高中数学单元测试——第1章集合与逻辑（较易版02）

**基本信息** 高中数学第1章集合与逻辑单元复习较易卷，覆盖集合关系、命题否定、充要条件等核心知识点，基础巩固与能力梯度结合，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合空集判定（题2）、存在量词命题否定（题3）|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|描述法集合表示（题9）、充要条件判断（题10）|选项分层设计，培养批判性思维| |填空题|3/15|集合元素性质（题12）、Venn图阴影部分（题13）|符号语言转化，体现数学眼光| |解答题|5/77|含参数集合运算（题15）、充要条件证明（题18）|综合应用情境，发展推理能力与模型意识|

高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系逐项分析即可． 【详解】对于A，0不属于空集，故A错误； 对于B，不是自然数，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，成立，但当两者作为集合中的元素时，也即和时，并不是的子集，故D错误． 故选：C． 2．（本题5分）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（本题5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ） A．任意一个有理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题， 该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”， 故选：B. 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：C. 5．（本题5分）满足⫋的集合的个数为（　 ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据子集的定义，列举出符合题意的集合即可. 【详解】由题意知：集合都包含 且都是的真子集. 所有满足条件的集合 如下：，，， ，，，. 因此，集合 的个数为 7. 故选：C 6．（本题5分）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据补集运算求得，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又,所以. 故选：A 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】代入或1并结合全称命题的否定判断即可； 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 8．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；举反例即可判断B的真假． 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件． 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对B：，但为有理数， 若为无理数，但为有理数，为无理数， 故“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件；B正确， 对C：由“且”可得“”， 但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BD． 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】将问题转化为Venn图问题，然后结合题意确定这三天都开车上班职工人数至多人数，即可得答案. 【详解】解：如图所示：   表示周一上班开车的人数，表示周二上班开车的人数， 表示周三上班开车的人数，表示三天上班开车的人数， 由题意可得表示周三上班开车的人数， 由题意则有， 所以， 从而得， 当时，取最大值. 即三天都开车上班的职工人数至多为人. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除； 若，则，可得或（舍）， 所以，此时. 故答案为： 13．（本题5分）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为______. 【答案】 【分析】先求出，然后利用韦恩图知阴影部分表示的集合为，利用交集运算求解即可. 【详解】由集合，，得， 而，所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为：. 14．（本题5分）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 四、解答题 15．（本题13分）已知集合. (1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）求得集合，分、结合的情况讨论方程的解的情况，可求实数m的取值范围. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素， 所以实数m的值为或； （2）， 因为，所以， 由（1）知时，，不符合， 当时，若，解得，此时，符合， 若，解得，此时方程的根为， 集合，符合， 若，由，则可得， 此时有且，无解， 综上所述：实数m的取值范围为. 16．（本题15分）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次方程根的存在条件即可求解； （2）结合必要不充分条件与集合包含关系的转化即可求解． 【详解】（1）命题为真命题，，解得， 又； （2）是的必要不充分条件，是的真子集， 解得，故实数的取值范围为 17．（本题15分）设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集、并集、补集的概念，以及运算法则，求出结果即可. （2）根据题干，判断两个集合的包含关系，再分类讨论，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】（1）由，得， 又， 所以，. 或，则. （2）因为，所以， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 集合与逻辑（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ） A．任意一个有理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）满足⫋的集合的个数为（　 ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（本题5分）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 10．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 13．（本题5分）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为______. 14．（本题5分）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 四、解答题 15．（本题13分）已知集合. (1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围. 16．（本题15分）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（本题15分）设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $