第05讲 轴对称基础（垂直平分线、轴对称性质、坐标对称变换）（核心知识+7易错辨析+20典例精讲+课后作业）2026-2027学年八年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦轴对称基础核心知识点，系统梳理轴对称图形与成轴对称的概念及联系，深入解析线段垂直平分线的性质与判定定理，构建平面直角坐标系中坐标对称变换的规律体系，形成从概念到工具再到应用的递进式学习支架。 资料设计突出三大亮点，通过7个易错辨析精准突破混淆概念等认知难点，20个典例涵盖书法、台球等生活情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。借助“谁轴对称谁不变”等口诀及折叠问题中对称性质的应用，强化数学思维的推理意识，课中助力教师高效突破重难点，课后通过知识主线梳理与分层作业，帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第05讲 轴对称基础（垂直平分线、轴对称性质、坐标对称变换） （核心知识+7易错辨析+20典例精讲+课后作业） 【知识点01】轴对称相关基本概念与性质 1. 轴对称图形与成轴对称 （1）轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这条直线叫做对称轴。 常见轴对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、圆、线段、角。 （2）两个图形成轴对称：两个独立的图形，沿某一条直线折叠后能够完全重合。 （3）二者联系与区别 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，拆分后的两部分就成轴对称。 区别：轴对称图形是一个图形的自身特征；成轴对称是两个图形的位置关系。 2. 轴对称核心性质 1. 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线； 2. 对称点的连线被对称轴垂直且平分； 3. 成轴对称的两个图形完全全等，对应线段相等、对应角相等； 4. 对应线段的交点、对应线段延长线的交点，一定在对称轴上。 【知识点02】线段的垂直平分线（本章重难点） 1. 定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线，简称中垂线。 2. 两大核心定理（必考） （1）性质定理 内容：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，∴PA=PB。 （2）判定定理（逆定理） 内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 拓展重要结论 1. 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等； 2. 基础作图：尺规作图作已知线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线； 3. 易混区分：垂直平分线→点到线段两端点距离相等；角平分线→点到角两边距离相等。 【知识点03】平面直角坐标系中的坐标对称变换 设平面内任意一点坐标为P(x,y)，核心变换规律如下： 1. 基础坐标对称（选择填空高频） （1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数，口诀：x不变，y变号 变换公式：P(x,y) → P₁(x,-y) （2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，口诀：y不变，x变号 变换公式：P(x,y) → P₂(-x,y) 2. 拓展：原点中心对称 横、纵坐标全部变号，变换公式：P(x,y) → P₃(-x,-y) 3. 拔高考点：直线对称（竖直/水平直线） 1. 关于直线x=a对称：纵坐标不变，横坐标：x'=2a-x 2. 关于直线y=b对称：横坐标不变，纵坐标：y'=2b-y 4. 轴对称图形绘制步骤 ① 找出多边形所有顶点坐标；② 求出每个顶点的对称点坐标；③ 按原图形顺序依次连接对称点，得到轴对称图形。 易错点1 混淆轴对称图形与成轴对称 ❌ 错误认知：两个全等图形一定成轴对称 ✅ 正确结论：全等是成轴对称的必要不充分条件，图形必须满足“沿直线折叠可重合”的位置关系，才成轴对称。 ❌ 错误认知：轴对称图形只有一条对称轴 ✅ 正确结论：轴对称图形对称轴数量不唯一，正方形有4条、圆有无数条、等腰三角形只有1条。 易错点2 垂直平分线定理滥用 ❌ 典型错误：已知PA=PB，直接判定直线OP是AB的垂直平分线 ✅ 正确结论：单个点满足PA=PB，只能证明该点在中垂线上，两点确定一条直线，必须找到两个满足条件的点，连线才是线段的垂直平分线。 ❌ 错误认知：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即到线段中点距离相等 ✅ 正确结论：两者无必然相等关系，不可混淆。 易错点3 几何书写不规范（扣分重点） ❌ 错误书写：∵PA=PB，∴OP⊥AB ✅ 规范书写：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上 易错点4 坐标对称变换符号记混 ❌ 常见错误：记反横竖坐标变换规则 ✅ 万能口诀：谁轴对称谁不变，另一坐标变相反数 举例：(3,-2)关于x轴对称(3,2)；关于y轴对称(-3,-2) ❌ 拔高题型错误：关于x=a、y=b对称直接变号 ✅ 正确方法：利用中点公式计算，例：点(1,2)关于直线x=3对称点为(5,2)。 易错点5 尺规作图失分 作图题必须保留圆弧作图痕迹，禁止直接直尺量中点画垂线，无痕迹一律扣分。 易错点6 折叠问题隐藏条件遗漏 图形折叠的本质是轴对称变换，折痕为对称轴，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线，是几何计算核心隐藏条件。 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列图形是轴对称图形的是（     ） A．任意三角形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形 【变式1】．（2024·广东江门·三模）“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 【变式3】．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 【例2】．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【变式3】．（23-24八年级上·全国·随堂练习）如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【题型三】根据成轴对称图形的特征进行判断 【例3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·期中）民族服饰被史学家称之为“穿在身上的史书”．在下列展示的民族服饰图片中，轴对称图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【题型四】根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】．（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【变式1】．（25-26八年级上·青海海东·期末）如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【变式3】．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【题型五】台球桌面上的轴对称问题 【例5】．如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【变式3】．（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【题型六】轴对称中的光线反射问题 【例6】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 【变式2】．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 【变式3】．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【题型七】折叠问题 【例7】．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，将的两个角向内翻折，使得点和点都与点重合，折痕分别为和，若，则___________°． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将一张长方形纸片对折两次，剪下一个角，然后展开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕应该成多少度角？ 【变式3】．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【题型八】线段垂直平分线的性质 【例8】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式1】．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【变式2】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【题型九】线段垂直平分线的判定 【例9】．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【变式1】．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【变式2】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【变式3】．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【题型十】写出命题的逆命题 【例10】．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“若，那么”的逆命题是______． 【变式3】．请写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)如果两个有理数相等，那么它们的平方相等； (3)两直线平行，同旁内角互补． 【题型十一】互逆定理 【例11】．（2025八年级上·全国·专题练习）关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【变式3】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：_________． 【题型十二】作已知线段的垂直平分线 【例12】．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课后作业）根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的________． 【变式3】．（25-26八年级上·山东德州·期中）过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 【题型十三】作垂线(尺规作图) 【例13】．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【变式1】．（25-26八年级上·河北沧州·期末）尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【变式2】．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为___________． 【变式3】．如图，已知线段a，b，求作，使，于点D，（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）． 【题型十四】画对称轴 【例14】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【变式1】．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形是轴对称图形的画出它们的对称轴． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）请画出下列各轴对称图形的对称轴，并指出图中标出的点关于对称轴对称的点． 【题型十五】求对称轴条数 【例15】．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）下列图形中，对称轴最多的是（   ） A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形 【变式1】．（25-26八年级上·山东滨州·期末）古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【变式2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图是轴对称图形，它的对称轴的条数是______条． 【变式3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 【题型十六】画轴对称图形 【例16】．（2025八年级上·北京·专题练习）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形________．    【变式3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业：_____． 【题型十七】车牌号码的镜面对称 【例17】．（23-24八年级上·全国·单元测试）一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式2】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【变式3】．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 【题型十八】钟表的镜面对称 【例18】．（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是________． 【题型十九】坐标系中的对称 【例19】．（2026·四川达州·中考真题）点关于y轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例20】．（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例21】．已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 【变式1】．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 【题型二十】轴对称综合题 【例22】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【变式2】．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【变式3】．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 1. 知识主线梳理 轴对称知识体系分为三大板块，层层递进： ① 基础概念：轴对称图形、两图成轴对称、轴对称核心性质； ② 核心工具：线段垂直平分线（性质+判定，几何证明核心考点）； ③ 数形结合：平面直角坐标系坐标对称变换（代数计算考点）； ④ 实际应用：尺规作图、几何折叠、将军饮马最短路径、三角形外心应用。 2. 核心解题思路 1. 证明线段相等：优先判断点是否在对应线段的垂直平分线上； 2. 折叠几何题：紧扣“折叠=轴对称”，利用对称找等边、等角，转化线段和角度； 3. 坐标对称题：牢记变换口诀，先定点、再求对称点、最后描点连线； 4. 证明直线为中垂线：证明直线上有两个不同点，到线段两端点距离相等。 3. 应试重点总结 1. 线段垂直平分线的性质与判定，是几何解答、证明题必考内容； 2. 坐标对称变换为选择、填空基础必考题型，重点区分坐标轴对称与定直线对称； 3. 轴对称核心难点：利用对称转化线段，求解最短路径最值问题； 4. 答题规范：几何证明必须配套标准几何语言，作图题务必保留完整痕迹。 一、单选题 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段的顶点均在格点上．在图中画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且均为格点，这样的线段能画（    ）条．    A．2 B．3 C．5 D．6 4．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 5．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 6．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．已知点和点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 8．若点关于轴对称的点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有_______（填序号）． 11．若点和点关于轴对称，则a的值是________． 12．如图，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为____． 13．如图中，，，是的中点，交于点，连接，，的周长是，那么的长是______． 14．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 15．如图，已知长方形纸带，，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，则下列结论中，正确的序号是_______． ①；②；③；④． 16．如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 17．如图，在中，为的中点，交于点，连接．若，则_________． 三、解答题 18．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． (1)两条直线相交只有一个交点． (2)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ (4)等角的补角相等． (5)互为倒数的两个数的积为1． 19．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的； (2)在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 21．如图，在等腰中，，． (1)利用尺规完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点，使，标出点位置． (2)在（1）的基础上，只利用直尺，画出点，使点到三个顶点的距离相等． 22．（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 23．长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，G为边上一点，再把折叠，使点C落在点的位置，折痕为． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①若，则_______； ②若，求的度数． (2)如图2，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 24．（24-25八年级·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 轴对称基础（垂直平分线、轴对称性质、坐标对称变换） （核心知识+7易错辨析+20典例精讲+课后作业） 【知识点01】轴对称相关基本概念与性质 1. 轴对称图形与成轴对称 （1）轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这条直线叫做对称轴。 常见轴对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、圆、线段、角。 （2）两个图形成轴对称：两个独立的图形，沿某一条直线折叠后能够完全重合。 （3）二者联系与区别 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，拆分后的两部分就成轴对称。 区别：轴对称图形是一个图形的自身特征；成轴对称是两个图形的位置关系。 2. 轴对称核心性质 1. 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线； 2. 对称点的连线被对称轴垂直且平分； 3. 成轴对称的两个图形完全全等，对应线段相等、对应角相等； 4. 对应线段的交点、对应线段延长线的交点，一定在对称轴上。 【知识点02】线段的垂直平分线（本章重难点） 1. 定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线，简称中垂线。 2. 两大核心定理（必考） （1）性质定理 内容：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，∴PA=PB。 （2）判定定理（逆定理） 内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 拓展重要结论 1. 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等； 2. 基础作图：尺规作图作已知线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线； 3. 易混区分：垂直平分线→点到线段两端点距离相等；角平分线→点到角两边距离相等。 【知识点03】平面直角坐标系中的坐标对称变换 设平面内任意一点坐标为P(x,y)，核心变换规律如下： 1. 基础坐标对称（选择填空高频） （1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数，口诀：x不变，y变号 变换公式：P(x,y) → P₁(x,-y) （2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，口诀：y不变，x变号 变换公式：P(x,y) → P₂(-x,y) 2. 拓展：原点中心对称 横、纵坐标全部变号，变换公式：P(x,y) → P₃(-x,-y) 3. 拔高考点：直线对称（竖直/水平直线） 1. 关于直线x=a对称：纵坐标不变，横坐标：x'=2a-x 2. 关于直线y=b对称：横坐标不变，纵坐标：y'=2b-y 4. 轴对称图形绘制步骤 ① 找出多边形所有顶点坐标；② 求出每个顶点的对称点坐标；③ 按原图形顺序依次连接对称点，得到轴对称图形。 易错点1 混淆轴对称图形与成轴对称 ❌ 错误认知：两个全等图形一定成轴对称 ✅ 正确结论：全等是成轴对称的必要不充分条件，图形必须满足“沿直线折叠可重合”的位置关系，才成轴对称。 ❌ 错误认知：轴对称图形只有一条对称轴 ✅ 正确结论：轴对称图形对称轴数量不唯一，正方形有4条、圆有无数条、等腰三角形只有1条。 易错点2 垂直平分线定理滥用 ❌ 典型错误：已知PA=PB，直接判定直线OP是AB的垂直平分线 ✅ 正确结论：单个点满足PA=PB，只能证明该点在中垂线上，两点确定一条直线，必须找到两个满足条件的点，连线才是线段的垂直平分线。 ❌ 错误认知：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即到线段中点距离相等 ✅ 正确结论：两者无必然相等关系，不可混淆。 易错点3 几何书写不规范（扣分重点） ❌ 错误书写：∵PA=PB，∴OP⊥AB ✅ 规范书写：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上 易错点4 坐标对称变换符号记混 ❌ 常见错误：记反横竖坐标变换规则 ✅ 万能口诀：谁轴对称谁不变，另一坐标变相反数 举例：(3,-2)关于x轴对称(3,2)；关于y轴对称(-3,-2) ❌ 拔高题型错误：关于x=a、y=b对称直接变号 ✅ 正确方法：利用中点公式计算，例：点(1,2)关于直线x=3对称点为(5,2)。 易错点5 尺规作图失分 作图题必须保留圆弧作图痕迹，禁止直接直尺量中点画垂线，无痕迹一律扣分。 易错点6 折叠问题隐藏条件遗漏 图形折叠的本质是轴对称变换，折痕为对称轴，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线，是几何计算核心隐藏条件。 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列图形是轴对称图形的是（     ） A．任意三角形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．任意三角形不一定都是轴对称图形，不符合题意， B．直角梯形不存在对称轴，不是轴对称图形，不符合题意， C．平行四边形不一定都是轴对称图形，不符合题意， D．等腰三角形存在对称轴，是轴对称图形，符合题意． 【变式1】．（2024·广东江门·三模）“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 【变式2】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 【答案】6 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了作轴对称图形， 分别以三条边所在直线为对称轴确定三个点，再以三条线段的垂直平分线为对称轴得出另外三个对称点，即可得出答案． 【详解】解；以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，再以的垂直平分线为对称轴可得， 以的垂直平分线为对称轴可得，以的垂直平分线为对称轴可得， 所以一共有D点的个数为6个． 故答案为：6． 【变式3】．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 【例2】．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 【变式1】．（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【变式3】．（23-24八年级上·全国·随堂练习）如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析． 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可． 【详解】解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形， 对称轴如下： ． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键． 【题型三】根据成轴对称图形的特征进行判断 【例3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·期中）民族服饰被史学家称之为“穿在身上的史书”．在下列展示的民族服饰图片中，轴对称图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握轴对称的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形； ②无论沿哪条直线对折，两部分都不能完全重合，不是轴对称图形； ③沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形； ④沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形． 所以轴对称图形有3个， 故选C． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【答案】林、共、品、吉 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 【题型四】根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】．（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 【变式1】．（25-26八年级上·青海海东·期末）如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路线，利用对称的性质作出点M关于直线的对称点，然后将所求路线长转化为两定点之间的距离即可． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接，交直线于点，如图所示，，此时所需的管道最短． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式3】．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 【题型五】台球桌面上的轴对称问题 【例5】．如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为： 根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2． 故选：B． 【点睛】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意数形结合思想的运用． 【变式1】．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【答案】2 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 【变式3】．（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【题型六】轴对称中的光线反射问题 【例6】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【变式1】．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点． 【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称， ∵∠AOC=45， ∴∠BOC=45°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°， 则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质． 【变式2】．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 【答案】40°/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用、轴对称中的光线反射问题 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式3】．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【题型七】折叠问题 【例7】．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、画三角形的高 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，将的两个角向内翻折，使得点和点都与点重合，折痕分别为和，若，则___________°． 【答案】105 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 设，根据三角形的内角和定理得到，再由折叠可得，根据即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 故答案为：105． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将一张长方形纸片对折两次，剪下一个角，然后展开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕应该成多少度角？ 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查平面图形的展开与折叠，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力，通过模型可观察图形展开前和展开后的关系是解题的关键．根据题意进行分析从而得到剪口线与折痕成角，即可解答． 【详解】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 【变式3】．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴． ∴． 【题型八】线段垂直平分线的性质 【例8】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式1】．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 【变式2】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【题型九】线段垂直平分线的判定 【例9】．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 【变式1】．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义． 根据三角形外心的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 点分别是的中点，借助网格构成的长方形的对角线可得， ， ∴是边的垂直平分线， ∴点是三角形三边垂直平分线交点， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得，， 进而根据线段垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据得到，代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵，四边形的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． （2）解：垂直平分，理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【题型十】写出命题的逆命题 【例10】．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 【答案】C 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了逆命题，原命题是条件语句“如果两个三角形全等，那么对应边相等”，其逆命题需交换条件和结论，即“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”. 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 【变式3】．请写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)如果两个有理数相等，那么它们的平方相等； (3)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)如果，那么 (2)如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等 (3)同旁内角互补，两直线平行 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】（1）根据题意将命题的结论与题设互换即可求解； （2）根据题意将命题的结论与题设互换即可求解； （3）根据题意将命题的结论与题设互换即可求解． 【详解】（1）如果，那么的逆命题是：如果，那么； （2）如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等； （3）两直线平行，同旁内角互补的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了互逆命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题． 【题型十一】互逆定理 【例11】．（2025八年级上·全国·专题练习）关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【答案】B 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定为真，因此不一定是定理；只有逆命题为真时，才是逆定理． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 【变式3】．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：_________． 【答案】 每一组邻角都互补的四边形是平行四边形 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查互逆定理．将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理．据此解答即可． 【详解】解：“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆命题是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”， ∵“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”是真命题， ∴定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”． 故答案为：每一组邻角都互补的四边形是平行四边形． 【题型十二】作已知线段的垂直平分线 【例12】．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 【变式1】．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 【答案】C 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线得到，然后根据线段的和差解题即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课后作业）根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的________． 【答案】中线 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线，根据尺规作图痕迹判断即可． 【详解】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 故答案为：中线． 【变式3】．（25-26八年级上·山东德州·期中）过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 【答案】 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据题干作图步骤，先在直线上点的两旁分别截取线段，，使，然后作出线段的垂直平分线，即直线即为所求作的垂线． 【题型十三】作垂线(尺规作图) 【例13】．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【详解】由作图痕迹可知，该作法为过直线外一点作已知直线的垂线． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·河北沧州·期末）尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、用HL证全等（HL）、作线段(尺规作图) 【分析】由作法得：，，即可解答． 【详解】解：由作法得：，， 在和中， ∵， ∴， ∴小林只说对一半，作图依据应是． 【变式2】．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为___________． 【答案】12 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 【变式3】．如图，已知线段a，b，求作，使，于点D，（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】先过直线m上点D作，再在上截取，然后以A点为圆心，a为半径画弧交直线m于B、C两点，连接，则满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 【题型十四】画对称轴 【例14】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 【变式1】．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画对称轴 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形是轴对称图形的画出它们的对称轴． 【答案】图见解析 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，作出正确的对称轴是解决本题的关键． 根据轴对称图形的定义进行画图即可． 【详解】解：画对称轴如下： 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）请画出下列各轴对称图形的对称轴，并指出图中标出的点关于对称轴对称的点． 【答案】见解析． 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 图（），点与为对称点， 图（），点与为对称点，点与为对称点； 图（），点与为对称点． 【题型十五】求对称轴条数 【例15】．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）下列图形中，对称轴最多的是（   ） A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形 【答案】A 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量，分别找出各选项的对称轴数量，选出最多的即可． 【详解】解：圆有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，圆的对称轴最多； 故选A． 【变式1】．（25-26八年级上·山东滨州·期末）古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【答案】C 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，共有4条对称轴， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图是轴对称图形，它的对称轴的条数是______条． 【答案】 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：经过这两个圆的圆心的直线是该图形的对称轴，如图所示： ∴它的对称轴的条数是条， 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 【答案】3条，4条，5条，6条，8条；一个正n边形有n条对称轴． 【知识点】求对称轴条数 【分析】根据图形的性质，分别找出对称轴的条数 【详解】正三角形的对称轴为三条高线所在的直线，共3条对称轴， 正方形的对称轴为两条对角线所在的直线，和两条对边中点连线所在的直线，共4条对称轴， 正五边形的对称轴为各边中点与其所对的角的顶点的连线所在的直线，共5个顶点，则共5条对称轴， 正六边形的对称轴与正方形的类似，3条对角线所在的直线，和3条对边中点连线所在的直线，共6条对称轴， 正八边形的对称轴与正方形，正六边形的类似，4条对角线所在的直线，和4条对边中点连线所在的直线，共8条对称轴， 一般地，一个正n边形有n条对称轴． 【点睛】本题考查了正多边形的对称轴的条数，理解轴对称的性质是解题的关键． 【题型十六】画轴对称图形 【例16】．（2025八年级上·北京·专题练习）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 根据网格特点及题的要求，把所有可能的图形画出即可得答案． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出6个， ， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】画轴对称图形 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形________．    【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    【变式3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业：_____． 【答案】厨师 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形的画法，学科整合，解题关键是画出图形，还要会翻译成汉语． 首先画出轴对称图形，发现单词是，翻译成汉语是厨师． 【详解】解：如图根据轴对称的定义画出对称图形，得到单词：，该单词的汉语意思是：厨师． 故答案为：厨师． 【题型十七】车牌号码的镜面对称 【例17】．（23-24八年级上·全国·单元测试）一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 【变式1】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 【变式3】．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 【答案】 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】解：实际车牌号是， 故答案为：． 【题型十八】钟表的镜面对称 【例18】．（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是________． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质．解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右对换，且关于镜面对称．据此解答． 【详解】解：小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是． 故答案为：． 【题型十九】坐标系中的对称 【例19】．（2026·四川达州·中考真题）点关于y轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据平面直角坐标系中点关于轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点的坐标为， ∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持不变， ∴ 的坐标为． 【例20】．（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标系中的对称 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 【例21】．已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于轴对称的点的坐标性质：关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 【变式1】．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴的对称点是． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 【答案】见解析，． 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到点B、点C的坐标，连接交y轴于点D，连接，，可知点D的坐标为，求出，，即可求出的值． 【详解】解：∵点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为点B， ∴点B的坐标为， ∵点B关于x轴的对称点为点C， ∴点C的坐标为． 如图所示，连接交y轴于点D，连接，，则点D的坐标为， 由图可知 ，，，， ∴，， ∴． 【题型二十】轴对称综合题 【例22】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置．即铺设管道路径最短的方案是方案3 故选：C； 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、面积问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【变式2】．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角度问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 【变式3】．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 【答案】①②③ 【知识点】全等三角形综合问题、其他问题(轴对称综合题) 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD=∠CAE=∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD=90°，判断出①正确，再求出∠BAE=∠CAD=60°，根据翻折可得∠AEC=∠ABD=∠ABC，利用三角形内角和定理可得∠BOE=∠BAE，判断出②正确，根据三角形的角平分线交于一点判断即可判断出③正确． 【详解】解，∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD， ∴∠EAD=3∠BAC－360°＝3×150°－360°=90°，故①正确， ∴∠BAE=∠CAD=（360°－90°－150°）=60°， 由翻折的性质得：∠AEC=∠ABD=∠ABC， 又∵∠EPO=∠BPA， ∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正确， ∵AB平分∠OBC，AC平分∠BCO， ∴OA平分∠BOC，故③正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质和综合运用，熟记各性质并准确识图清图中各角度之间的关系是解题得的关键． 1. 知识主线梳理 轴对称知识体系分为三大板块，层层递进： ① 基础概念：轴对称图形、两图成轴对称、轴对称核心性质； ② 核心工具：线段垂直平分线（性质+判定，几何证明核心考点）； ③ 数形结合：平面直角坐标系坐标对称变换（代数计算考点）； ④ 实际应用：尺规作图、几何折叠、将军饮马最短路径、三角形外心应用。 2. 核心解题思路 1. 证明线段相等：优先判断点是否在对应线段的垂直平分线上； 2. 折叠几何题：紧扣“折叠=轴对称”，利用对称找等边、等角，转化线段和角度； 3. 坐标对称题：牢记变换口诀，先定点、再求对称点、最后描点连线； 4. 证明直线为中垂线：证明直线上有两个不同点，到线段两端点距离相等。 3. 应试重点总结 1. 线段垂直平分线的性质与判定，是几何解答、证明题必考内容； 2. 坐标对称变换为选择、填空基础必考题型，重点区分坐标轴对称与定直线对称； 3. 轴对称核心难点：利用对称转化线段，求解最短路径最值问题； 4. 答题规范：几何证明必须配套标准几何语言，作图题务必保留完整痕迹。 一、单选题 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据是的垂直平分线，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长为． 故选：D． 3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段的顶点均在格点上．在图中画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且均为格点，这样的线段能画（    ）条．    A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据要求再结合网格的特点即可完成． 【详解】解：如图中的5条线段满足题目条件    故选：C． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，结合网格的特点，掌握轴对称图形的性质是关键． 4．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 5．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】B 【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确； C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误； D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7．已知点和点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出a、b的值代入即可得答案． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， 则，解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 8．若点关于轴对称的点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特征得到点的对称点的坐标，再利用第一象限内点的坐标特征得到，然后解不等式组即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 而点在第一象限， ， 解得， 即的取值范围为． 故选：． 【点睛】本题考查了关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．也考查了解一元一次不等式组和各个象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 二、填空题 10．如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有_______（填序号）． 【答案】②④⑥ 【分析】本题考查的是确定轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的定义可得对称轴的位置即可得到答案. 【详解】解：由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有：②④⑥； 故答案为：②④⑥ 11．若点和点关于轴对称，则a的值是________． 【答案】2 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，由于两点关于x轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 故答案为：2． 12．如图，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为____． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线性质． 根据线段垂直平分线性质得到，根据三角形周长公式求解长度． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ∴ ， ∵，的周长是， ∴的周长， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图中，，，是的中点，交于点，连接，，的周长是，那么的长是______． 【答案】14cm 【分析】由，是的中点，可得,由的周长是，可得,根据，，即可求解． 【详解】，是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 14．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 15．如图，已知长方形纸带，，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，则下列结论中，正确的序号是_______． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③． 【详解】解：四边形是长方形， ，， ， ，①正确； ， ， 由折叠得，，，，， ，④正确； ， ， ， ，②错误； ， ，③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质． 16．如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、角的和差计算等知识点，掌握轴对称的性质，以及将所求角转化为已知角的倍数关系的方法是解题的关键． 根据轴对称性质可知，平分，平分，因此，代入即可求出结果． 【详解】如图，连接． ∵点，关于对称，点，关于对称， ，， ． 故答案为：． 17．如图，在中，为的中点，交于点，连接．若，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键． 根据垂直平分线性质，知，从而求得，利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点为中点，交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8 ． 三、解答题 18．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． (1)两条直线相交只有一个交点． (2)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ (4)等角的补角相等． (5)互为倒数的两个数的积为1． 【答案】(1)是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等 (5)是命题，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数 【分析】根据命题的定义先判断出哪些是命题，再按要求写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． 【详解】（1）是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交． （2）不是对一件事情做出判断的句子，故不是命题． （3）提问的表述不是对一件事情做出判断，故不是命题． （4）是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等． （5）是命题，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．逆命题：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数． 【点睛】本题考查了命题的定义，写逆命题，解题的关键是掌握命题的判断方法． 19．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴，两点都在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， 即是线段的垂直平分线． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的； (2)在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，则点D即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，连接， 此时，为最小值， 则点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为 故答案为： 21．如图，在等腰中，，． (1)利用尺规完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点，使，标出点位置． (2)在（1）的基础上，只利用直尺，画出点，使点到三个顶点的距离相等． 【答案】(1) ①，如图所示． ②点的位置如图所示； (2) 点的位置如图所示． 【分析】本题考查尺规作图：作轴对称图形和作一条线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质． （1）①分别以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接和即可； ②作的垂直平分线，交的延长线于点，则； （2）连接交的垂直平分线于点，点到三个顶点的距离相等． 22．（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 【答案】（1）11；（2）2 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）本题需要利用线段垂直平分线的性质，将的周长转化为已知线段的和来求解； （2）本题要根据线段垂直平分线的判定与性质，确定是的垂直平分线，从而得出的长度． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为：． （2）∵，根据线段垂直平分线的判定，可知点都在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 23．长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，G为边上一点，再把折叠，使点C落在点的位置，折痕为． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①若，则_______； ②若，求的度数． (2)如图2，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质，角度间的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①根据折叠的性质可得，进而求出，再根据即可求解；②同理①得，再根据即可求解； （2）由折叠的性质可得，根据题意可得，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②同理①得， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴. 24．（24-25八年级·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【知识点】求不等式组的解集、两点间的距离、其他问题(轴对称综合题)、中点坐标 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了“对称线段”，“对称距离”，两点距离公式，两点的中点公式，轴对称的性质，理解“对称线段”和“对称距离”，画出图形数形结合是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $