第29章 圆 数学活动（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的四等分、八等分、十六等分尺规作图及四点共圆判定，通过铜镜、车轮等图片导入，连接已学圆的性质，搭建从具体图案到抽象作图原理的学习支架。 其亮点是采用“操作—猜想—验证”探究四点共圆，用反证法培养逻辑推理（数学思维），结合铜镜文化素材发展几何直观（数学眼光），典例真题联系实际增强应用意识（数学语言）。助力学生积累活动经验，教师可高效落实核心素养教学。

数学活动 第二十九章 圆 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握尺规作图技能：能用尺规将圆周四等分，并清晰地说明作图原理；了解八等分、十六等分圆周的基本思路. 探究并归纳判定定理：经历“操作—猜想—验证”的探究过程，归纳出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”这一判定条件，并能用圆内接四边形性质和反证法进行验证. 发展核心素养：通过数学活动，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，积累数学活动经验. 导入新课 观察图片，想一想它们都具有什么共同特点？ 铜镜背面的精美花纹 古代车轮 现代钟表表盘 故宫藻井中的圆形图案 导入新课 这些图片中的美丽图案和精巧设计，都离不开同一个数学图形 ——圆 ——需要将圆等分成若干份. 东汉连弧纹铜镜 西汉草叶纹铜镜 请大家观察铜镜背面的花纹，制作这些花纹首先要对圆作怎样的分割？ 导入新课 我们已经学完了“圆”这一章的全部内容.今天这节数学活动课，我们将把这些知识用起来——做尺规作图、探究数学规律、设计美丽图案. 东汉连弧纹铜镜 西汉草叶纹铜镜 数学活动——圆的综合探究. 新知探究 探究点1 活动1：四等分圆周 如何用尺规将一个圆周三等分、四等分、六等分？今天我们首先研究四等分圆周. 学习任务单 画一个⊙O，尝试用尺规将圆周四等分，使A、B、C、D四个点将⊙O四等分. O 讨论 （2）你能想到哪些方法构造90°的圆心角？ 360°的圆心角四等分 360°÷4=90°. （1）要将圆周四等分，实际上是要将什么角四等分？ 两条直径互相垂直时，相邻半径夹角为90°. ∟ 新知探究 探究点1 活动1：四等分圆周 （3）如何用尺规作两条互相垂直的直径？ ►任意作⊙O的直径AB， ►过圆心O作AB的垂线，交⊙O于C、D两点， ►则A、B、C、D四个点将⊙O四等分. （4）为什么这样作图就能实现四等分？ O A B C D ∵AB是直径，CD⊥AB于O且CD也是直径， ∴∠AOC=90°，∠BOC=90° ∴四个圆心角均为90° ∴对应的四条弧相等. 如何用尺规将一个圆周三等分、四等分、六等分？今天我们首先研究四等分圆周. 学习任务单 画一个⊙O，尝试用尺规将圆周四等分，使A、B、C、D四个点将⊙O四等分. 讨论 新知探究 探究点1 活动1：四等分圆周 如何用尺规将一个圆周如何实现八等分？十六等分？ 在四等分基础上，再作各圆心角的角平分线，或作相邻等分点连线的垂直平分线，逐步等分圆心角即可. O A B C D 讨论 在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等，观察一下你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧！ 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？ A B C D A B C D A B C D 图1 图2 图3 活动 ①:操作与猜想 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 A B C D A B C D A B C D B C D A 学习任务单 尝试过四边形的四个顶点作圆 图1（平行四边形）、 图2（矩形）、 图3（菱形）、 图4(正方形). 利用三角形外接圆的方法，先过三点作圆，看第四点是否在圆上 过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？ 活动 ①:操作与猜想 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 分组操作：用量角器测量每个四边形相对两个内角的度数，并记录. 结果： 平行四边形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊平行四边形除外）. 矩形：能作圆；∠A+∠C=180°. 菱形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊菱形——正方形除外）. 正方形：能作圆；∠A+∠C=180°. 过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？ 活动 ①:操作与猜想 A B C D A B C D A B C D B C D A 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 若四边形ABCD内接于⊙O，由圆内接四边形性质可知：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 活动 ②：验证与证明 猜想：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为180°（对角互补）. B C D A O 情形一（能作圆时） ： 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°. 活动 ②：验证与证明 O A B C D O A B C D E F 情形二：不能作圆时 假设∠A+∠D=180°，但A、B、C、D不共圆. 过A、B、C三点作⊙O（因为A、B、C不共线），点D有两种位置关系： 问题分析 ►点D在⊙O外部. ►点D在⊙O内部. 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 问题分析 情况1：点D在⊙O内部. O A B C D D′ 连接AD并延长交⊙O于点D'，连接BD’和CD'. 又∵点D'在⊙O上， ∴∠BAC+∠BDC＞∠BAC+∠BD′C， 有∠ADB＞∠AD'B， ∠ADC＞∠AD′C ， ∴∠ADB+∠ADC＞∠AD'B+∠AD’C， 即 ∠BDC＞∠BD′C， 这与假设∠A+∠BDC=180°产生矛盾， ∴ A、B、C、D不共圆时， ∠BDC+∠BAD≠180° 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°. 活动 ②：验证与证明 假设∠A+∠BDC=180°，但A、B、C、D不共圆. ∴∠BD′C+∠BAC=180° ∴∠BAC+∠BDC＞180° 反证法 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 问题分析 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°. 活动 ②：验证与证明 假设∠A+∠BDC=180°，但A、B、C、D不共圆. 情况2：点D在⊙O外部. O A B C D E F D' 连接AD交⊙O与点D'，连接BD’和CD'. 又因为点D′在⊙O上， ∴∠BAC+∠BD′C＞∠BDC + ∠BAC. 有∠AD'B＞∠ADB，∠AD′C ＞∠ADC. ∠AD'B+∠AD′C ＞∠ADB+ ∠ADC. ∴∠BD′C＞∠BDC. ∴∠BAC+∠BD′C=180°. ∴∠BDC + ∠BAC＜180° 这与假设∠A+∠BDC=180°产生矛盾， ∴ A、B、C、D不共圆时， ∠BDC+∠BAD≠180° 反证法 几何语言： 几何语言： 四点共圆 新知探究 探究点2 活动2探究四点共圆的条件 归一归 一、判定： 对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆. 四点共圆的判定与性质 A B C D 四边形的四个顶点共圆 四边形对角互补 （即相对两个内角之和为180°） ⇔ 二、性质： 圆内接四边形对角互补 ∵∠A+∠BDC=180° ∴ A、B、C、D在同一个圆上 ∵A、B、C、D在同一个圆上 ∴∠A+∠BDC=180° 典例分析 例1.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 解：(1)方案1：过点O作互相垂直的直线EF⊥CD，⊙O被直线EF，CD分成面积相等的四个部分． O E F C D ∟ O A B C D （2）方案2 如图所示，四条向内凸的曲线，分割出 4 片全等花瓣，面积相等 17 典例分析 例2.如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取 相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等）， 四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形， 矩形面积的最大值为_____； 图1 (1)证明：由题意，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形. 典例分析 例2.如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取 相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） 图1 （2）解： ∵是的两条直径， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 典例分析 例2.如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取 相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 图1 （3）解：∵以线段为对角线构成矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形面积的最大值为. 新知巩固 10. 如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门PQ，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ (仅从射门角度大小考虑) 解:让乙射门好，∠PBQ>∠PAQ， ∴乙的射门角度较大. 课本P145. 复习题 29 拓展提升 1.阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2) …… (1)上述证明过程中的依据1为 ， 依据2为 ； (2)将上述证明过程补充完整． 在同圆中相等的弧所对的弦相等 圆内接四边形的对角互补 拓展提升 1.阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D， ． ， （依据1），． ∵四边形内接于， ．（依据2) …… (2)将上述证明过程补充完整． (2)证明： 如图2，连接， 于点D，． ， ， ， ，． ∵四边形内接于， ． ， ， 在和中， ， . 真题感知 1.（2026·揭阳校测）如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数． 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∠C=100°， ∴=180°－100°=80°． ∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴=2=160°． 真题感知 2．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 真题感知 2．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． ∟ ②解：∵, , ∴, ∴点，，，将四等分． 相等的圆心角所对的弧相等 真题感知 2．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． (2)圆周八等分如图所示： 相等的圆心角所对的弧相等 ∟ 课堂小结 *一种作图方法： 用尺规四等分圆周 ——作两条互相垂直的直径；延伸可得八等分、十六等分. *一个判定条件： 对角互补的四边形的四个顶点共圆 （四点共圆 ⇌ 对角互补）. 知识与技能 课堂小结 ►从特殊到一般： 通过具体四边形案例的探究，归纳出四点共圆的一般判定条件. ►转化思想： 活动2中将“四点共圆问题”转化为“圆内接四边形的对角互补问题”. ►反证法思想： 在验证“不能作圆”的情形时，运用反证法的逻辑框架. 思想与方法 课堂小结 ＊活动1：四等分圆周的关键是圆心角90°，作图时垂线的作法和准确性直接影响等分效果. ＊活动2：判定四点共圆时，必须满足“对角互补”即∠A+∠C=180°，不是“邻角互补”. 易错点提醒 课后练习 9.如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A，B，C三点，求这条圆弧所在圆的半径长. 课本P145. 复习题 29 O 解：如图，连结AB、BC， 作线段AB、BC的垂直平分线交于O点，O点为圆弧所在圆圆心， 连结OA,由勾股定理得：OA= 课后练习 14. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱(单位：mm).电镀时，如果每平方米用锌 0.11 kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少多少千克(结果保留小数点后两位)? 课本P145. 复习题 29 答:需要用锌. 解：由题意得：圆锥母线长 圆锥侧面积： 2 圆柱侧面积： 单个浮筒表面积 每个浮筒用锌： 100 个浮筒用锌： 课后练习 13.如图，在△ABC中， ∠ A=60°，以BC为直径的⊙O交△ ABC的边AB，AC于D，E两点.判断△ ODE的形状，并说明理由. 课本P146. 复习题 29 解： △ ODE是等边三角形 ，理由如下： 连结DC，∵ BC为直径 ∴ =90°即CD⊥AB（直径所对的圆周角为直角） ∴ ∴（一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半） 是等边三角形（有一个角是的等腰三角形为等边三角形）。 课后练习 14.如图， △ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，过点C作CD⊥AB，垂足为D.设AD=a，BD=b. (1)分别用a，b表示OC，CD. (2)OC和CD的长之间有什么关系?由此你能得到怎样的关于a，b的不等式? 课本P146. 复习题 29 (1)解：∵AB=AD+BD=a+b ∴OC=OA=AB=(a+b) ∴OD=OB－DB=(a+b)－b=(a－b) ∵CD⊥AB ∴ CD= (2)解： ∵ CD⊥AB ∴ OC＞CD ∴(a+b)＞ 即 a+b＞2 谢谢聆听 $