第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·提升卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与逻辑单元提升卷，通过基础巩固与创新探究题梯度设计，提升抽象能力与推理意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合表示、交并补运算、充要条件|第12题元素个数最值，考查子集性质与逻辑推理| |选择题|4题18分|Venn图应用、创新集合定义|第16题非空数集命题判断，培养批判性思维| |解答题|5题78分|参数范围、充要条件证明、三元数对探究|第21题多条件综合，体现数学思维的严谨性与创新意识|

第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·提升卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 必要非充分 6. 7. 8 . 1 9. 10 . 11.40 12. 676 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A B B B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）集合，，则，解得， 所以k的值为4.……（6分） （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以k的取值范围是.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）， 由，当 时，， 故， 或；……（7分） （2）由于，，且， 故且，解得， 所以 的取值范围为．……（14分） 19．（14分） 【详解】(1)证明:若，则，即， 若，则，即， 则“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件.……（6分） （2）若，则，即， 若，则，即， 因此时，， 若，则集合中只有一个元素， 因此若，则集合中只有一个元素，即， 此时，， 综上知，则存在，使得.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故；……（6分） （2）取，此时，符合；……（10分） (3)当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故；……（4分） （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或；……（10分） （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用列举法表示集合：________． 【答案】; 【详解】解得， 故答案为： 2．已知全集，集合，则__________. 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以， 故答案为： 3．设集合，，若，则_____． 【答案】 【详解】因为集合，，且，故，解得. 故答案为：. 4．已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由可得，解得或， 所以， 故答案为： 5．“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 【答案】必要非充分 【详解】由，可得，所以是的必要非充分. 故答案为：必要非充分. 6．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    【答案】 【详解】图中的阴影部分表示的集合为且， 又，， 图中的阴影部分表示的集合且． 故答案为：． 7．已知集合，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【详解】因为集合有3个真子集， 所以中有个元素，即, 所以，解得， 故答案为： 8．已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 9．已知集合，，且，则实数的取值范围是______ 【答案】 【详解】，，， ，，， 实数的取值范围是. 故答案为： 10．已知全集，，，，则_____. 【答案】 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 11．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【详解】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 12．已知集合为集合的子集，并且集合中任意两个元素之和不能被3整除，则集合中元素个数的最大值为______. 【答案】676 【详解】对于集合， 所有被3除余数为1的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有被3除余数为2的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有能被3整除的元素组成的集合为，元素个数为674； 由题意，，且中任意两个元素之和不能被3整除， 又因为，集合中任意一个元素与集合中任意一个元素之和能被3整除， 所以集合中的元素和集合中的元素不能都属于集合， 因为集合中任意一个元素与集合或与集合中任意一个元素之和都不能被3整除， 且集合中任意两个元素之和都能被3整除， 所以当集合中元素个数最多时， 集合，其中；或者，其中； 故集合中元素个数的最大值为. 故答案为： 676. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设全集，若集合满足，则符合条件的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合满足，说明集合中的元素是只能有整数，故A正确； 而中存在非整数，中存在分数，中只有无理数，故BCD错误； 故选：A. 14．若，，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】， 或， 中的可能取值为或，不满足一定是，即不能推出，不满足充分性， 中满足，即能推出，满足必要性， 是的必要非充分条件，故B正确． 故选：B． 15．维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题意画出Venn图，如下：    对于A：若，，则不符合题意； 对于C：若，，则，不符合题意； 对于D：若，，则，不符合题意； 对于B：经验证符合题意， 故选：B 16．已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①：是有限集，若， 所以为无限集，与是有限集矛盾， 所以，因此本序号说法正确； ②：，例如取，显然不成立，所以本序号说法不正确； ③：若，例如取，所以不成立，所以本序号说法不正确； ④：设， 显然当时， ， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，， 所以符合题中定义，因此本序号说法正确. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知，集合． (1)若，求k的值； (2)若，求k的取值范围． 【详解】（1）集合，，则，解得， 所以k的值为4.……（6分） （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以k的取值范围是.……（14分） 18．（14分）设全集为，已知集合 ， ． (1)若 时，求集合 ； (2)若 ，求 的取值范围 【详解】（1）， 由，当 时，， 故， 或；……（7分） （2）由于，，且， 故且，解得， 所以 的取值范围为．……（14分） 19．（14分）设，集合. (1)求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件； (2)是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由. 【详解】(1)证明:若，则，即， 若，则，即， 则“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件.……（6分） （2）若，则，即， 若，则，即， 因此时，， 若，则集合中只有一个元素， 因此若，则集合中只有一个元素，即， 此时，， 综上知，则存在，使得.……（14分） 20．（18分）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故；……（6分） （2）取，此时，符合；……（10分） (3)当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.……（18分） 21．（18分）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故；……（4分） （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或；……（10分） （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用列举法表示集合：________． 2．已知全集，集合，则__________. 3．设集合，，若，则_____． 4．已知集合，，则__________． 5．“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 6．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    7．已知集合，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为___________ 8．已知，，若集合，则的值为_______． 9．已知集合，，且，则实数的取值范围是______ 10．已知全集，，，，则_____. 11．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 12．已知集合为集合的子集，并且集合中任意两个元素之和不能被3整除，则集合中元素个数的最大值为______. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设全集，若集合满足，则符合条件的可以是（    ） A． B． C． D． 14．若，，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 16．已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知，集合． (1)若，求k的值； (2)若，求k的取值范围． 18．（14分）设全集为，已知集合 ， ． (1)若 时，求集合 ； (2)若 ，求 的取值范围 19．（14分）设，集合. (1)求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件； (2)是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由. 20．（18分）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 21．（18分）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $