第13章 三角形中的边角关系，命题与证明 教材母题变式训练 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

第13章 三角形中的边角关系，命题与证明 一.三角形中边的关系 1．如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有 [教材P66练习T1变式](　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．一个三角形的三边长之比是3∶3∶5，则该三角形是 [教材P65材料变式](　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定 3．若实数m，n满足等式＋＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是 [教材P65例1变式](　　) A．6 B．6或 8 C．8或10 D．10 4．一个三角形的三边长分别为2，a－1，5，则a的取值范围是______________. [教材P72习题T7变式1] 5．已知三角形的三条边长分别为3，5和x. [教材P72习题T7变式2] (1)若3是该三角形的最短边长，求x的取值范围； (2)若x为整数，求三角形周长的最大值． 二. 三角形中角的关系 1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶5，则这个三角形一定是 [教材P68练习T1(1)变式](　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 2．在△ABC中，∠A＝40°，3∠B＝∠C，则∠C＝________°. [教材P68练习T1(2)变式] 3．如图，点E，D分别在AB，AC上，∠B＝28°，∠C＝61°，则∠1＋∠2的度数为________. [教材P68练习T3变式] 4．满足条件∠A＝2∠B＝2∠C的△ABC，它最大的角的度数是______，因此这是一个________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”). [教材P71习题T2变式] 5．如图，在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠B＋40°.求△ABC的各内角度数. [教材P72习题T5变式] 3. 三角形中几条重要线段 1．下列说法中，正确的是 [教材P71练习T2变式](　　) A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B．三角形的高就是顶点到对边的垂线 C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线 D．三角形的三条中线交于一点 2．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠CDE的度数为 [教材P72习题T6变式](　　) A．45° B．40° C．30° D．35° (第2题)　　　　 (第3题)　　　　 (第4题) 3．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，D是BC边的中点，连接AD.若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是__________. [教材P72习题T4变式] 4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC的度数为________. [教材P87复习题A组T5变式] 5．如图，在△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3. [教材P71练习T3变式] (1)请画出AE，CD； (2)若AE＝4，求BC的长． 四． 命题 1．请列举一个学过的定义：. [教材P75练习T1变式] 2．下列句子：①负数没有相反数；②是分式；③过点P作直线l的平行线；④两个单项式的和一定是多项式．其中，是命题的有__________个. [教材P74概念变式] 3．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式：________________________________________. [教材P75练习T2变式] 4．已知命题“如果a＝b，那么a4＝b4”. [教材P75练习T3变式] (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例． 五. 定理与证明 1．“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”属于 [教材P76概念变式1](　　) A．定义　　　B．定理　　　C．基本事实　　　D．以上答案都不对 2．下列语句中，是定义的是 [教材P76概念变式2](　　) A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 3．下列说法正确的是 [教材P76概念变式3](　　) A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 4．推理填空：如图，直线BF与CD交于点G，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F.求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°. [教材P77练习T2变式] 证明：∵∠B＝∠CGF(已知)， ∴AB∥CD(__________________________)． ∵∠BGC＝∠F(已知)， ∴CD∥EF(__________________________)． ∴AB∥EF(________________)． ∴∠B＋∠F＝180°(____________________________)． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°(______________)， ∠BGC＝∠F(已知)， ∴∠F＋∠BGD＝180°(__________)． 六. 三角形内角和定理的证明及其推论1，2 1．在直角三角形中，若一个锐角是35°，则该直角三角形的另一个锐角是 [教材P79推论1变式1](　　) A．35° B．45° C．55° D．65° 2．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则该三角形是 [教材P79推论2变式1](　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．如图，△ABC被撕去了一角，测量得∠A＝58°，∠B＝32°，则△ABC是________三角形．(填“锐角” “直角”或“钝角”) [教材P79推论2变式2] (第3题) 　　　　　　 (第4题) 4．如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE⊥AC于点E，则∠B的度数为________. [教材P79推论1变式2] 5．如图，在△ABC中，AE是△ABC的高，AD平分∠BAC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数. [教材P87复习题A组T9变式] 七 . 三角形的外角及其推论3，4 1．下图中，△ABC的外角是 [教材P80定义变式](　　) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 (第1题)　　　　 (第2题)　　　　 (第3题)　　　　 (第4题) 2．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A的度数是 [教材P82练习T1(1)变式1](　　) A．80° B．60° C．160° D．100° 3．如图，已知直线a，b被直线c，d所截，且a∥b，∠1＝70°，∠2＝25°，则∠3的度数为 [教材P82练习T1(1)变式2](　　) A．25° B．35° C．45° D．70° 4．如图，在△ABC中，∠B＝40°，E是△ABC两外角平分线的交点，则∠AEC的度数为________. [教材P87复习题A组T5变式] 5．如图，已知CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，CD交BA的延长线于点D. [教材P82练习T2变式] (1)若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的度数； (2)请说明∠BAC>∠B. 参考答案： 第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 一. 三角形中边的关系 1．A　2.A　3.D　4.8<a<16 5．解：(1)由题意得5－3<x<5＋3，即2<x<8.因为3是最短边长，所以x≥3.所以x的取值范围是3≤x<8. (2)由(1)可知，2<x<8，因为x为整数，所以x的最大值为7.所以三角形周长的最大值为3＋5＋7＝15. 二.三角形中角的关系 1．C　2.105　3.89°　4.90°；直角 5．解：因为∠B＝2∠A，∠C＝∠B＋40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠A＋2∠A＋40°＝180°，解得∠A＝28°，所以∠B＝2∠A＝56°，∠C＝∠B＋40°＝96°. 三.三角形中几条重要线段 1．D　2.D　3.22　4.120° 5．解：(1)如图所示，AE，CD即为所求． (2)因为S△ABC＝AB·CD＝BC·AE，且AB＝6，CD＝3，AE＝4，所以BC×4＝×6×3＝9， 所以BC＝4.5. 四．　命题 1.点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离(答案不唯一) 2．3 3．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 4．解：(1)此命题的条件为a＝b，结论为a4＝b4. (2)此命题的逆命题为“如果a4＝b4，那么a＝b”． (3)此命题的逆命题是假命题． 反例：当a＝2，b＝－2时，24＝(－2)4，而2≠－2(反例不唯一)． 五．　定理与证明 1.C　2.B　3.C 4．同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 六．　三角形内角和定理的证明及其推论1，2 1.C　2.B　3.直角　4.52° 5．解：∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝40°. ∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°－65°＝25°， ∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝40°－25°＝15°， 即∠DAE的度数为15°. 七．　三角形的外角及其推论3，4 1.C　2.A　3.C　4.70° 5．解：(1)∵∠ACE是△ABC的外角， ∴∠ACE＝∠B＋∠BAC. ∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠ACE－∠BAC＝150°－100°＝50°. (2)∵CD是∠ACE的平分线，∴∠ACD＝∠ECD. ∵∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC>∠ACD， ∴∠BAC>∠ECD.∵∠ECD是△BCD的外角， ∴∠ECD>∠B，∴∠BAC>∠B. 学科网（北京）股份有限公司 $