第29章　圆小结（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的概念、性质、定理及应用，涵盖圆的定义、弦与弧、过三点的圆、垂径定理、圆心角关系、弧长与扇形面积、圆锥侧面积等模块，通过概念辨析、定理推导和公式关联构建完整知识网络。 其亮点在于采用“探究-归纳-应用”模式，如过三点作圆的探究培养推理意识，扇形面积公式推导提升运算能力，垂径定理常用方法（r²=d²+(a/2)²）强化模型意识。分层设计从基础概念到综合计算，助力学生巩固知识，教师可精准开展复习教学。

小结 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 知识模块一　圆的有关概念 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆. O A r 圆心 半径 其固定的端点 О 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 圆的述性定义 2 以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆 O”. 圆的表示方法： O A r 圆心 半径 注意：根据圆的定义，“圆” 指的是 “圆周”，而不是 “圆面”； 封闭曲线 圆心为 О、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 О 的距离等于定长 r 的点的集合 O A r 集合性定义 圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点” 圆面 圆周 圆周上的点 注意： O A C B 弦: 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 注意 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． C O A B 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 　，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． AB 弧: 小于半圆的弧(如图中的 )叫做劣弧 AC 大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的　　 )叫做优弧 ABC C O A B 劣弧与优弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧. 等圆: · C O A 能够重合的两个圆叫做等圆. · C O1 A 容易看出，等圆是两个半径相等的圆. 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 探究1：经过一个点A能不能作圆?这样的圆能作出多少个? 结论1：过一点可以作无数个圆。 O O O O O A 知识模块二　过三点的圆 探究2：使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ O A B O A B O A B 结论2：过两点可以作无数个圆， 圆心在线段AB的垂直平分线上， 半径是圆心和A、B这两点中一点的连线段。 探究3：使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 如图，l1与l2相交。 A B C l1 l2 设l1与l2的交点为O——即圆心； O ∵OA=OB=OC， ∴连接OA(或OB、OC)——即半径。 ∴以点O为圆心，OA为半径的圆经过A、B、C三点 又∵l1与l2相交，只有一个交点， ∴经过A、B、C三点的圆有且只有1个。 结论3：不在同一条直线上的三点确定一个圆， 圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点， 半径是圆心和A、B、C这三点中一点的连线段。 A B C l1 l2 O 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 A B C l1 l2 O A B C 1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： ●O 外接圆　 内接三角形　 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： 3.反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； ③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立． 垂径定理 · O A B C D E ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 知识模块三　垂直于弦的直径 不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直. · O A B C D M · O A A' C D “不是直径”这个条件能去掉吗？ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 垂径定理的常用方法 在圆中，解决有关弦的问题时，只需从圆心作一条与弦垂直的线段， 如图： · O A B r d a (r：圆的半径 ，d：圆心到弦的距离 ，a：弦长) =+ 知识模块四　圆心角 1.圆的对称中心是什么？ 圆心就是它的对称中心 . O A B 180° 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. · O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为. 弦 1. 优弧所对的圆心角大于平角， 2. 劣弧所对的圆心角小于平角， 3. 半圆所对的圆心角等于平角. A B O C D 定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 符号语言： ∠AOB = ∠A′OB′ = AB A′B′ AB = A′B′ 重要结论1： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 符号语言： AB A′B′ = ∠AOB = ∠A′OB′ AB = A′B′ 重要结论2： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 符号语言： AB = A′B′ ∠AOB = ∠A′OB′ AOB A′OB′ = AB A′B′ = 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在同圆或等圆中 题设 结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 知识模块五　弧长和扇形面积 n° A B O 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 . 弧长公式： l 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 扇形面积计算公式及相关的计算 问题一 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？ 360° 所对的扇形的面积： 1° 所对的扇形的面积： πR2 360 πR2 问题二 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？ 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: . ° S扇形= 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系. R l S扇形= S扇形=lR 即S扇形lR 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: n° l O S扇形= S扇形=lR O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 弓形的面积公式: S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 知识模块六　圆锥的侧面积和全面积 圆锥的相关概念 把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段 (如线段 SA，SB 等) 叫做圆锥的母线． 母线有____条，都_____. 无数 相等 l 如果用 r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间的等量关系是：____________． r2 + h2 = l2 r h l 圆锥与侧面展开图之间的关系： 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形. l r o 扇形 圆锥侧面展开图的扇形的半径=母线的长l l r o 扇形 圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面周长2πr 圆锥的侧面积 圆锥的侧面积=扇形的面积 l r o 扇形 扇形的弧长 半径 底面周长2πr 母线的长l S侧= S扇形 S扇形=lR =rl S侧=rl 圆锥的全面积 =圆锥的侧面积+圆锥的底面积 l r o 扇形 圆锥的全面积 S全= S侧+ S底 =πrl+πr2 =πr(l+r) l r o 扇形 n° 扇形的圆心角n°与圆锥底面半径r的关系 圆心角n°所对的弧长 =底面圆的周长 作业布置 )学生用书对应课时练习． $