14.2 全等三角形的判定（第5课时） 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形“斜边、直角边”定理的探索与应用，通过回顾一般三角形全等判定（ASA、AAS、SAS），引出直角三角形除直角外需补充条件的问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 以问题链驱动探究（如分析点A'位置），培养几何直观与推理能力，例题变式（构造辅助线证全等）提升应用意识。学生发展逻辑推理与空间观念，教师获得分层教学资源与清晰探究路径。

分别相等（依据是“ASA”或者“AAS”）或两直角边分别相等（依据 归纳：只需要找到另外两个条件就可以了，也就是满足一边一锐角 示讨论结果，其他组同学提出建议和补充． 师生活动：学生先独立思考后，再小组交流．教师指定一组同学展 等，分别依据的是哪个判定？ 新课导入 了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就能全 样适用．回顾学过的三角形全等的判定方法，对于两个直角三角形，除 问题1：前面学习的三角形全等的判定方法，对于直角三角形也同 一种特殊的三角形——直角三角形的判定方法． 引导语：前面我们研究了三角形全等的判定方法，本节课我们研究 教学环节 主要师生活动 教学过程 直角三角形“斜边、直角边”定理的探索和应用． 教学难点 直角三角形“斜边、直角边”定理及其应用． 教学重点 教学内容 推理能力． 2．掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理和简单应用，进一步发展 验证两个三角形全等的一般方法，发展几何直观和推理能力． 1．经历判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理的探究过程，进一步体会 教学目标 出版社：人民教育出版社 出版日期：2025年6月 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册 课题 14.2 三角形全等的判定（第5课时） 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课程基本信息 教学设计 是钝角．过点M作直线垂直于BM，可知此直线与线段AB相交于AB上 设点M在线段CA（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA 师生活动：学生思考、讨论，教师指导并讲解思考过程：如图2， 析． 追问3：点A'能落在线段CA（不包括端点）上吗？请尝试进行分 置：在线段CA上或在线段CA的延长线上． 师生活动：学生先独立思考，再交流汇报．教师引导明确有两种位 追问2：射线CA上除C，A外的点可能有几种位置？ 系． 就需要讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关 要讨论使A'B'＝AB成立的点A'在射线CA上是否只能落在点A处，这 师生活动：学生讨论，教师引导．要判断点A'与点A是否重合，需 新知探究 追问1：如何判断点A'与点A是否重合？ 进一步判定点A'与点A是否重合即可． 射线C'B'与射线CB重合．由B'C'＝BC可知，点B'与点B重合．因此再 ∠C，如果使点C'与点C重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么 师生活动：学生思考，小组讨论．教师引导学生分析，已知∠C'＝ 图1 两个三角形全等吗？ 1，在△ABC和△A'B'C'中，∠C'＝∠C＝90°，A'B'＝AB，B'C'＝BC．这 问题2：如果两个直角三角形满足斜边和一直角边分别相等，如图 角形的其他判定作铺垫． 角的条件，梳理特殊三角形——直角三角形的判定条件，为探究直角三 后继续运用三角形全等条件的探究方法，分析除直角外还需要两个边或 设计意图：先通过回顾旧知唤醒学生对三角形全等判定的经验，然 是“SAS”）的两个直角三角形是全等的． 边、直角边”或“HL”）． 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜 师生活动：学生叙述，教师板书． 追问5：通过探究你发现了什么？请用文字和符号表示你的发现． 能够完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC． △A'B'C'的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC 个．由点A' 在射线CA上，A'B'＝AB，可知点A'与点A重合．这样， 师生总结：在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一 图3 ＞AB．所以点A'不能落在线段CA的延长线上． ∠BAN是钝角．过点A作直线垂直于BA，交BN于点N'，则有BN＞BN' 程：如图3，取线段CA延长线上的一点N，连接BN，则∠BAN＞∠C， 分析，得出结论．教师适时指导点拨，并组织交流汇报，展示思考过 师生活动：学生类比刚才的思考过程和方法，小组合作完成作图及 组合作探究． 追问4：点A'能落在线段CA的延长线上吗？请类比前一种情况小 图2 以点A'不能落在线段AC（不包括端点）上． 线段最短”可以得出BM'＞BM；由不等式的传递性，可知AB＞BM．所 一点，设为点M'． 根据“整体大于部分”，则有AB＞BM'；利用“垂 例题精讲 A'B' AB ＝ ，   B'C' BC ＝ ，  ∴ Rt△A'B'C'≌Rt△ABC（HL）． 图4 设计意图：通过层层递进的问题设置，帮助学生逐步理解点A'与点 A重合的推理过程．在概括直角三角形的判定定理时，引导学生区别一 般三角形判定的书写，同时锻炼学生用数学语言概括结论的能力． 例 如图5，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求 证BC＝AD． 图5 师生活动：教师让学生充分研读题目后，思考如何证明两个角相 等，确认解决问题的关键是证明两个三角形全等，并进一步思考怎么证 明．结合图形可分析得出Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的 条件．学生口述证明过程，教师板书． 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB BA ＝ ，   AC BD ＝ ，  ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴ BC＝AD． 如图4，在Rt△A'B'C'和Rt△ABC中， 符号表示如下： ∴BC＝AD． 证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD， 师生活动：学生思考，口述证明思路，教师呈现完整证明过程． 图8 何证明？ 追问1：若AC与BD相交于点O，图形中还有哪些全等三角形？如 中隐藏的条件，并能将其补充完整． 设计意图：师生通过两个图的比较，学会构造全等三角形，挖掘图 图7 如图7，连接AB． 础上补充板书和辅助线： 7），构造全等三角形．学生口述辅助线作法，教师在例题证明过程的基 了，需要构造 Rt△ABC和Rt△BAD，因此需要连接AB，补全图形（图 AD，需要通过证明三角形全等得到，但是，Rt△ABC和Rt△BAD不存在 师生活动：师生共同分析解题思路，同上一题一样要证明BC＝ 图6 BD．求证BC＝AD． 变式：如图 6，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC＝ 何问题，感悟该判定方法的简捷性，培养学生的推理能力． 设计意图：让学生运用“斜边、直角边”的判定方法证明简单的几 AB．D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？ 课堂练习 分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥ 1．如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度 件，从而培养学生的几何直观． 生找相等的角和边，熟悉全等三角形的性质，学会找证明全等的条 直角三角形“斜边、直角边”的判定与其他判定方法的区别．同时让学 设计意图：通过用不同判定方法证明直角三角形全等，让学生体会 结论2：AO＝BO，DO＝CO． 即 ∠DAC＝∠CBD． ∴∠DAB－∠CAB＝∠CBA－∠DBA． ∴∠CBA＝∠DAB，∠CAB＝∠DBA． 方法2：∵Rt△ABC≌Rt△BAD， ∴∠DAC＝∠CBD． 方法1：∵△ADO≌△BCO， 结论1：∠DAC＝∠CBD． 师生活动：学生口述，说明理由，教师呈现不同结论和说理过程． 图9 追问2：下图中还有哪些相等的线段和角，请说出你的理由． ∴△ADO≌△BCO（AAS）．  AD＝BC，   ∠ DOA ＝∠ COB ，   ∠ ＝∠ ， D C 在△ADO与△BCO中， 课后任务 教科书习题14.2第11，12题． 结自己的收获，并建立知识之间的联系． 设计意图：引导学生从知识内容、学习过程、学习方法三个方面总 应用这一判定定理时要注意哪些问题？ 课堂小结 （3）“斜边、直角边”判定定理为我们提供了证明什么的方法？在 （2）本节课学习了哪些主要内容？ （1）本节课经历了哪些探究过程？ 师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 定定理解决问题的能力，培养几何直观和推理能力． 设计意图：通过有针对的训练，提高学生运用“斜边、直角边”判 师巡视、指导，师生共同评价． 师生活动：学生独立完成，两名学生分别板演练习1和练习2．教 （第2题） BF．求证AE＝DF． 2．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝ （第1题） $