辽宁省重点高中2026-2027学年高三上学期9月数学模拟练习（一）

**基本信息** 开学阶段高三数学模拟卷，聚焦数列、导数、统计概率核心模块，通过篮球投篮统计等现实情境设计，融合数学抽象与逻辑推理，适配一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差数列公差计算、等比数列性质、导数极值点|创新定义“零点相邻函数”，考查函数零点逻辑推理| |填空题|3题15分|不等式性质、函数值域、零点存在性|结合函数图像与方程思想，强化数学抽象| |解答题|5题77分|数列通项与求和、导数单调性与极值证明、概率递推模型|以篮球投篮为情境构建概率递推式，体现数学建模；导数题分层设计单调性讨论与极值点证明，深化逻辑推理|

绝密★启用前 辽宁省重点高中2026-2027学年上学期9月模拟练习（一） 高三数学 考试范围：【（人教B版）必修一、选择性必修二、三】集合、常用逻辑用语、不等式 数列、导数、统计概率 命题人：云途登峰数学研究中心 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 1. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（    ） A．4052 B．2027 C．2026 D．1013 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．有两点A，B分别在曲线与曲线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，不等式恒成立，则的最大值为（） A．1 B．2 C． D． 8．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 10．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 11．对于维向量，，，，二者夹角的余弦值，现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D．这组点的线性相关性弱 第II卷（非选择题） 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数满足，，则___________. 13．函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 14．已知函数，若在区间上有零点，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，，证明：． 18．已知函数，． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，存在，使得，证明：； (3)当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 19．小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． (1)若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． (2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） christophe1997 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） christophe1997 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽宁省重点高中2026-2027学年上学期9月模拟练习（一） 高三数学 考试范围：【（人教B版）必修一、选择性必修二、三】集合、常用逻辑用语、不等式 数列、导数、统计概率 命题人：云途登峰数学研究中心 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 1. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 2．已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 3．已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 4．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（    ） A．4052 B．2027 C．2026 D．1013 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到等比数列两项的乘积，结合等比数列下标和性质化简对数运算. 【详解】由题意得， 因为是函数的两个极值点，所以， 因为是各项均为正数的等比数列，所以， 所以 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明不等式和，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而，故. 6．有两点A，B分别在曲线与曲线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用互为反函数的图象关于直线对称的性质，将两点距离最小值转化为单条曲线上点到直线的最短距离的两倍，再计算距离平方的最小值. 【详解】函数与互为反函数，二者图象关于直线对称， 因此的最小值等于曲线上点到直线最短距离的2倍，即，故. 对求导得，直线的斜率为，令，解得，代入得，即切点为. 点到直线的距离：. 所以. 7．若，不等式恒成立，则的最大值为（） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先对原不等式变形，构造新函数求出最大值，再利用恒成立计算即可 【详解】由，得，此时. 原不等式变形得 令，求导得 令，解得. ，，单调递增； ，，单调递减. 不等式恒成立，则 设， 令， ，单调递减； ，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立，则 两边同乘： 因为，两边除以，得 当，等号成立，的最大值为2 8．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合的单调性得到为的唯一零点；根据题意求出，令，将问题转化为在内有解，分离参数得到，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】的定义域为，且在定义域内单调递增. 又，所以为的唯一零点，即. 若函数与互为“零点相邻函数”， 则存在使得，即，解得， 也即至少有一个零点. 令，则在内有解， 可转化为在内有解. 由，得，. 令，，则. 令，即，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，在处取得最小值， 为. 故实数的最小值为. 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 【答案】ABD 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 10．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【分析】结合导数分析函数的单调性、极值，利用导数的几何意义求解切线方程与切线存在性，通过数形结合的思想，分析点到直线的距离最小值，逐一验证每个选项的正确性. 【详解】对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误. 对B选项，令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当，取得最大值， 当时，，，故， 故函数的值域是，所以B选项正确. 对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点，则，整理得， 令，则，故单调递增，代入，得， 因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确. 对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程，整理得，令， 若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点. 对求导得，令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，在处取得极小值，在处取得极大值， 所以的大致图象如图所示： 由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点， 此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确. 11．【多选】对于维向量，，，，二者夹角的余弦值，现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D．这组点的线性相关性弱 【答案】AC 【分析】对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得 ；对于D，由，再结合题意判断即可. 【详解】已知经验回归方程为和， 设，，解得，则，故A正确； 在上的投影向量为，， ，， 而回归方程中，中，二者不相等，因此投影向量为，B错误； 相关系数， ， 所以 ，C正确； 由回归方程中，中，， ， ， 所以这组点的线性相关性强，D错误. 第II卷（非选择题） 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数满足，，则___________. 【答案】 【分析】所给的两个等式都无法直接求出和，故考虑同构，其中这个式子已经很简单了，所以将朝变形，即可构造函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令，则，代入可得， 设，则，所以和都是的零点， 又 ，所以在上单调递增，从而，故 ， 所以，因为，所以. 13．函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先作出的草图，可直观看出的大致范围，其中可由直接求出，而显然是一元二次方程的两个相异的实数根，解法一运用韦达定理将表示为关于的二次函数即可求出目标式的取值范围；解法二结合韦达定理和求根公式可将表示为一个关于的函数，再用“根式换元法”求该函数的值域即可解决本题. 【详解】 如图，，， 设，则 ，且， 由 ， 解法一： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ， 所以， 设方程的“大根”为，则， 令，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 解法二： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ，且 ， 所以， 令，则，其中， 于是， ， 令，因为，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 【点睛】解法一的关键在于将转化为关于的二次函数，其中巧妙的运用了韦达定理中的“和条件”消去了变量； 解法二的关键在于不但要用韦达定理中的“积条件”表示这个整体，还要用求根公式求出一元二次方程的“小根”. 14．已知函数，若在区间上有零点，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据零点的定义，结合函数单调性与最值的关系求解即可. 【详解】设在区间上的零点为，则，，. 所以. 令，开口向上，对称轴. 所以，. 令，则，， 所以，. 又在上单调递增，故当时最小，此时， 代入中，得. 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入原等式化简即可得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）分和两种情况结合等差数列前项和公式讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1）知， 则， 当时，，所以， 此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上， 16．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1) 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. （2）略 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)当时，在上是减函数， 当时，在，上是减函数， 在区间上是增函数． (3)由（2）知， 则 ， 则，则问题转为证明即可， 即证明，则， 即证在上恒成立， 设，其中， 求导得0， 则在上单调递减，则，即， 故，则成立． 【分析】（1）根据导数的几何意义求出； （2）求出导函数，设，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出； （3）结合（2）将问题转为证明1，根据韦达定理转化为考虑的单调性，证出即可. 【详解】（1）因为，所以，， 当时，，则， 则在处的切线方程为． （2）函数的定义域为，函数的导数， 设，注意到， ①当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数； ②当时，判别式， （i）当时，，即，即恒成立，此时函数在上是减函数； （ii）当a＞2时，令，得：； 令得：或； 则当时，在区间单调递增，在，单调递减； 综上所述，当时，在上是减函数， 当时，在，上是减函数， 在区间上是增函数． （3）略 18．已知函数，． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，存在，使得，证明：； (3)当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2)若，结论成立． 若，有，要证，只需证，即证， 即证对任意，恒成立． 令，，则， 令，， 当时，， 即在上单调递增，， 在上单调递增， ，即任意，恒成立，即. (3)反证法：令， 由前面可知，，在上单调递增， 即， 即对每一个，都有， 将这个式子累加有，① 另一方面， 因为，，， 所以，即与①矛盾， 故假设不成立，必存在两个不同下标，使． 【分析】（1）常规含参函数讨论单调性； （2）由分离参数，将两个变量转化为一个变量，从而得到需要证明，通过构造函数，利用导数研究函数最值，即可得证； （3）由（1）的结论得到函数的单调性，通过叠加构造证明矛盾即可. 【详解】（1）因为，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 即的单调递增区间是，的单调递减区间是； （2）略 （3）略 19．小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． (1)若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． (2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 【答案】(1)（i）；（ii）（），且； (2)， 【分析】（1）通过全概率公式求出得三分和两分的概率，通过相减求投篮不成功的概率，分析得分情况，由马尔科夫链模型求出递推公式； （2）通过新条件找出递推公式，通过数列知识求通项。 【详解】（1）（i）由题意，设小明投篮得2分的概率为，； 投篮得3分的概率为，； 投篮不成功的概率为． 小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮， 记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件，， ， 由条件概率计算公式，在的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为 ． （ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛， 所以若第一次投篮失败则得分为，且． 对于，若第一次投篮得2分，则后续还需得分， 若第一次投篮得3分，则后续得分为分． 所以（），且， 从而， ，， ，所以． （2）小明持续参赛且投篮次数足够多，说明小明投篮失败后也可继续投篮， 则（），规定（）． 化简可得，，其中，，． 令， ， 所以． 即，．① 令， ， ，所以对于，． ，（）．②． ①-②可得，（） 即，（）. 令，则， 所以. 令，． 因为，所以，， 所以，． 【点睛】概率与数列的结合典型例题，马尔科夫链问题，重点抓住相邻两项或多项的关系，结合数列求通项的方法求解。 试卷第1页（共3页） 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $