辽宁省2026-2027学年高三上学期数学9月期初数学模拟卷

**基本信息** 高三数学期初模拟卷，以运动时长统计、脐橙品质分析等现实情境为载体，融合函数、数列、概率统计等核心模块，梯度设计贴合高考复习需求，注重数学眼光与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|集合、逻辑、不等式、统计|基础概念辨析，如第4题考查数据特征| |多选题|3题/18分|正态分布、等差数列、函数极值|情境应用，如第9题结合脐橙品质分析| |填空题|3题/15分|概率分布、切线、新定义数列|创新情境，如第14题“调和数列”应用| |解答题|5题/77分|数列证明、函数与导数、概率统计|综合能力考查，如第19题导数零点问题|

2026-2027学年高三数学9月期初模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知p：，q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也必要条件 D．无法判断 3．（本题5分）分式不等式的解为（　　） A． B． C． D． 4．（本题5分）某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长（分钟） 60 150 30 60 10 90 120 则（    ） A．运动时长的第30百分位数是30 B．运动时长的平均数为60 C．运动时长的极差为120 D．运动时长的众数为60 5．（本题5分）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数在上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知为数列的前n项和，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥、酸甜适度、汁多爽口、余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布，当时为优等果，每公斤可获利20元；当时为一级果，每公斤可获利10元；当时为二级果，每公斤可获利5元；其余果实为次品果，每公斤可获利1元．某果农收获了1万公斤奉节脐橙，从统计的角度分析，下列说法中正确的是（    ）（附：若，则，） A．这1万公斤奉节脐橙的平均果实横径约为80mm B．这1万公斤奉节脐橙中优等果率约为15.865% C．这1万公斤奉节脐橙中次品果约有22.75公斤 D．若将这1万公斤奉节脐橙全部卖出，则果农大约可以获利107022.5元 10．（本题6分）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中最小项为 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．当时，有极小值 B．无论取何值，总存在单调递减区间 C．当时， D．若，都有，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 13．（本题5分）已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数______． 14．（本题5分）若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_____． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 16．（本题15分）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 17．（本题15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，函数对任意恒成立，求的取值范围． 18．（本题17分）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 19．（本题17分）已知函数，. （Ⅰ）当时，求的最小值； （Ⅱ）若有两个零点，求参数的取值范围 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高三数学9月期初模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D A B A A ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】先确定集合中元素，再由补集定义得结论． 【详解】由已知，所以， 故选：D． 2．B 【分析】首先分别解出命题和命题的方程，然后根据其真子集关系即可判断出是的必要不充分条件. 【详解】解得或，解得，则命题所表示的集合真包含命题所表示的集合，故是的必要不充分条件， 故选：B. 3．C 【分析】由分式不等式移项通分得到即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 即， 解得：， 故选：C 4．D 【分析】根据这组数据数字特征即可结合选项逐一求解. 【详解】数据排序为：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位数为60，A错； 平均数为，B错； 极差为，C错； 众数为60，D对． 故选：D． 5．A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 6．B 【分析】根据题意将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】由题可知， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，即最大值， 因为，所以. 故选：B 7．A 【分析】先确定是以2为首项，2为公比的等比数列，然后求出通项公式，进而可求得. 【详解】由，可知，，， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 故， 所以. 故选：A. 8．A 【分析】构造函数，判断函数的单调性，计算特殊值，解得不等式值. 【详解】构造函数 因为单调递减. 故答案选A 【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键. 9．ABD 【分析】由正态分布的相关知识及题中的数据可得答案. 【详解】对于A，因为，所以的均值为80mm，故A正确； 对于B，因为优果率约为，所以B正确； 对于C，因为次品率约为，所以这1万公斤奉节脐橙中次品果约有公斤，故C错误； 对于D，，可知这1万公斤奉节脐橙约有公斤一级果，再由选项B、C，这1万公斤奉节脐橙约有公斤优等果、约有公斤次品果、约有公斤二级果，故这1万公斤奉节脐橙全部卖出，则果农大约可以获利元，所以D正确． 故选：ABD 10．ACD 【分析】通过判断，，的正负，使用判断公差的正负，并分析，的正负情况，以的取值分类讨论的最小项. 【详解】因为，所以，，， ，，，选项正确； ，，是前项和的最大值，而非，选项错误； 因为，，所以使得成立的最小自然数，选项正确； 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，所以， 当时，，，，所以数列中最小项为，选项正确. 故选： 11．ACD 【分析】求导可得，根据极小值定义可判断A；当时，可判断B；当时，利用导数求出函数的最大值可判断C；由题可得，，对分类讨论，利用导数求出最值可判断D. 【详解】， 对于A：当时，， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，故A正确； 对于B：当时，，在上单调递增，故B错误； 对于C：当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故C正确； 对于D：当时，在上恒有， 所以在上单调递减，则，解得， 所以的范围是， 当时，令，解得或， 当时，即，在上， 此时，在此区间上单调递增，不符合题意，舍去， 当时，即， 在上有，此时单调递增，不符合题意，舍去， 综上可得的范围是，故D正确. 故选：ACD. 12．/0.1 【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1， 即， 则， 则， ∴， 故答案为：. 13．5 【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同，设公共点，则，列方程组可求出的值 【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同. ∵， ∴， ∴，即，即 ∵，∴， 故答案为： 14．100 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 15．(1) 因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域； （2）根据二次函数函数性质可得的最大值，可得，结合存在性问题分析求解即可． 【详解】（1）若，方程有解，即，， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 可知在上为减函数，则， 可得，即，所以的取值范围为. （2）若对任意的，总存在，使得， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 且，由对称性可知函数有最大值为； 可得在有解，即，即在有解， 可得或，解得或， 可得，所以的取值范围为. 17．(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）结合函数导数然后对参数分类讨论即可； （2）将函数恒成立问题转化为最值问题，然后将的问题转化为求解的问题，结合导数求解； 【详解】（1）函数的定义域为， 解得（舍去），． 当时，在上 恒成立，所以函数单调递增： 当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增． 综上，当时，函数单调递增： 当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增． （2）由（1）知，当时，在上，函数单调递减； 在上，函数单调递增，． 由题意知，， 因为， 所以恒成立 令则恒成立， 则在单调递减， 因为，， 所以． 18．(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 19．（Ⅰ）0； （Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，再求导，判别导函数的正负可得原函数的单调性，可求得最小值； （Ⅱ）对a进行分类讨论，分别利用其导函数的应用，判别其单调性，求其最值，可得参数a的范围. 【详解】（Ⅰ）,定义域 当时, ,由于 在恒成立 故 在单调递减, 在单调递增. 故 （Ⅱ） 当时, 在单调递减, 在单调递增,只有一个零点 当时, ,故 在恒成立, 故在单调递减, 在单调递增, 故当时, 没有零点. 当时,令 ,得, 在单调递减, 在单调递增. , 在有两个零点， 在单调递减,在 单调递增,在单调递减,在单调递增， ,又 此时有两个零点， 综上有两个零点,则 【点睛】本题考查了导函数的应用，掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键，属于难题. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $