ，平分，，，， 设直线的解析式为，将，代入得：，解得： 直线的解析式为令，则，． 补充说明，如图，平分，则， 理由：作于，交的延长线于， 平分，，，． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求， 答案涂在答题卡上) 2 3 5 6 > 8 10 B A C C B A A C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11.【答案】-3 12.【答案】 (W6,2) 13. 【答案】1+x+x2=43 14.【答案】 2W万 15.【答案】4 &V3 16.【答案】3 17.【答案】-1 18.【答案】①③ 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：1921题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答 案写在答题卡上) 19. 【答案】1)=2+V5,=2-2 2=3,5=3,B=5=3,5=2,6=-2 【详解】(1)移项，得x2-4x=-2, 配方，得-4红+4=2，即 m(x-2)2=2 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开平方，得-2=±V2 :=2+V2,5=2-5 (2分) (2)提取公因式6x-3》,得-3x-3)-2刘]=0 化简，得(x-3-x-3)=0,即(c-3Xx+3)=0, ∴.x-3=0或x+3=0, :335=-3 (4分) (3)解：x2+4x+3=0, x2+4x=-3 x2+4x+4=1 9 (x+2)2-1 x+2=±1 x+2=1,x+2=-1, ,x=-1x2=-3 ;(6分) (4)解：(-2=2x(x-2) (x-2)2-2x(x-2)=0 (x-2)(x-2-2x)=0 x-2=0,x-2-2x=0. =2书=-2 (8分) 20. 【答案】(1)每次下降的百分率为20%；(2)涨价5元 【详解】(1)解：设每次下降的百分率为x, 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 4 根据题意可得：751-x}=48,解得=1- 5 =0.2=20%.x2=1+5=1.8(舍去)， 答：每次下降的百分率为20%.(4分) (2)解：设每盒应涨价》元，根据题意可得： (10+y)(500-20y)=6000 展开化简得：y-15y+50=0 因式分解得： (y-5)(y-10)=0 解得片=52=10 ,要尽快减少库存，∴y=5, 答：每盒应涨价5元.(8分) 21. 【答案】(1)解：如图所示，四边形ABEF即为所求： D E (2分) B (2)解：平行四边形ABEF面积是矩形ABCD面积的一半，∴.EF垂直平分线段AD,FD=A, AF=AD,AD=AF=FD,△ADF是等边三角形：.∠ADF=60°，.∠FDC=30° 当CD=DF时，如图， dAD-a-1; :AADr是等边三角形，DC=AB=AD=a,“bABa 当FD=FC时，如图，作FG⊥CD交CD于点G, 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D E B mG=30, GF3 a_AD2GF3 GD3,“bAB2GD3: 当CD=CF时，如图，作CM⊥DF交DF于点M, D b a-2 M B 自cM=30,0ar产+w=e,即3t9°= a23b2 4=4’2=3b2,a=5b,6 a 3 b的值为5,1,3.(8分) 22. 【详解】(1)解：r+6r=27,:x+6)=27 ∴.构造的大正方形面积为4×27+62=144， 六大正方形的边长为2x+6=14=2,:=3.2分) 2i证明：x+p)=9p>0q>0 由愿意，构造的大正方形的面积为9+ ，边长为P+2x P+2r=g+P,片=p+y4g+p 2 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即关于x的方程+p)=9(p>0,g>0)的正数解为：=D+Y+D 2 (6分) (3)解：：2(+则)=n(m>0n>0）,(x+m） 2, :构造的大正方形面积为169，小正方形的面积为25， A4×3+m㎡=160，m2=25,4×经+25=169，W=72 2 :m>0,m=2万=5，m+n=5+2=7.(10分) 23 【答案】(1)证明：：在正方形ABCD中，.AB=AD=CD,∠DAM=∠CDG=90° :点M为线段AB的中点，AM=BM=)AB。 2 .CG⊥DM,.∠DHG=90°，.∠GDH+∠CGD=∠GDH+∠DMA=90°，.∠CGD=∠DMA, ∠CDG=∠DAM ∠CGD=∠DMA 在 和中， CDG△DAM CD=DA ，·ACDG≌DAM(AAS)' :.GD=M1,.GD=BM;(3分) (2)证明：CG⊥DM,∠DHG=∠CHD=90°， .BE‖CH,.∠BEM=∠CHD=∠DHG=90°， 由(1)知∠CGD=∠DMA,又知∠DMA=∠BME,.∠BME=∠DGH, ∠BEM=∠DHG {∠BMR=∠DGH 在 和 中， (6分) BEM△DHG BM=DG MDHG(AAS)=DH (3)证明：如图3，连接AH, B 图3 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 由1知GD=BM=MM=与AB=2AD,÷AM=AG, 2 2 由(2)知△BEM≌△DHG,∠BME=∠DGH,:.EM=HG,180°-∠BME=180°-∠DGH,，、 ∠AME=∠AGH, AM=AG ∠AMR=∠AGH 花 中， △AMB△AGH EM=HG ，·AMMB≌AAGH(SAS)'·AB=AH'RAM=∠HAG 又：∠BAD=90°，，∠EAH=∠EAM+∠HAM=∠HAG+∠HALM=∠BAD=90°， ,△AEH是等腰直角三角形，.∠AED=45°.(10分) 24. 2a-b 12 【答案】(1)①2)c的值为18(3)代数式a+b的值为2或5 【详解】4)-6c+8=0的根为=2，与=4,6=2，-6x+8=0是倍根方程， x2-x-2= 0的根为=2,5=，六*2，六--2=0不是“倍根方程”；故答案为：0：(2 分) (2)由一元二次方程x2+9x+c=0是“倍根方程”，设x2+9x+c=0的两个根为k和2k, [k+2k=-9 k·2k=c,解得c=18;经检验，c=18符合题意，c的值为18，(6分) (3)由6x-2Xa-创=0u0得5=2，与-， a, :-2Xa-=0:0是“g银方，片名-1女名4，可，=6成6= b 2a-b-2a-0=1. 2a-b_2a-40=-2. 2a-b 12 当b=a时，a+6a+02:当b=4a时，a+ba+405::代数式a+6的值为2或5：(10 分) 25. B'D3 【答案】(a)∠DAM=∠AMD:1(2)CM2(3)BM的长为3-V3或V5+3 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=CD,∠ABC=∠DCB=∠DCM=90°，AD∥BC, 由折叠的性质可知，AB'=AB,∠B=∠B=90°，∠AB=∠AMB',∴AB'=CD,∠B'=∠DCM=90°， ,AD∥BC,.∠DAM-∠AMB,,∠DAM=∠AMD; .∠B'DA+∠CDM=90°，∠CMD+∠CDM=90°，∴.∠CMD=∠B'DA, 「∠B'=∠DCM ∠B'DA=∠CMD 在 和 中， △CMD△B'DA AB'=CD ，·ACMD≌aB'DA(4MS)' B'D CM=BD,C1;(3分) (2)解：“n=5,点A与点N重合，即AD=5AB,m∠ABD=0-5, AB BD=VAD2+AB2 =2AB <ABD=60 ,:四边形1BC 是矩形，：BC=AD=B1B 由折叠的性质可知，AB=AB,∠BAM=∠B'AM, :点B'落在BD上，∠ABD=60°，AB=AB,△AB'B为等边三角形， 六∠AMB=60、AB=Bn=8:2BAM-BM-3RA8=30, 2 un RA so Cot ac a 3-AB,. 3 BD-AB-3 刀2DD34RAB=AB’3B) :(6分) (3)解：W为4D的中点，AD=6,DN=AN=AD=3, 2 四边形ABCD是矩形，n=2,2C-AD-6,AB=CD-专4D=3,A-B=∠C-2D-90, 由折叠的性质可知，AN=AN=3,∠A=∠N4B'=90°，BM=B'M,分两种情况： ①如图，当B'M在BC下方时，过点A'作F∥CD,分别交AD,BC于点E,F,则四边形CDEF为矩形， 故CD=EF=3,CF=DE, 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N E D B M HE ,∠MHB'=30°，.∠MHB'=∠AHF=30°，.∠E.A'N=90°-∠HAF=∠AHF=30°， 在a84W中，BN=0,4N3,片-号4w及.B=a-g-3 2. 2， AF=EF-BA-3-33 CF-DE-DN-NE-3-3-3 2, 22, m25m9货，m-1 2 am-Bc-cF-m=6(35-)9-36 在Rt△HB'中，∠MHB'=30°， :HM=28M,:朋=BM+MH=3BM,:3BM=9-35,解得M=3-5 ②如图，当BM在BC上方时，过点A'作EF∥BC,分别过点H,N作EF的垂线，垂足分别为点F,点 E, B D B MC ∠MHB'=30°，EF∥BC,MHB'=∠HA'F=30°，.∠EN4'=90-∠BA'N=∠FA'H=30°， 在Rt△ENA中， cos∠BVM=cos30°=y5By 2 2 H-EN+AB=33 +3 ,EF∥BC,AD∥BC,HF⊥EF,NE⊥EF,∴.根据平行线间距离相等可得 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△HP中，F=30,4H=2阻=35+6 由折叠可得B=AB'=3 BH=AH-AB=35+3,:在RaB中，B=30,t∠M=tam30= 3 MB' 3B'H, BM-BM-3 3 综上可知，BM的长为3-V3或5+3.(12分) 26. 8-2m,(0<m<2）) 【答案】仙44Q1-{②m-8,m>2)oa9） 9 【详解】(1)解：：菱形AOCB的对角线OB在y轴上，∴A、C两点关于y轴对称， C(-2,4).÷4(2,4),2分) (2)如图，当0<m<2时，作PM⊥OB于点M,QN1OB于点N, 图2 t设4C与0B交于点H,12,4),C(2,4),H(0,4),即0H=4,0B=20H-8 :PQ∥y,.PM⊥OBON⊥OB.PM=QN∠OMP=∠BNQ=90° POONM 轴， ,四边形 是矩形， .PO=MN:AO=AB∠POM=∠QBN 「∠POM=∠QBN ∠OMP=∠BNQ 在△PMOONB中，PM=QoN 和 :.△PMO≌aONB(AAS)'BN=OM=m d=PO=MN =OB-BN-OM=8-2m 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m>2时，作PM1OB于点M,QN⊥OB于点N, B B O F R 图2 图3 同理可得：PO=MN,BN=OM=m,.d=Pg=MN=BN+OM-OB=2m-8, 8-2m,(0<m<2) 综上所述， d=- 2m-8,(m>2);(6分) (3)如图3，连接AC交OB于点K,在KB上取一点J,使得AK=JK,连接AJ,作ET⊥OB于点T, 延长PE交x轴于点R,连接FM交DE于点L,AK=KJ,∠AKJ=90°，LAK=45°， :∠AK=∠BU+∠AU=45,MB+∠A0B-MB+AB0=4S. ∠BW-B4M,六AU平分∠MHB::指-发（角平分线的性质定理，可以用面积法则证明，见下 AM MJ 面补充说明)， KM=a,AM-14+a MJ=2-a,JB=BK-JK=4-2-2 AB=VAK+BK==2 5,整理得：25a+4=0解得：a或a4(舍去 KM=l,OM=5,M(0,5),设直线CM的解析式为：y=+b, 1 [-2k+b=4 将c(-2,4):M(0,5)代入得：10+b=5 ，解得： lk-2 b=5’ 直线。 CM 的解析式为：y= 2x+5, 1 3 直线的解析式为： ,联立y=2+5 解得： 20· 1020: y= OA y=2x y=2x .（3’3 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 [2t+n=4 t= 2 设直线Aw的解析式为：y=在+m将A(2,4),M(0,5)代入得： 0+n=5，解得： n=5, 1 直线AM的解析式为y= 2+5 :E/08:E的探标为号代入-字45巾得：-9 10 5s10 3” E1010 (33, ER⊥OR,ET⊥OB,.∴.∠ERF=∠ETO=∠ROT=90°， ER=oT10,四边形RET0是正方形，.TM=OM-0r=510J 33, :∠RET=∠MEF=90°，∠FER=∠MET,又：TE=RE,∠ETM=∠ERF=90°，. △ERF≌△ETM(ASA) r=.r-o-9-,A RF=TM=5 55 :EF=EM,DE平分∠FEM,DE⊥FM,FL=LM,(6'2, 6P+g= 1 2 p= 3 设直线 的解析式为 1 。10,解得： 20 q= DE y=px+g 侣9 3+g 3 120 20 。20 :直线DE的解析式为"=3x+9令x=0,则'9，÷D09月 .y= D0, AM MJ 补充说明，如图，AJ平分∠MAB,则ABJB, 理由：作JE⊥AB于E,JF⊥AM交AM的延长线于F, S.AM 1AM-JF MJ 平分 ,S。AB JB,AM MJ. (12分) AJ∠MAB.EJ=JF. 2ABJE ..AB JB 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 12112