第一章特殊平行四边形强化训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形，分层覆盖基础概念到综合应用，通过基础辨析、中档推理、提高探究三阶设计，强化知识巩固与几何直观、推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形、矩形、正方形单一性质与判定|选择题菱形性质判断（第2题）、填空题矩形中角度计算（第11题），巩固核心概念| |中档|性质应用与简单推理|选择题添加条件证矩形（第4题）、解答题证平行四边形为矩形（20题），培养逻辑推理| |提高|综合探究与动态问题|选择题多结论判断（第10题）、解答题旋转综合题（21题），发展空间观念与创新意识|

第一章特殊平行四边形强化训练2026-2027学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1.已知菱形ABCD的对角线AC=8cm、BD=6cm,则该菱形的边长是( A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【答案】C 2.下列选项中，菱形不具有的性质是( A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 【答案】C 3.如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B=25°，则∠ADC的度数为() A.50° B.48° C.55° D.25° 【答案】A 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一 个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是() A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90 D.CE⊥DE 【答案】B. 5.如图，四边形ABCD为正方形，E为CD上一点，BF⊥AE于点F,连接DF,设 ∠ABF=&,若BF=2AF,则∠ADF可表示为() D E B 号 415 B. C.45°-0 D.60°-a 【答案】C 6.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF=22°，则∠FDB的大小是 () E F O B JC A.22 B.34° C.24 D.68 【答案】B. 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DF垂直平分OC,交AC于点E,交BC 于点R,连接AR,若D=23,DF=2,则AF的长为（) B A.6 B.2V2 C.7 D.3 【答案】G 8.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，己知AE=3,CF=2, △BEF的面积为11，则正方形ABCD的面积为() A.25 B.28 C.33 D.36 【答案】B 9.如图，正方形ABCD的边长为4cm,将该正方形沿AC方向平移V2cm,得到正方形 ABCD,AD交CD于点E,AB交BC于点F,则AE的长为( B A.3cm B.2cm C.2cm D.22cm 【答案】A 10.已知边长为2cm的菱形AFB0,∠AFB=120°，过点0作两条夹角为60°的射线，分别 交边AR边B于点M,N连接MW,则下列命题正确的是() ①S OMFN=-3c: ②MW的长度为定值： ③△OMW的形状为等边三角形； S AOMN ④SAFMN 的最小值为3. A.①③ B.①②③④ C.③④ D.①③④ 【答案】D 二、填空题 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,连接AF, CE,如果∠BCE-26°，则∠CAF= D 【答案】32°， 12.如图所示，△ABC中，RRD分别是AB、AC、BC上的中点，要使四边形AEDF是菱 形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是（在△ABC基础上添加） B 【答案】AB=AC 3 13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与x轴，y轴分别交于点A,B,以AB为 2 边向右作菱形ABCD,点D在x轴上，则点C的坐标是 【答案】 (（3,3 14如图，在R1aABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,W为斜边AB上一动点，过M作 MD LAC于点D,过M作ME⊥CB于点B,则线段DE的最小值为 E D M B 12 【答案】 5 15.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以O为顶点的正方形OEGF的两边OE, OF分别交正方形的边AB,BC于点M,N.记△AOM的面积为S，,△CON的面积为S, 若正方形的边长AB=10,S=16则S的大小为一 0 5 【答案】9 16.如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD上，DE=1cm,作 EF‖BC,分别交AC,AB于点GF,MN分别是AG,BE的中点，则下列5个结论中： ①点RkC共线：②MN=5 > m,®AC⊥BE:④△MNC的面积为B:回 ∠MEB=45°.正确的是 (填写所有正确结论的序号)· A D M G E B 【答案】①②④⑤ 三、解答题 17.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE//OD,过点D作DE∥AC,CE与DE 相交于点E.求证：四边形OCD是矩形. 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：，CE∥OD,DB∥AC, ∴.四边形OCED是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， ∴.ACL BD, ∴.∠D0C=90°， ∴.四边形OCD是矩形. 18.已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点R、F分别在AB、AD上，△CEF是 等边三角形，求证：BE=AF F B 【答案】见解析 【详解】证明：，四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD,AC平分∠BCD,AD‖BC. ∠B=60°， ,△ABC是等边三角形， ∴.BC=AC,∠B=∠BCA=∠CAF=60°， :△CEF是等边三角形， ∴，CE=CF,∠EAF=60°， ,∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF, .△BCE≌△ACFSAS, ∴.BE=AF」 19.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DB⊥AG于E,BF⊥AG于F. (1)求证：△ABF≌△DAE: (2)若DE=2.5cm,EF=1.7cm,求BF的长. D E B 【答案】【答案】(1)见解析 (2)1500 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB-AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAF4∠DAE=90°， :DE⊥AG,BF⊥AG, ∴.∠AFB=∠DBA=90°， ∠DAEt∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE, 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE ∠AFB=∠DEA=90 AB=AD '.△ABF≌△DAE(AAS); (2)解：，△ABF≌△DAE, .AB=BF,DE=AF, '.'DE-2.5cm,EF-1.7cm,EF-1.7cm, ∴.AE=AF-EP=2.5-1.7=0.8cm, .BF-AB-0.8cm. 2O.如图，在ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM,QM,且BM=☑M. (1)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若△B☑M是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系， 【答案】(1)证明：，点M是AD边的中点， ∴.AM=DM, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=DC,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中， AM=DM AB=DC BM=CM, ∴.△AB≌△D☑M(SSS), ∴.∠A=∠D, ,AB∥CD, ∴.∠H∠D=180°， ∴.∠A=90°， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.四边形ABCD是矩形： (2)解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB,理由如下： ,△BCM是直角三角形，BM=☑M ∴.△BCM是等腰直角三角形， ∴.∠BC=45°， 由(1)得：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∠A=90°， ∴.∠AMB=∠MBC=45°， ∴.△ABM是等腰直角三角形， ∴.AB=AM 点M是AD边的中点， ∴.AD=24W ∴.AD=2AB. 21.在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°，AB=6,BE=2 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF,直接写出 DF的长度为 (②)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转Q(0<a<360),连接DF、CG,判断DF与 CG的数量关系，并给出证明： (3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接 CO、EO,试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范 围。 【答案】(1)43 (2)FD=V3CG,证明见解析 (3)0E=V30C,2≤0C≤4 【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB,AC,BD交于点O,EG,BF交于点H, G E :菱形ABCD,菱形EBGF, ∠ABD=∠CBF-ABc=30,∠EsF=∠GB8F=E8G=30, AC⊥BD,EG⊥BF,BD=2OB,BF=2HB :点E、G分别在边AB、BC上， .∠ABD=∠ABF=30°， ·B,F,D三点共线， :BE=2,∠EBF=30° :E=-E=1,BH=5E=5 ∴.BF=2BH=2N3」 同理：BD=20B=2N50A=2×5AB=6N5, 2 .DF=BD-BF=43: 故答案为：4V3: (2)FD=V3CG,证明如下： 过点D作DM∥FG,过点G作GM∥DF,过点C作CN⊥MG, 则：四边形DMGF为平行四边形， .DF =MG,DM=GF, :菱形ABCD,菱形EBGF,∠ABC=∠EBG=6O°， .AD∥BC,BE∥GF,∠ADB=∠ABC=∠EBG=6O°，CD=BC,BG=GF=DM .BE∥DM,∠1=∠2，∠DCB=180°-∠ADC=120° .∠3=∠DMN, :∠I=∠ADM+∠DMN,∠2=∠3+∠CBE .∠ADM=∠CBE, .∠CDA+∠ADM=∠CBE+∠EBG,即：∠CDM=∠CBG, CD=BC,BG=DM ∴.ACDM≌aCBG, ∴.CM=CG,∠DCM=∠BCG ∴.∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°， &∠CMG=∠CGM=)80-120°)=30°， 2 :CN⊥MG, 1 DF-MG-2NG CN-CG, .NG=CG2-CN2= CG. 2 :DF=3CG: (3)①延长CO至点H,使OC=OH,连接AC,AH,HE,HG,延长BA,交CH于点， A O是DG的中点， ∴.OD=OG, 又，∠DOC=∠HOG, ∴.aD0C≌aGOH, ∴.GH=CD,∠OCD=∠OHG, CD∥HG, :菱形ABCD, AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°， “AB∥HG,GH=CD=AB,△ABC为等边三角形， ∴，四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC, .AH∥BG,AH=BG,∠CAQ=180°-∠CAB=120°， .∠HAQ=∠ABG BG=BE, .AH=BE, ·∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG, ∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120° .∠CBE=∠HAC. 又AH=BE,AC=BC, .△HAC≌△EBC, CH=CE,∠HCA=∠ECB, ∴，∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°， “△CHE为等边三角形， ,OC=OH,∠HEC=60°， ,OE⊥OC,∠CE0=30°， .0C-CE, 2 ∴.OE=V30C; ②BC=AB=6,BE=2. ∴.BC-BE≤CE≤BC+BE,即：4≤CE≤8， OC-CE, .2≤0C≤4， 第一章特殊平行四边形强化训练2026-2027学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1．已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 2.下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 3.如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 5．如图，四边形为正方形，E为上一点，于点F，连接，设，若，则可表示为（　　）    A． B． C． D． 6.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD＝2，DF＝2，则AF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 8．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 9.如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 二、填空题 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE，如果∠BCE＝26°，则∠CAF＝　 　 12.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是 ． 14.如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 15.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 16．如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 17.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形． 18.已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 20．如图，在▱ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系． 21．在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $