1.1 集合初步单元自测题-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 沪教版高中数学1.1集合初步单元自测提高版，90分钟100分，涵盖集合概念、关系、运算及新定义问题，基础与创新结合，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/36|元素性质（如第1题英文单词字母集合）、互异性（第2题）、新定义偶子集（第10题）|情境生活化，分层考查抽象能力| |选择题|4/12|集合相等判断（第13题）、参数范围（第14题）、“紧密集合”新定义（第16题）|逻辑推理与概念辨析结合| |解答题|5/52|集合表示法（第17题）、交并补运算（第18题）、“闭集合”证明（第21题）|综合应用与创新探究，体现数学思维与表达|

【学生版】 【沪教版】1.1 集合初步单元自测题（提高版） （时间：90分钟；满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分； 1．英文单词necessary的所有字母组成的集合共有________个元素. 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 2．若集合A由三个元素组成，且，则 . 3．已知集合，，则 4．已知集合，，则集合A，B之间的关系为________． 5．若，，并有以下9个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 其中正确的有 （填序号）． 6．满足关系式的集合的个数是__________. 7．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数 为 个 8．已知集合P＝（﹣∞，1]∪（4，+∞），Q＝{1，2，3，4}，则（）∩Q＝ 9．已知集合，且，则实数的取值范围是________． 10．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________. 11．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 12．已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有；则下列说法正确的是（    ） ① ②中所有元素之积可能为 ③中所有元素之积可能为1 ④若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分； 13．下列各组中的、表示同一集合的是（     ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 14．设集合，若，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 15．已知集合.若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C．或 D． 16．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤； 17、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知集合为全体实数集，或，. （1）若，求; （2）若，求实数a的取值范围. 19、（本小题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） （1）已知集合，求； （2）已知集合，是否存在实数，使得?若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由. 20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知，集合，， （1）当时，求，； （2）若，求m的取值范围． 21、（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，，证明：． 【解析版】 【沪教版】1.1 集合初步单元自测题（提高版） （时间：90分钟；满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分； 1．英文单词necessary的所有字母组成的集合共有________个元素. 【提示】根据英文单词necessary不同的字母和集合定义可得答案； 【答案】7； 【解析】英文单词necessary不同的字母有n、e、c、s、a、r、y7个， 组成的集合为，共有7个元素. 故答案为：7； 【说明】本题主要考查了集合元素的性质与判断元素能否构成集合； 2．若集合A由三个元素组成，且，则 . 【提示】分类讨论结合互异性即可得出答案； 【答案】2； 【解析】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 【说明】本题主要考查了集合的概念与性质，以及集合元素的互异性； 3．已知集合，，则 【提示】利用描述法表示集合的几何意义，求出两直线交点坐标即可得出结果； 【答案】； 【解析】根据题意可知，集合都是表示的点的集合， 联立两直线，解得， 即交点为，所以； 【说明】本题考查了有关“方程组解”交集的概念及运算； 4．已知集合，，则集合A，B之间的关系为________． 【提示】分别讨论k=2n和k=2n-1，n∈Z时，集合A所表示的集合，由描述法的定义即可知道集合A=B. 【答案】A=B； 【解析】对于集合A，k=2n时， ， 当k=2n-1时， 即集合A= ,由B= 可知A=B，故填：A=B. 【说明】本题考查了集合之间的关系、判断两个集合是否相等与分类讨论思想的交汇； 5．若，，并有以下9个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 其中正确的有 （填序号）． 【提示】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解； 【答案】②③④⑤⑦⑧⑨； 【解析】因为，所以，又，故①错误；②，④，⑤正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以③，⑦，⑨正确， 又，所以⑥错误，显然⑧正确， 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨； 【说明】本题综合考查了集合的相关概念及其规范表示； 6．满足关系式的集合的个数是__________. 【提示】列举出满足题意的集合A即得解. 【答案】4； 【解析】由题得满足关系式的集合A有：. 所以集合A的个数为4. 故答案为：4. 【说明】本题主要考查集合的关系和集合个数的求法，判断集合的子集（真子集）的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平； 7．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数 为 个 【提示】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解； 【答案】4； 【解析】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 【说明】本题考查了判断集合的子集（真子集）的个数、补集的概念及运算、交集的概念及运算、利用Venn图求集合； 8．已知集合P＝（﹣∞，1]∪（4，+∞），Q＝{1，2，3，4}，则（）∩Q＝ 【提示】首先求出，再利用集合的交运算即可求解； 【答案】{2，3，4}； 【解析】由集合P＝（﹣∞，1]∪（4，+∞）， 则，因为Q＝{1，2，3，4}， 所以（）∩Q＝{2，3，4}. 【说明】本题考查了集合的交集的概念及运算、补集的概念及运算； 9．已知集合，且，则实数的取值范围是________． 【提示】由，得，对B分类讨论，求出m的取值范围； 【答案】； 【解析】因为，所以， 当时，，得，合题意； 当时，即，因为，所以，得， 综上，. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据并集结果求集合或参数； 10．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________. 【提示】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果. 【答案】； 【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种， 若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况， 若集合中只含个偶数，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况. 因为是的偶子集，分以下几种情况讨论： 若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为； 若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种； 若集合中的元素是个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故答案为：. 【说明】本题考查了集合的新定义与分类讨论思想的交汇； 11．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 【提示】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可； 【答案】； 【解析】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 【说明】本题综合考查了对集新定义的理解与应用，以及与集合真子集个数的交汇； 12．已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有；则下列说法正确的是（    ） ① ②中所有元素之积可能为 ③中所有元素之积可能为1 ④若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 【提示】根据题意若，则，则；若，则，则，则；由此逐项判断即可； 【答案】②③④； 【解析】对于①选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故①错误； 对于②选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故②正确； 对于③选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故③正确； 对于④选项：若由四个元素组成，则，所有元素之和为3，即， 化简得，两边同时除以 得： 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故④正确. 故选：②③④ 【说明】本题综合考查了对集合新定义的理解与应用； 二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分； 13．下列各组中的、表示同一集合的是（     ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【提示】根据集合定义逐一判断即可； 【答案】C； 【解析】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C； 【说明】本题主要考查了判断是否为同一集合； 14．设集合，若，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【提示】根据数的集合，可以借助数轴； 【答案】B； 【解析】因为集合，， 所以，所以. 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数； 15．已知集合.若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C．或 D． 【提示】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集； 【答案】A； 【解析】  由得，优先考虑为空集的情况： 当，即时，，符合题意； 当，即时，需解得. 综上得，则的取值范围为. 故选：A； 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、交并补混合运算； 16．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】利用特例说明①③④的真假，根据概念判断②的真假； 【答案】B； 【解析】若，，而，故整数集不是“紧密集合”，所以①错； 根据“紧密集合”的定义，实数集是“紧密集合”，所以②正确； 因为集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，所以③正确； 因为集合是“紧密集合”，但，故④错. 故选：B； 【说明】本题考查了对集合新定义的理解与应用；本题的关键点是“紧密集合”的概念，正确理解概念是解决问题的关键； 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤； 17、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 【提示】（1）用描述法表示集合，再解方程求出对应根，用列举法表示即可； （2）用描述法表示集合，再列举出大于10且小于20的所有整数，用列举法表示集合即可. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）设，则x是一个实数，且. 因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为. （2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为. 【说明】本题主要考查了描述法表示集合、列举法表示集合； 18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知集合为全体实数集，或，. （1）若，求; （2）若，求实数a的取值范围. 【提示】（1）利用补集及并集的定义运算即得； （2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得； 【答案】（1）或；（2）； 【解析】（1）当时，， 所以或， 又或， 所以或； （2）由题可得， 当时，则 ，即时，此时满足， ②当时，则，所以， 综上，实数的取值范围为 【说明】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算； 19、（本小题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） （1）已知集合，求； （2）已知集合，是否存在实数，使得?若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由. 【提示】（1）根据题意结合交集运算求解； （2）由题意可得：，根据子集关系分析运算，注意集合的互异性； 【答案】（1）；（2）存在，； 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以； （2）存在，，理由如下： 因为，则， （i）若，则，此时，不合题意； （ⅱ）若，则或， ①当时，则，符合题意； ②当时，此时，不合题意； 综上所述：； 【说明】本题综合考查了描述法表示集合、交集的概念及运算、集合元素互异性的应用、根据集合的包含关系求参数； 20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知，集合，， （1）当时，求，； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）或； 【解析】（1）由题设，，则或， 所以，； （2）由，若，则，满足题意； 若，则，可得， 综上，或； 【说明】本题综合考查了补集的概念及运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数； 21、（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，，证明：． 【提示】（1）集合A：直接根据题干定义验证即可；集合B：可任取，设，，，然后验证与集合B的关系即可； （2）令，，然后取特值进行验证即可； （3）可采用反证法，假设，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后讨论和两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，从而得到． 【答案】（1）A不是闭集合，B是闭集合，证明见解析； （2）不一定，理由见解析； （3）证明见解析； 【答案】（1）A不是闭集合，B是闭集合，证明见解析； （2）不一定，理由见解析； （3）证明见解析； 【解析】（1）A不是闭集合，B是闭集合． 因为，，，，∴A不是闭集合； 任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，， 则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合， 因为，，， 因此，不是闭集合， 所以，若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3）假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， 因为，，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 【说明】本题主要综合考查对集合新定义的理解与应用； 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $