第一章 特殊平行四边形专题训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形的性质应用与判定证明，以递进式题型构建从平行四边形到特殊平行四边形的知识逻辑链，培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形|15题|性质应用与判定证明，涵盖与中点、中线、尺规作图结合的综合题|从平行四边形出发，通过邻边相等或对角线垂直等条件判定，性质聚焦对角线平分一组对角、四边相等| |矩形|15题|性质应用与判定证明，涉及菱形、平行四边形转化及勾股定理计算|在平行四边形基础上，以直角或对角线相等为判定条件，性质突出对角线相等、四个直角| |正方形|15题|性质应用与判定证明，包含与等腰三角形、动点问题结合的综合题|兼具菱形与矩形特性，判定需先证菱形或矩形再添加相应条件，性质融合四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等|

特殊平行四边形的证明专项训练 类型一 菱形的性质与判定 类型二 矩形的性质与判定 类型三 正方形的性质与判定 类型一 菱形的性质与判定 1．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)证明：设点到的距离为，则，， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由菱形的性质可得，，再证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）设点到的距离为，则，，再结合即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由中线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 【答案】(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证； （2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）综合与实践 【问题】尺规作图：如图，，平分交于点M．在上作出点N，使四边形为菱形． 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作的平分线交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙的作图 如图，以点M为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由； (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形是菱形．请你添加一个合理的条件，并说明四边形是菱形； (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)解：甲的作图正确，理由如下： ， ，， ∵平分， ， ， ； 同理可得， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； (2)解：添加条件，说明如下： 同理可证明， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图方法可知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到；同理可得，则，据此可证明四边形是菱形； （2）添加条件，可证明是等边三角形，得到，由作图方法可知，则，据此可证明四边形是菱形； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，同理可证明据此可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 8．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 【答案】(1)如图即为所求作图形： (2) 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 9．（25-26八年级下·贵州黔西南·期中）如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）根据D、E分别是、的中点，得到，，结合推出，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可得证结论； （2）根据菱形的性质得到，，因此是等边三角形，则．过点E作于点N，则，得到，根据勾股定理求出，由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作于点N，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·贵州安顺·期中）如图，已知菱形的对角线、相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，，结合得到，，即可得证结论； （2）根据平行四边形的性质得到，则．根据菱形的性质得到，，，从而得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，得到，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·山东泰安·三模）如图，在中（）． 实践与操作： (1)利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母．步骤如下： ①在边上作一点P，使得点P到直线和直线的距离相等； ②在上作一点Q，使得； ③连接． 猜想与证明： (2)在所作的图中，试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)； (2)四边形为菱形； 理由：在中，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 由作图得：， ∴， ∴， ∴为菱形． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合已知即可得． 【详解】（1）略 （2）略 12．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，添加一个条件，使四边形是菱形（不需要说明理由）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 【分析】（1）因为，所以，再利用证明； （2）由可得，则，又因为得四边形是平行四边形，又因为，则为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形． 13．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，，是中点． (1)求的长； (2)在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下求的面积． 【答案】(1) (2)解：点、如图所示； (3) 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得为等边三角形，则，，再利用勾股定理求解即可； （2）以为圆心，长为半径作圆，与直线交于点、，则，由等边可得等角； （3）设到的距离为，利用的面积求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，． ， 为等边三角形． 是中点， ，． ∴在中，． ， ， ∴在中，； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ， 设到的距离为， ， ， ，， 即的面积为． 14．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出，得到四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，，连接，交于M，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 连接，交于M， 由（1）知，四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴． 15．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，，结合题意得出，从而可得四边形为平行四边形，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，则，由菱形的性质可得，从而即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴． 类型二 矩形的性质与判定 16．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 又， ∴． 【分析】根据矩形的性质，可得，结合垂直以及对顶角相等，即可证明． 【详解】略 17．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 18．（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 19．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，对角线、交于点，于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】（1）由得，所以，故有，即，然后通过菱形的判定方法即可求证； （2）由菱形的性质可得点是、的中点，，再通过直角三角形性质可得，，则，最后通过即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵菱形的对角线、交于点，， ∴点是、的中点，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 【答案】赞同小辰，补充条件：， 证明：四边形为矩形， ，，，， 在和中， ， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【分析】先补充条件，借助矩形性质证明，得到一组对边平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再用邻边相等证出菱形． 【详解】略 21．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ∴， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 23．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状． 【答案】(1)证明：∵是的中位线， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴； (2)四边形是矩形． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，再证明四边形为平行四边形，推出，即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形．理由如下： 连接，如图， 由（1）知：，， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 24．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在矩形中，、为对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）先利用矩形对角线互相平分的性质得到、，再结合得出，最后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）先由垂直平分得，在中利用勾股定理算出对角线，再根据得即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴． 25．（2026·北京·二模）如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论； （2）先由矩形性质，得，再判定是等边三角形，得，再由菱形的性质得,，然后由勾股定理求出长，即可求得长，最后由菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴． 26．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为 ． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，即点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)6 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，从而求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ，， ∴由勾股定理得， 是的中点， ； 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 27．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，P为矩形内的任意一点，求证．下面是这道题的部分证明过程：过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴在和中，根据勾股定理得，…… 任务： (1)请完成材料中剩余的证明过程． (2)如图2，P为矩形内一点，且，，，求的长（结果保留根号）． 【答案】(1)过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴在和中， 根据勾股定理得， 同理，在和中， 根据勾股定理得， ∴； (2)． 【分析】（1）证明四边形和都是矩形，得到，，在和中，利用勾股定理得到，同理，在和中，利用勾股定理即可证明； （2）过点P作，分别交、于点、，则．，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点P作，分别交、于点、，则． ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形和都是矩形， ∴，， ∴． 28．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长，结合勾股定理进而求得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形是矩形，， ， ，  ，  四边形是菱形， ． 29．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，即可得证； （2）利用矩形的性质可得，由菱形的性质可得，，即，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积为． 30．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，是的一条对角线，过中点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ∴ (2)当时，四边形是矩形， 理由：连接，， 由得，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，则，再利用、证明结论即可； （2）连接，，先由得，再证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 类型三 正方形的性质与判定 31．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，已知，分别以，，为边，在的同侧作等边三角形、等边三角形和等边三角形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)当且时，四边形是正方形 【分析】（1）根据等边三角形的性质证，就有，，从而得证四边形是平行四边形； （2）当且时，四边形是正方形，根据正方形的判定定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：当且时，四边形是正方形， 理由是：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 32．（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 33．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； (2)∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 34．（2026·北京·二模）如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到，结合已知，等量代换即可得证； （2）连接，证明，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．     又∵， ∴， ∴． 35．（2026九年级·四川内江·专题练习）如图：正方形的对角线与相交于点O，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：正方形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ； (2)证明：， ． 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，，再根据“”，可证，从而，即可求证； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 36．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）已知：在平行四边形中，． (1)请你再添加一个条件，使四边形为菱形，并且证明． (2)在（1）所添加的条件下，再添一个条件，使得四边形为正方形，并且证明． 【答案】(1)添加，使四边形为菱形， 证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 添加， ∴四边形为菱形． (2)添加，使得四边形为正方形， 证明如下： 由（1）可知四边形为菱形． 添加， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和已知条件得出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定条件添加一个条件得出四边形为菱形即可． （2）在四边形为菱形的条件下，根据正方形的判定定理添加一个条件得出四边形为正方形即可． 【详解】（1）略； （2）略； 37．（25-26八年级下·江西南昌·期末）在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 【答案】(1) 解：， 理由如下：四边形是正方形， ，，                                 ， 由条件可知． ， ．                                     ， ， ．                                 ． ； (2)24 【分析】（1）结合正方形性质证明，得到，进而即可推出，与之间的数量关系； （2）作于点，根据直角三角形性质推出，再利用勾股定理求出，结合（1）中结论推出，，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点， 在中，，， ，                                     ．                         由（1）得，，                     ． 38．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作平行四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图，过点E作，垂足分别为点M，N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）过点E作，垂足分别为点M，N，，可得，即可求证； （2）连接，过点F作于点F，交于点P，证明，，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点F作于点F，交于点P， ∵四边形，是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 39．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接． (1)与之间有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由正方形的性质容易证明，则，由等量代换可得，因此； （2）先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形的性质求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴， 在中，是的中点， ∴． 40．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若正方形边长为6，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的长； 【答案】(1)证明：在正方形中，，， ∵， ∴， 中，， 在中，， ∴（同角的余角相等）， 在和中， ， ∴； (2) (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，运用角边角即可求证； （2）在中，由勾股定理得到，由（1）得，，再利用等积法得到，由此即可求解； （3）由（1）得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形边长为6，即，， 在中，， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵正方形边长为6，即，， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 41．（2026·四川内江·二模）如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，请求出的长． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ， ， 在与中， ， ； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用“边角边”即可证明； （2）根据全等三角形的性质，求得，，证明，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 42．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，的角平分线交于点，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； (2)4 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，然后证明，即可证明四边形是菱形； （2）先得到四边形是正方形，再由勾股定理求解边长，即可求解面积． 【详解】（1）略 （2）解：，四边形是菱形 四边形是正方形， ∴， ∴ ， ∴ ∴ （舍负）， 四边形的面积为． 43．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若平分，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ， ∵有一个内角为直角的菱形是正方形 ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行结合证出四边形是平行四边形，再由一组邻边相等判定其为菱形，接着借助直角三角形两锐角互余和等角代换推出，最后依据有一个直角的菱形是正方形完成证明． （2）先通过角平分线、垂直得到相等角，用证明与全等，推出，再结合正方形性质得到等腰直角，利用勾股定理求出正方形边长即，最后根据平行四边形对边相等得到长度，作差算出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是正方形 ∴，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 将代入得 ， ， ， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 44．（25-26八年级下·广东湛江·期末）如图1，在正方形中，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，，相交于点G． (1)求证：； (2)如图2，当点E，F运动到，的中点时，连接，求证：． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ． ． ， ． ． 即． (2)证明：如图2，延长，交于点，             四边形是正方形， ． 是的中点， ．     在和中， ． ． ， ． ， ．     是直角三角形． ． 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，得到，证明，即可证明； （2）如图，延长交于点H，证明，得到，则，由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． 【详解】（1）略． （2）略． 45．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为平行四边形，，，与交于点E，且E为中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为正方形； (3)连接，，若四边形为平行四边形，直接写出的值． 【答案】(1)证明： ∵四边形为平行四边形， ∴点O为的中点 ， ∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴； (2)证明： ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为矩形 ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形且对角线互相垂直， ∴四边形为正方形； (3) 【分析】(1)根据四边形为平行四边形及点E为的中点，证得为的中位线，即可得出结论； (2)首先，证得四边形为矩形 ，再由， ，证得，即可得出结论； (3)连接，，由(1)知为的中位线，得，，再由(2)知四边形为正方形，得，，设，则，再由四边形为平行四边形，得，，然后，由勾股定理得到用含有a的式子表示，最后，求比值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，， 由(1)知为的中位线， ∴，， 由(2)知四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $特殊平行四边形的证明专项训练 类型一 菱形的性质与判定 类型二 矩形的性质与判定 类型三正方形的性质与判定 类型一菱形的性质与判定 1.(26-27八年级下.全国·课后作业)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC, 连接EC. (I)求证：BD=EC. (2)求证：S菱形ABcD=S△AEc, B 2.(2026·江苏徐州中考真题)如图，AD是△ABC的中线，点E,F分别在AD及其延长线上，BE川CF, 连接CE,BF. (I)求证：△BDE≌△CDF; (2)若AB=AC,求证：四边形BFCE是菱形. E 试卷第1页（共23页） 3.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边AB、BC、AD 的中点，连接EF、EG,EF⊥EG,垂足为E,且EF+EG=7, (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)求AB的长. 4.(25-26八年级下·贵州安顺·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作 AE⊥BC于点E,且AB=5,AC=6,BD=8. (I)求证：四边形ABCD是菱形. (2)求线段AE的长. 5.(25-26八年级下·陕西西安·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE⊥BD交BC的 延长线于点E. (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)若AC=CE,DE=4,求BD的长. 试卷第2页（共23页） 6.（25-26八年级下河北石家庄·期末)综合与实践 【问题】尺规作图：如图，AB‖CD,AM平分∠BAC交CD于点M.在AB上作出点N,使四边形ACMN 为菱形. 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作∠ACD的平分线CN交AB于点N,连接N,则四边形ACMN 是菱形 A N D 乙的作图 如图，以点M为圆心，AM长为半径作弧，交AB于点N,连接N,则 四边形ACMN是菱形. A M 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由： (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形ACMN是菱形.请你添加一个合理的条件， 并说明四边形ACMN是菱形： (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）. A A B B M M D 试卷第3页（共23页） 7.(25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,BE平分∠ABC,AB=AE. D E (1)求证：四边形ABCE是菱形： (2)若AB=5,△ABC的周长为18，求菱形ABCE的面积. 试卷第4页（共23页） 8.（2026江苏无锡·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC. (I)尺规作图：在AC上确定点D,使点D到A,B两点的距离相等；在AB的下方确定点E,使得四边形 AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）： (2)在(1)的条件下，若BC=4,AD=3CD,求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）. 9.(25-26八年级下·贵州黔西南·期中)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE, 延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. A (I)求证：四边形BCFE是菱形： (2)若CE=4,∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积. 试卷第5页（共23页） 10.(25-26八年级下·贵州安顺·期中)如图，己知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,延长AB至 点E,使BE=AB,连接CE. D B (I)求证：四边形BECD是平行四边形： (2)若∠E=60°，AC=43,求菱形ABCD的面积. 11.(2026山东泰安·三模)如图，在oABCD中(AB<BC). 实践与操作： (1)利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母.步骤如下： ①在边AD上作一点P,使得点P到直线AB和直线BC的距离相等： ②在BC上作一点Q,使得BQ=AP: ③连接PQ. 猜想与证明： (2)在所作的图中，试猜想四边形ABQP的形状，并加以证明. 试卷第6页（共23页） 12.(2026湖北武汉·中考真题)如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE=DF,CE=BF,AB=DC. (1)求证：△ACE2△DBF; (2)连接BE、CF,添加一个条件，使四边形BECF是菱形（不需要说明理由） 13.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，E是BC中点. D B E (I)求DE的长： (2)在直线AB上求作点F,使得∠AE=∠AEF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). (3)在（2)的条件下求△AEF的面积. 试卷第7页（共23页） 14.(2026贵州贵阳·模拟预测)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O,AC=2AB, BE∥AC,OE∥AB. (1)求证：四边形ABEO是菱形： (2)若AC=25,BD=4,求四边形ABE0的面积. 15.(2026浙江嘉兴·模拟预测)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB, 连接CE. D C 夕 (I)求证：BD=EC: (2)若∠E=55°，求∠BAO的度数. 试卷第8页（共23页） 类型二矩形的性质与判定 16.(26-27九年级上·云南曲靖·开学考试)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BE⊥AC 于点E,CF⊥BD于点F.求证：△BEO≌△CFO. D 17.(2026黑龙江大庆中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥OD, 过点D作DE∥OC,CE与DE相交于点E,连接BE. D E (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长. 试卷第9页（共23页） 18.(25-26八年级下·云南红河·期末)己知四边形ABCD为菱形，AH⊥BC于点H,延长BC至点E,使 得CE=BH,连接AC,BD交于点O,连接DE; B H C (I)求证：四边形AED为矩形： (2)已知菱形ABCD的周长20，菱形的面积为24，试求线段CH的长： 19.(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AE⊥BC于点E, ∠CBD=∠CAE. B E (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接OE,若OE=6,BD=16,求AE的长 试卷第10页（共23页) 20.(25-26九年级上·江西景德镇·期末)小佳自编一题如下： 如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，BE=DF, 求证：四边形EBFD是菱形. A 0 B 小辰认为还需补充一个条件才能证明 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明：如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明. 21.(2026江苏无锡中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E,F在AD上，AE=DF,BE,CF的延 长线相交于点G. G (1)求证：△ABE≌△DCF: (2)求证：△BCG是等腰三角形. 试卷第11页（共23页) 22.(2026山东枣庄·模拟预测)已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC与BD相交于 点O,点E、F分别在线段OB、OC上，AO=OF,AE‖DF.求证： (1)AO=D0; (2)四边形AEFD是矩形. 23.(2026山东济宁·模拟预测)如图，DB是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F. D E B (1)求证：EF=DE: (2)若AC=BC,判断四边形ADCF的形状. 试卷第12页（共23页) 24.(25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，DE=EF=FB. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形： (2)若AE⊥BD,AF=2W2,AB=4,求BF的长度. 25.(2026·北京·二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,分别过点C,D作BD,AC的 平行线交于点E,连接OE交DC于点F, D E (I)求证：四边形OCED是菱形： (2)若AC=8,∠DOC=60°，求菱形OCED的面积. 试卷第13页（共23页) 26.(25-26八年级下·河北秦皇岛期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点， EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G. D G (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AC=8,BD=6,请直接写出矩形OEFG的面积为_· 27.(25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测)阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，P为矩形ABCD内 的任意一点，求证PA+PC2=PB2+PD.下面是这道题的部分 证明过程：过点P作EF∥AD,则EF∥BC, D E---- F ,四边形ABCD是矩形， B ∴.∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， 图1 ∴.∠AEF=∠DFE=90°，∠BEP=∠CFP=90°， ∴.在Rt△APE和Rt△CFP中，根据勾股定理得 AP2+PC2=AB2+PE2+CF2+PF2,...... 任务： D 图2 (1)请完成材料中剩余的证明过程. (2)如图2，P为矩形内一点，且PA=PB=5,AB=6,AD=12,求PD的长（结果保留根号）. 试卷第14页（共23页) 28.(2026山东菏泽·模拟预测)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F, G在AB上，EF⊥AB,OG∥EF, D G (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AD=10,EF=4,求BD的长. 29.(25-26八年级下·浙江金华·阶段检测)己知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, DE∥AC,AE∥BD. E D B (1)求证：四边形AODE是矩形； (2)若AB=2,DE=1,求四边形AODE的面积. 试卷第15页（共23页) 30.(25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测)如图，AC是口ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别 交AD,BC于点E,F. A E D B F (1)求证：△AOE2ACOF; (2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是矩形？并说明理由. 类型三正方形的性质与判定 31.(26-27八年级下·全国·课后作业)如图，已知△ABC,分别以AB,AC,BC为边，在BC的同侧作等 边三角形ABD、等边三角形ACF和等边三角形BCE. E B (1)求证：四边形ADEF是平行四边形： (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？ 试卷第16页（共23页） 32.(2026山东青岛中考真题)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, F是BC的中点，过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G, G (I)求证：△BFG≌△CFE; (2)若∠A=90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论. 33.(25-26八年级下·重庆秀山·期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是AB和CB的中点， 连接DE和DF. D M (I)求证：△ADE≌△CDF; (2)连接AC,分别交DE,DF于点M,N.求证：NF=ME. 试卷第17页（共23页) 34.(2026北京·二模)如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB. E (1)求证：PE=PD: (2)连接DE,求∠PED的度数. 35.(2026九年级·四川内江，专题练习)如图：正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE=CF, 求证： D (1)∠OEC=∠OFD: (2)CE=DF. 试卷第18页（共23页) 36.(25-26八年级下·贵州铜仁·期中)己知：在平行四边形ABCD中，AM=CN. M B (1)请你再添加一个条件，使四边形BNDM为菱形，并且证明. (2)在(1)所添加的条件下，再添一个条件，使得四边形BNDM为正方形，并且证明. 37.(25-26八年级下江西南昌·期末)在正方形ABCD中，G为BC上的任意一点，BFLAG于点F. G B G 图1 图2 (I)如图1，作DE⊥AG于点E,请写出AF,BF与EF之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，连接DF,若∠BAG=30°，BF=4,求△ADF的面积. 试卷第19页（共23页） 38.(25-26八年级下·辽宁抚顺阶段检测)如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作平行四边形DEG, (1)求证：四边形DEFG是正方形： (2)若AB=3,CF=1,直接写出CE的长. 39.(25-26八年级下·河北唐山·期末)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，且AE=DF, BE与AF相交于点O,P是BF的中点，连接OP. E D P B C (1)BE与AF之间有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AE=1,AB=4,求OP的长. 试卷第20页（共23页） 40.(25-26八年级下·云南曲靖·期末)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE,过点B 作BF⊥AE于点G,交CD于点F. G (I)求证：△ABE2ABCF: (2)若正方形边长为6，BE=2,求FG的长： (3)在（2)的条件下，求AF的长： 41.(2026四川内江·二模)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点， 且BE=DF,连接AE,AF,EF. E (I)求证：△ABE≌△ADF; (2)若AE-5,请求出EF的长. 试卷第21页（共23页) 42.(2026江苏扬州·模拟预测)如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D,DE‖AB,DF‖AC. B D (1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由： (2)若∠BAC=90°，且AD=2W2,求四边形AFDE的面积. 43.(25-26八年级下·陕西延安·期末)如图，在。ABCD中，点M是边BC上的点，连接AM,CN∥AM交 AD于点N,AM=AN,CE⊥AB于点E,交AM于点F,∠CFM=∠B. N D M (I)求证：四边形AMCN是正方形： (2)连接AC,若CE平分∠ACB,BC=4V2,求DN的长. 试卷第22页（共23页) 44.(25-26八年级下·广东湛江·期末)如图1，在正方形ABCD中，点E和F分别是边AB和AD上的动点 (点E与点A,B不重合，点F与点A,D不重合)，且AF=BE,连接CE,BF,相交于点G. D E 图1 图2 (I)求证：CE⊥BF: (2)如图2，当点E,F运动到AB,AD的中点时，连接DG,求证：CD=DG. 45.(25-26八年级下·河北秦皇岛·期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90°，CN⊥AC,AN 与BD交于点E,且E为AN中点， D (1)求证：OE∥CN: (2)求证：四边形ABCD为正方形： (3)连接CB,D,若四边形BCND为平行四边形，直接写出g的值. 试卷第23页（共23页）特殊平行四边形的证明专项训练 类型一 菱形的性质与判定 类型二矩形的性质与判定 类型三正方形的性质与判定 类型一菱形的性质与判定 1.(26-27八年级下全国课后作业)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使 BE=BC,连接EC」 (I)求证：BD=EC. (2)求证： S菱形ABcD=S△AEC D B 2.(2026江苏徐州中考真题)如图，AD是△ABC的中线，点E,F分别在AD及其延长线上， BECF CE BF ,连接， (I)求证：△BDE≌△CDF, (2)若AB=AC,求证：四边形BFCE是菱形 E 试卷第1页（共3页） 3.(25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边 AB、BC、AD的中点，连接EF、EG,EF⊥EG,垂足为E,且EF+EG=7. (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)求AB的长. D 4.(25-26八年级下·贵州安顺期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A 作AE⊥BC于点E,且AB=5,AC=6,BD=8. (I)求证：四边形ABCD是菱形. (2)求线段AE的长. 5.(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE⊥BD交BC 的延长线于点E. (I)求证：四边形ACED是平行四边形： (2)若AC=CE,DE=4,求BD的长. 试卷第2页（共3页） 6.(25-26八年级下河北石家庄期末)综合与实践 【问题】尺规作图：如图，AB川CD,AM平分∠BAC交CD于点M,在AB上作出点N,使四边形 ACMN为菱形. 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作∠ACD的平分线CN交AB于点N,连接MN,则四边形 ACMN是菱形. N -B D 乙的作图 如图，以点M为圆心，AM长为半径作弧，交AB于点N,连接MN, 则四边形ACMN是菱形. A NB M D 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由： (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形ACMN是菱形.请你添加一个合理的条件， 并说明四边形ACMN是菱形： 试卷第3页（共3页） (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）· A A B B M D M D 7.(25-26八年级下陕西商洛期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,BE平分∠ABC,AB=AE (I)求证：四边形ABCE是菱形： (2)若AB=5,△ABC的周长为18，求菱形ABCE的面积. 试卷第4页（共3页） 8.(2026江苏无锡中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC. (I)尺规作图：在AC上确定点D,使点D到A,B两点的距离相等；在AB的下方确定点E,使得四边形 AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）： (2)在(1)的条件下，若BC=4,AD=3CD,求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）， 9.(25-26八年级下贵州黔西南期中)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE, 延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF, A 试卷第5页（共3页） (I)求证：四边形BCFE是菱形： (2)若CE=4,∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积. 10.(25-26八年级下·贵州安顺期中)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,延长AB 至点E,使BE=AB,连接CE, B (I)求证：四边形BECD是平行四边形： (2)若∠E=60°，AC=43,求菱形ABCD的面积. 11.(2026山东泰安·三模)如图，在口ABCD中（AB<BC). A 实践与操作： ()利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母.步骤如下： ①在边AD上作一点P,使得点P到直线AB和直线BC的距离相等： ②在BC上作一点Q,使得B0=AP: 试卷第6页（共3页） ③连接PQ」 猜想与证明： (2)在所作的图中，试猜想四边形ABQP的形状，并加以证明、 12.(2026湖北武汉中考真题)如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE=DF,CE=BF, AB=DC. B D (I)求证：△ACE≌△DBF: (2)连接BE、CF,添加一个条件，使四边形BECF是菱形（不需要说明理由）· 13.(25-26八年级下福建泉州期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，E是BC中点. 试卷第7页（共3页） B E (I)求DE的长； (2)在直线AB上求作点F,使得∠AFE=∠AEF(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). (3)在(2)的条件下求△AEF的面积. 14.(2026贵州贵阳模拟预测)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O, AC=2AB,BE∥AC.OE∥AB, B (I)求证：四边形ABEO是菱形： ②若4C=25,BD=4,求四边形4BE0 的面积. 试卷第8页（共3页） 15.(2026浙江嘉兴·模拟预测)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使 BE=AB,连接CE. D B (I)求证：BD=EC: (2)若∠E=55°，求∠BAO的度数. 类型二矩形的性质与判定 16.(26-27九年级上云南曲靖开学考试)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F.,求证：△BEO≌ACFO. D 17.(2026黑龙江大庆中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作 CE∥OD,过点D作DE∥OC,CE与DE相交于点E,连接BE. 试卷第9页（共3页） (①)求证：四边形OCED是矩形： (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长. 18.(25-26八年级下·云南红河期末)己知四边形ABCD为菱形，AH⊥BC于点H,延长BC至点E, 使得CE=BH,连接AC,BD交于点O,连接DE; B H (I)求证：四边形AHED为矩形： (2)已知菱形ABCD的周长20，菱形的面积为24，试求线段CH的长； 试卷第10页（共3页) 19.(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AE⊥BC于点 E,∠CBD=∠CAE (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接OE,若OE=6,，BD=16,求AE的长. 20.(25-26九年级上·江西景德镇·期末)小佳自编一题如下： 如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，BE=DF. 求证：四边形EBFD是菱形. A D 小辰认为还需补充一个条件才能证明， 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明， 试卷第11页（共3页） 21.(2026江苏无锡中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E,F在AD上，AE=DF,BE,CF的 延长线相交于点G. G E (I)求证：△ABE≌△DCF: (2)求证：△BCG是等腰三角形. 22.(2026山东枣庄·模拟预测)已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC与BD相交 于点O,点E、F分别在线段OB、OC上，AO=OF,AEIDF.求证： B (1)A0=D0: (2)四边形AEFD是矩形. 试卷第12页（共3页） 23.(2026山东济宁·模拟预测)如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点 D E B (I)求证：EF=DE; (2)若AC=BC,判断四边形ADCF的形状. 24.(25-26八年级下·湖北武汉阶段检测)如图，在矩形ABCD中，E、F为对角线BD上两点， DE=EF=FB B (1)求证：四边形AFCE是平行四边形： ②考4ELBD,F=25,4B=4,求F的长度， 试卷第13页（共3页） 25.(2026北京·二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,分别过点C,D作BD,AC 的平行线交于点E,连接OE交DC于点F. A D (I)求证：四边形OCED是菱形： (2)若AC=8,∠DOC=60°，求菱形OCED的面积. 26.(25-26八年级下·河北秦皇岛期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中 点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G. D G 试卷第14页（共3页） (1)求证：四边形OEFG是矩形： (②)若AC=8,BD=6,请直接写出矩形OEFG的面积为_， 27.(25-26八年级下河南驻马店阶段检测)阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，P为矩形ABCD 内的任意一点，求证PAP+PC2=PB+PD2.下面是这道题的 D 部分证明过程：过点P作EF∥AD,则EF∥BC ,四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， 图1 ∴.∠AEF=∠DFE=90°，∠BEP=∠CFP=90° ∴在Rt△APE和Rt△CFP中，根据勾股定理得 AP2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2 任务： 图2 (1)请完成材料中剩余的证明过程. (2)如图2，P为矩形内一点，且PA=PB=5,AB=6,AD=12,求PD的长（结果保留根号）. 28.(2026山东菏泽模拟预测)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点 F,G在AB上，EF⊥AB,OG∥EF. 试卷第15页（共3页） E G B (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AD=10,EF=4,求BD的长. 29.(25-26八年级下·浙江金华阶段检测)已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, DE∥ACAE∥BD D B (I)求证：四边形AODE是矩形： (2)若AB=2,DE=1,求四边形AODE的面积. 30.(25-26八年级下·江苏无锡阶段检测)如图，AC是口4BCD的一条对角线，过AC中点O的直线分 试卷第16页（共3页） 别交AD,BC于点E,F. A E D B F (I)求证：△AOE≌aCOF: (2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是矩形？并说明理由. 类型三正方形的性质与判定 31.(26-27八年级下·全国课后作业)如图，已知△ABC,分别以AB,AC,BC为边，在BC的同侧作 等边三角形ABD、等边三角形ACF和等边三角形BCE. B (I)求证：四边形ADEF是平行四边形： (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？ 试卷第17页（共3页） 32.(2026山东青岛中考真题)己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC,CE平分 ∠DCB,F是BC的中点，过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G. (I)求证：△BFG≌△CFE: (2)若∠A=90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论. 33.(25-26八年级下·重庆秀山期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是AB和CB的中点， 连接DE和DF」 D M E B (I)求证：△ADE≌△CDF: (2)连接AC,分别交DE,DF于点M,N.求证：NF=ME 试卷第18页（共3页） 34.(2026北京·二模)如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB B E C (I)求证：PE=PD; (2)连接DE,求∠PED的度数. 35.(2026九年级四川内江·专题练习)如图：正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 BE=CF,求证： (I)∠OEC=∠OFD: (2CE=DF 试卷第19页（共3页） 36.(25-26八年级下·贵州铜仁期中)已知：在平行四边形ABCD中，AM=CN. D M B (I)请你再添加一个条件，使四边形BNDM为菱形，并且证明. (2)在(1)所添加的条件下，再添一个条件，使得四边形BNDM为正方形，并且证明 37.(25-26八年级下·江西南昌·期末)在正方形ABCD中，G为BC上的任意一点，BFLAG于点F. D E G 图1 图2 (I)如图1，作DE⊥AG于点E,请写出AF,BF与EF之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，连接DF,若∠BAG=30°，BF=4,求△ADF的面积 试卷第20页（共3页） 38.(25-26八年级下·辽宁抚顺阶段检测)如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连 接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作平行四边形DEFG. E G (I)求证：四边形DEFG是正方形： (2)若AB=3,CF=1,直接写出CE的长. 39.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，且 AE=DF,BE与AF相交于点O,P是BF的中点，连接OP. D P (I)BE与AF之间有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AE=1,AB=4,求OP的长. 试卷第21页（共3页) 40.(25-26八年级下·云南曲靖期末)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE,过点 B作BF⊥AE于点G,交CD于点F. D B E (I)求证：△ABE≌aBCF: (2)若正方形边长为6，BE=2,求FG的长； (3)在(2)的条件下，求AF的长： 41.(2026四川内江·二模)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一 点，且BE=DF,连接AE,AF,EF, B E (I)求证：△ABE≌AADF: (2)若AE=5,请求出EF的长. 试卷第22页（共3页） 42.(2026江苏扬州模拟预测)如图，在△1BC中 '中，∠BAC BC .D DEAB 的角平分线交于点， DFI‖IAC 。 (I)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； (②若∠B1C=90,且4D=25 求四边形1FDE的面积. 43.(25-26八年级下陕西延安期末)如图，在ABCD中，点M是边BC上的点，连接AM,CN∥AM 交AD于点N,AM=AN,CE⊥AB于点E,交AM于点F,∠CFM=∠B. N D B M (I)求证：四边形AMCN是正方形： (②连接4C，若CB平分1CB,8C=4 AC CE DN ,求的长 试卷第23页（共3页) 44.(25-26八年级下·广东湛江·期末)如图1，在正方形ABCD中，点E和F分别是边AB和AD上的动 点（点E与点A,B不重合，点F与点A,D不重合），且AF=BE,连接CE,BF,相交于点G XG G E 图1 图2 ()求证：CE⊥BF: (②)如图2，当点E,F运动到AB,AD的中点时，连接DG,求证：CD=DG. 45.(25-26八年级下·河北秦皇岛期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90°，CN⊥AC, AW与BD交于点E,且E为AN中点， 试卷第24页（共3页） D E B ()求证：OE∥CN; (2)求证：四边形ABCD为正方形： AE (3③)连接CE,ND,若四边形ECND为平行四边形，直接写出BC的值. 试卷第25页（共3页）