第29章 圆【章末复习】（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了“圆”的核心知识，涵盖圆的概念、性质及计算，通过知识框架图和思维导图串联圆的定义、垂径定理、圆周角定理等内容，构建从基础概念到性质应用再到弧长、扇形面积计算的完整知识网络。 其亮点在于分层设计练习与易错点提示，如圆内接四边形性质推导培养推理能力，扇形花坛计算强化几何直观与符号表达，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十九章 圆 章末复习 2026年8月3日 第二十九章 圆 全章同步练习题汇总 29.1.1 圆的有关概念 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握圆的基础定义及相关核心概念，是圆整章知识的入门基础。在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。核心相关概念：连接圆心与圆上任意一点的线段是半径；经过圆心且两端在圆上的线段是直径，直径是圆中最长的弦；连接圆上任意两点的线段叫做弦；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，分为优弧、劣弧和半圆。易互余结合圆周角定理解题 29.2.3 第2课时 圆内接四边形 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握圆内接四边形的定义与核心性质，是圆中角度计算、几何推理的重要考点。四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形核心性质：对角互补，即两组对角之和均为180°；任意一个外角等于它的内对角。本课时性质依托圆周角定理推导得出，同弧所对圆周角相等、对角所对弧拼接为整圆，弧度和为360°，对应角度和为180°。常见易错点：普通四边形随意套用对角互补结论；混淆圆内接四边形外角与内对角关系；多角计算时找错对应互补角，导致角度求解错误。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 圆内接四边形的四个顶点位置特点是（） A. 都在圆内 B. 都在圆上 C. 都在圆外 D. 任意位置均可 2. 圆内接四边形的核心性质是（） A. 对边平行 B. 邻角互补 C. 对角互补 D. 对边相等 3. 若圆内接四边形一个内角为70°，则其对角的度数为（） A. 20° B. 70° C. 110° D. 130° 4. 圆内接四边形的外角与下列哪个角相等（） A. 相邻内角 B. 内对角 C. 任意对角 D. 邻外角 5. 下列四边形中，一定存在外接圆的是（） A. 任意四边形 B. 圆内接四边形 C. 平行四边形 D. 梯形 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 四个顶点都在同一圆上的四边形叫做________四边形。 2. 圆内接四边形的________互补，即任意一组对角的和为________°。 3. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的________。 4. 已知圆内接四边形ABCD中，∠A=85°，则∠C=________°。 5. 圆内接四边形性质的理论依据是________定理。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）根据圆内接四边形基础概念作答： （1）简述圆内接四边形的定义； （2）完整写出圆内接四边形的两条核心性质； （3）说明该图形性质的推导依据。 2.（12分）基础角度计算：已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 （1）若∠A=60°，求对角∠C的度数； （2）若∠B=95°，求∠D的度数； （3）简述圆内接四边形角度计算的核心思路。 3.（12分）综合性质应用：圆内接四边形ABCD，延长AB至点E。 （1）求证：∠CBE=∠D； （2）若∠CBE=72°，直接求出∠D的度数； （3）总结圆内接四边形角度计算与证明的常见题型规律。 参考答案精简版 选择：1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 填空：1.圆内接；2.对角、180；3.内对角；4.95；5.圆周角 解答： 1.(1)四个顶点都在同一个圆上的四边形；(2)对角互补，外角等于内对角；(3)依托圆周角定理，整圆对应圆周角和为360°，对角所对弧和为整圆，故角度和为180° 2.(1)∠C=120°；(2)∠D=85°；(3)利用对角互补180°，已知一角可求其对角 3.(1)∠ABC+∠CBE=180°，∠ABC+∠D=180°，故∠CBE=∠D；(2)∠D=72°；(3)内角求对角用互补，外角求内角用内对角相等，结合圆周角定理综合解题 29.3 第1课时 弧长和扇形面积 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握弧长公式、扇形面积公式的推导与应用，是圆的计算类核心考点。在半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长公式：$$l=\frac{n\pi R}{180}$$；扇形面积有两个常用公式：$$S=\frac{n\pi R^2}{360}$$、$$S=\frac{1}{2}lR$$。公式本质是利用圆心角占周角的比例，截取圆的周长与面积得到对应弧长和扇形面积。解题核心：明确已知量（半径、圆心角、弧长），灵活选用公式，实现三者互求。常见易错点：公式分母混淆（弧长180、扇形面积360）；圆心角单位误用弧度；计算时漏带平方、化简出错；不会灵活选用两个扇形面积公式。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 半径为R，圆心角为n°的弧长公式是（） A.$$l=\frac{n\pi R}{180}$$ B.$$l=\frac{n\pi R}{360}$$ C.$$l=\frac{1}{2}\pi R$$ D.$$l=\pi R^2$$ 2. 扇形面积公式中，利用弧长快速计算的公式是（） A.$$S=\pi R^2$$ B.$$S=\frac{n\pi R^2}{360}$$C.$$S=\frac{1}{2}lR$$ D.$$S=\frac{n\pi R}{180}$$ 3. 已知圆半径为6，圆心角60°，则该圆心角对应弧长为（） A.2π B.4π C.6π D.12π 4. 扇形半径不变，圆心角扩大2倍，则扇形面积（） A.缩小2倍 B.扩大2倍 C.不变 D.扩大4倍 5. 计算扇形面积不需要的条件是（） A.半径 B.圆心角 C.弧长 D.圆的周长 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 半径为R、圆心角n°的弧长公式：________。 2. 已知扇形半径和弧长，可利用公式________快速求扇形面积。 3. 圆的半径为3，圆心角120°的扇形面积为________。 4. 弧长和扇形面积的大小由________和________两个量决定。 5. 圆心角360°的扇形面积等于________，弧长等于________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）基础公式应用：已知⊙O半径R=9，圆心角n=60°。 （1）代入公式求该圆心角对应的弧长； （2）利用圆心角、半径求对应扇形面积； （3）说明弧长与扇形面积公式的推导原理。 2.（12分）公式灵活换算：已知一扇形半径为8，弧长l=4\pi。 （1）利用弧长、半径求扇形面积； （2）反求该扇形的圆心角度数； （3）简述两种扇形面积公式的适用场景。 3.（12分）综合实际应用：一扇形花坛，半径10m，圆心角72°。 （1）求花坛边缘弧长； （2）求花坛的占地面积； （3）总结弧长、扇形面积计算题的通用解题步骤。 参考答案精简版 选择：1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 填空：1.$$l=\frac{n\pi R}{180}$$；2.$$S=\frac{1}{2}lR$$；3.$$3\pi$$；4.半径、圆心角；5.圆的面积、圆的周长 解答： 1.(1)$$3\pi$$；(2)$$27\pi$$；(3)依据圆心角占周角的比例，截取圆周长和圆面积推导得出 2.(1)$$16\pi$$；(2)90°；(3)知圆心角、半径用角度公式，知弧长、半径用乘积公式 3.(1)$$4\pi$$ m；(2)$$20\pi$$ m²；(3)确定已知量、选取对应公式、代入计算、化简结果 29.3 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握圆锥的侧面展开图特征、侧面积与全面积公式，是圆章节立体图形计算的核心考点。圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长。设圆锥底面半径为r，母线长为l，核心公式：圆锥侧面积$$S_{侧}=\pi rl$$；圆锥底面积$$S_{底}=\pi r^2$$；圆锥全面积$$S_{全}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$$。圆锥高h、底面半径r、母线l满足勾股定理：$$l^2=r^2+h^2$$。常见易错点：混淆母线与圆锥高；误用底面半径代替母线计算侧面积；侧面积、全面积概念混淆，计算全面积遗漏底面圆面积。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 圆锥的侧面展开图是（） A. 圆形 B. 矩形 C. 扇形 D. 三角形 2. 圆锥侧面展开扇形的半径对应圆锥的（） A. 底面半径 B. 母线长 C. 高 D. 底面周长 3. 已知圆锥底面半径3，母线长5，则圆锥侧面积为（） A. 15π B. 30π C. 9π D. 24π 4. 计算圆锥全面积需要结合的面积是（） A. 仅侧面积 B. 侧面积+底面积 C. 仅底面积 D. 侧面积+顶面面积 5. 圆锥的高、底面半径、母线满足的关系是（） A. 等差关系 B. 勾股定理 C. 倍数关系 D. 互补关系 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 圆锥侧面展开图是________，其弧长等于圆锥的________。 2. 若圆锥底面半径为r，母线长为l，则侧面积公式为________。 3. 圆锥全面积等于________与________的和。 4. 圆锥底面半径4，母线长6，则圆锥全面积为________。 5. 圆锥的底面半径、高、母线长满足关系式________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）基础概念与公式应用：已知圆锥底面半径r=4cm，母线长l=6cm。 （1）简述圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系； （2）计算圆锥的侧面积； （3）计算圆锥的全面积。 2.（12分）公式换算与求值：已知圆锥底面半径r=3，高h=4。 （1）求圆锥的母线长； （2）求圆锥的侧面积； （3）说明本题求解母线长的解题依据。 3.（12分）综合实际应用：一个圆锥形灯罩，底面周长为10\pi，母线长为6。 （1）求灯罩的底面半径； （2）求灯罩的侧面积（灯罩无底面）； （3）总结圆锥侧面积、全面积计算题的通用解题步骤。 参考答案精简版 选择：1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 填空：1.扇形、底面周长；2.$$S_{侧}=\pi rl$$；3.侧面积、底面积；4.$$40\pi$$；5.$$l^2=r^2+h^2$$ 解答： 1.(1)侧面展开为扇形，扇形半径为母线长，弧长为底面周长；(2)$$24\pi\ \mathrm{cm^2}$$；(3)$$40\pi\ \mathrm{cm^2}$$ 2.(1)母线长l=5；(2)$$15\pi$$；(3)依据圆锥底面半径、高、母线构成直角三角形，利用勾股定理求解 3.(1)r=5；(2)$$30\pi$$；(3)先求底面半径、母线等已知量，区分侧面积或全面积，代入对应公式计算化简 （全章汇总：包含29.1圆的基础概念、三点定圆，29.2垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接四边形，29.3弧长扇形面积、圆锥面积全部课时练习题，题型统一、重难点全覆盖，适配九年级全章复习、课后作业、单元训练） 返回 圆的有关概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的有关性质 圆的 对称性 圆的轴对称性 圆的旋转对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 圆的有关计算 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 圆 3 知识点1 圆的有关概念 圆的定义 1. 描述性定义： 如图，在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆.其固定的端点 O 叫作圆心，线段 OP 叫作半径. 2.集合性定义： 如图，圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合. 圆的表示方法 圆的表示方法： 以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆 O”. 知识点1 圆的有关概念 点与圆的位置关系 知识点1 圆的有关概念 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 图示 对应关系 点P在圆外⇔d>r 点P在圆上⇔d=r 点P在圆内⇔d<r 知识点1 圆的有关概念 名称 概念 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦. (1) 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径; (2) 直径长是半径长的 2 倍. 直径 经过圆心的弦叫作直径. 圆弧 (1) 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.以A，B为端点的弧记作，读作 “圆弧AB” 或 “弧AB”. (2) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. (3) 大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧. (1) 弧包括优弧、劣弧和半圆; (2) 半圆既不是劣弧，也不是优弧. 知识点1 圆的有关概念 名称 概念 注意 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆. 同圆或等圆的半径相等，半径相等的两个圆是等圆. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. (1) 等弧只能出现在同圆或等圆中; (2) 等弧是全等图形，而不仅仅是弧的长度相等. 知识点1 圆的有关概念 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 注意：根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形. 知识点1 圆的有关概念 三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 知识点1 圆的有关概念 三角形外接圆的作法 ① 定圆心：作三角形任意两边的垂直平分线，其交点为圆心. 分别作  的垂直平分线  交于点 ，则点  即为圆心. ② 定半径：以点  为圆心，以 （或 ）为半径作圆，则 ⊙O 即为   的外接圆. 反证法 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法. 注意： (1)当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法； (2)当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立. 知识点1 圆的有关概念 知识点2 垂径定理 圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆有无数条对称轴. 直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径”. O 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 知识点2 垂径定理 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言 知识点2 垂径定理 圆的旋转对称性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 知识点3 圆心角、圆周角 知识点3 圆心角、圆周角 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. 圆周角 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 知识点3 圆心角、圆周角 弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 知识点3 圆心角、圆周角 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点4 圆内接多边形 圆内接多边形的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 知识点5 弧长和扇形面积 弧长公式：l = 扇形面积公式：S扇形 = = lR. 知识点6 圆锥 名称 概念 图示相关说明 圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 圆锥的母线l、高h、底面圆半径r构成直角三角形，满足勾股定理：r2+h2=l2. 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线；圆锥的母线有无数条，且所有母线长度都相等. 圆锥的高 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高. 知识点6 圆锥 圆锥的侧面积公式： S侧= S扇形=rl. 圆锥的全面积公式： S全= S侧+ S底 =rl+ =r(l+r). 1. 返回 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为(　　) A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ B 考点1　圆的有关概念 考试考法 24 返回 2. 如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线交⊙O于点C，以OB，BC为邻边作矩形OBCD，连接BD.若BD＝10，BC＝8，则AB的长为(　　) A．8 B．6 C．4 D．1 C 考试考法 返回 3. 已知A点坐标为(－1，0)，B点坐标为(4，5)，若过A，B，C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标：___________________．(写出一个即可) (5，6)(答案不唯一) 考试考法 返回 4. 已知点P到圆上的最远距离是5 cm，最近距离是1 cm，则此圆的半径是________cm. 2或3 考试考法 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若CD＝8，OD＝5，则BE的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 返回 5. B 考点2　垂径定理 考试考法 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦AB的长为8 cm，液体的深度CD＝2 cm，则球的半径为________cm. 返回 6. 5 考试考法 返回 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，弧AC所对的圆心角度数为________． 90° 考试考法 返回 8. [石家庄期中]如图，∠P的顶点在量角器的半圆上，角的两边分别经过量角器的20°，50°刻度，则∠P＝(　　) A．60° B．50° C．30° D．15° D 考点3　圆心角和圆周角 考试考法 返回 9. [常州中考]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BC，BD.若∠BCD＝20°，则∠ABD＝________°. 70 考试考法 32 返回 10. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝________°. 15 考试考法 33 返回 11. 已知：如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PC＝PD， .求证：弦AB是⊙O的直径． 证明：如图，连接AC，AD，BC，BD， ∵ 又∵PC＝PD，BP＝BP，∴△BCP≌△BDP(SSS)， ∴∠CBP＝∠DBP，即∠CBA＝∠DBA. 又∵BC＝BD，BA＝BA，∴△ABC≌△ABD(SAS)， 考试考法 34 返回 ∴∠ACB＝∠ADB. 又∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴弦AB是⊙O的直径． 考试考法 返回 12. 【新趋势 跨学科综合】[湖南中考]如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC＝40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC＝15°)，东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(　　) C 考点4　弧长和扇形面积 考试考法 36 13. [山西中考]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为(　　) A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8 D 返回 考试考法 14. [德阳中考]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是________． π 返回 考试考法 15. 如图，格点纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径画了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥． (1)∠AOB＝________°； (2)该圆锥的侧面积为________． 150 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS S＝ l＝ ＝，∴BC＝BD. ＝ A.πR千米 B.πR千米 C.πR千米 D.πR千米 π $