第3章勾股定理典例精讲与强化训练-2026-2027学年苏科版 数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过规律探究、实际应用及几何综合题，系统整合概念生成、原理推导与跨知识应用，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|规律探究（勾股数）、等积法（距离计算）、构造全等（几何证明）|从勾股数概念拓展到实际问题建模，再到与等腰三角形、全等的综合应用| |强化训练|19题（8单+6填+5解）|分类讨论（直角边/斜边）、折叠性质、线段垂直平分线应用|覆盖勾股定理逆定理、实际情境应用及动态几何问题，形成“概念-应用-拓展”逻辑链|

第3章勾股定理典例精讲与强化训练 典例精讲 1．满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 2．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 3．如图，在等腰中，，又，连接． (1)若，求的长； (2)如图1，求证： ； (3)如图2，若平分交于F点，则________． 强化训练 一、单选题 1．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．1，，2 D．1，2， 2．在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 3．如图所示，有一个水池，在水池正中央有一根芦苇，它离岸边的距离尺，高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．由此可知水池的深度的长为（   ）． A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 4．如图，在中，，，是的中线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 8．某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点与点重合．窗户拉开时，如图②，，此时，窗户的最低点相对于未开启时的最低点升高了，则该窗户的高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 10．如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 11．如图，在中，是斜边上的中线，，垂足是．当把分成面积比为的两个三角形时，则的值是__________． 12．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 13．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为_____． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为__________． 三、解答题 15．如图，四边形中，，，，，． (1)判断的形状； (2)求四边形的面积． 16．如图，在中，，，． (1)尺规作图，作平分交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)过点D作于点E，求和的长． 17．如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意．反走私艇和走私艇的距离是13海里，、两艇的距离是5海里；反走私艇测得距离艇12海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 18．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 19．如图，在等边中，延长到点，连接． (1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； (3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1)8，10； (2)①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【分析】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【详解】（1）解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； （2）解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 2．(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 3．(1) (2)证明：如图，在AP上截取，令与交于点E， 、， ， 、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ； (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长； （2）在AP上截取，令与交于点E，根据直角三角形的性质求出，进而证明，求出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，从而得出结论； （3）延长、交于点，过点F作于点M，易证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，利用角平分线的性质定理得到，设，进而得到、的长，证明和求出点P是的中点，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，再次利用勾股定理求出和的值，结合完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）； （2）略； （3）解：延长、交于点，过点F作于点M， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分、、， ， ， 设，则， ， 由（2）知， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P是的中点， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 强化训练解析 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故可以构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，故无法构成直角三角形，本选项符合题意； C、，故可以构成直角三角形，本选项不符合题意； D、，故可以构成直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查勾股定理：根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【详解】解：在中，，因此为斜边，和为直角边． 由勾股定理，得， 则， ， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解． 找到题中的直角三角形，设深度的长为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设深度的长为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故选：C 4．C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据中线的定义得到，，根据勾股定理逆定理得到，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了勾股定理； 由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 7．D 【分析】本题考查勾股定理及正方形的面积公式． 根据勾股定理可得大正方形的边长，再根据和差关系得到小正方形的边长，根据正方形的面积公式可得大正方形和小正方形的面积，进一步即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知大正方形的边长为 则大正方形的面积为：； ∵小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：； 则大正方形和小正方形的面积比是． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意以及熟练使用勾股定理是解题的关键． 结合勾股定理，先计算出的长度，令，则，可根据得方程，解出方程即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∴， 令，则， 由勾股定理得， 得方程， 解得， 故选B． 9．3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 10．/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 11．或． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由直角三角形中线的性质可得，由题意可得或，进而得到或，设，则或设，则，可得；由勾股定理可得，再分、和、两种情况解答即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵把分成面积比为的两个三角形， 或， ∵和有同高， ∴面积比等于底边长的比，即或， 设，则或设，则， ∴， ∴， 在和中，有公共边， ∴， ∴ 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 综上，的值为或． 故答案为：或． 12．是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 13．或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分和两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】解：如图，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 14．13 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理． 由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理建立方程，即可计算的长． 【详解】解：由题意知垂直平分， ， ， ， ． 故答案为：13． 15．(1)是直角三角形 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，据此即可求得答案； （2）由，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 是直角三角形． （2）解：在中， ， 在中， ． ． 16．(1) 如图，射线即为所求； (2)， 【分析】（1）作平分交于点D即可； （2）证明，即可求出，设，利用勾股定理构建方程求出x即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则有，即， ∴， ∴． 17．若走私艇的速度不变，最早会在上午10点41分进入我国领海 【分析】可证明得到，利用等面积法可求出的长，则可利用勾股定理求出的长，根据垂线段最短可得点C到的最短距离为的长，再根据时间等于路程除以速度求出走私艇最早进入我国领海需要的时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由题意得于点E， ∴， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 由垂线段最短可知，点C到的最短距离为的长，即走私艇进入我国领海的最短路程为海里， 分， 上午9时50分再过51分钟是上午10点41分， 答：若走私艇的速度不变，最早会在上午10点41分进入我国领海． 18．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等边和性质，证明，得出，结合建立方程，即可求解， （2）过点作，交于，连接，通过构造平行线与双等腰结构，得到，从而得到， 再证明．先利用等腰三角形性质和三角形的内角和证明，得是等边三角形，进而得，再证明得，从而可得点是的内角平分线的交点，由此证明，再利用等腰三角形判定证明，由此证明，可得，可得； （3）以为边向下作等边，作于点，连接，可得，当最小时，即，最小，进而可得，作于点，再利用勾股定理和线段和差求出，结合，由此即可解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：过点作，交于，连接， 设， ∵是的角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴点是的内角平分线的交点， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边向下作等边，作于点，连接，如图， 同理（1），易证， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当最小时，即，最小， 此时， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】（1）通过构造旋转全等三角形，建立角度关系求解，（2）构造平行线与双等腰结构，通过全等三角形转化线段关系，（3）旋转构造等边三角形，利用垂线段最短求最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $