14.2 三角形全等的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“用HL判定直角三角形全等”核心知识点，通过梳理已学的ASA、AAS、SAS等直角三角形全等判定方法，引出直角三角形特有“斜边、直角边”定理，搭建知识支架帮助学生构建完整判定体系。 资料亮点在于分层设计课堂练习，从基础条件添加到综合双次HL证明，结合叠合法证明步骤培养推理能力，实际问题（如路段距离比较）提升应用意识。参考答案规范详细，助力教师教学，帮助学生夯实逻辑推理与知识应用能力。

学案：14.2 全等三角形的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 人教版八年级上册 第十四章 全等三角形 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 探索并掌握判定直角三角形全等的"斜边、直角边"（HL）定理，理解其探索过程与证明思路。 2. 能运用HL定理判定两个直角三角形全等，并能进行简单的推理证明。 二、知识梳理 1. HL定理 项目 内容 定理内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 几何语言 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∵ AB = A'B'（斜边相等）， BC = B'C'（直角边相等）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）。 注意事项 (1) "H"代表斜边（Hypotenuse），"L"代表直角边（Leg），顺序不要混淆。 (2) "HL"是判定直角三角形全等的特有方法，两个"△"前要加"Rt"。 (3) HL只适用于直角三角形，一般三角形不能使用。 2. 直角三角形全等判定方法汇总 已知条件 判定方法 说明 一锐角 + 一直角边（夹边） ASA 直角与已知锐角的夹边 一锐角 + 一直角边（对边） AAS 已知锐角（或直角）的对边 一锐角 + 斜边 AAS 已知边所对的锐角 两直角边 SAS 夹角为直角 斜边 + 一直角边 HL 直角三角形特有判定方法 3. HL证明步骤（叠合法） 步骤 说明 第一步 由 ∠C = ∠C' = 90°，将两直角三角形叠合，使点 C 与 C' 重合，两直角边分别重合。 第二步 由 BC = B'C'，可知点 B 与点 B' 重合。 第三步 在射线 CA 上，与点 B 连线长度等于 AB 的点唯一（由直角三角形中斜边大于直角边及外角性质可证）。 第四步 由 A'B' = AB，可知点 A' 与点 A 重合。 第五步 三个顶点分别重合，两个三角形完全重合，故 Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'。 三、课堂练习 练习1（针对训练 —— 添加条件） 如图，AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，要证明 △ABC ≌ △BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由。 (1) _______________（___________）； (2) _______________（___________）； (3) _______________（___________）； (4) _______________（___________）。             练习2（教材例6 —— 证明线段相等） 如图，AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，垂足分别为 C，D，AC = BD。求证：BC = AD。                     练习3（随堂演练1 —— 选择题） 如图，AB ⊥ CD，垂足为 O，要得到 Rt△AOC ≌ Rt△BOD，添加下列一组条件后，不能判定 Rt△AOC ≌ Rt△BOD 的是（ ） A. AC = BD，OA = OB B. OA = OD，∠A = ∠B C. AC = BD，OC = OD D. AC = BD，AC // BD         练习4（随堂演练2 —— 填空题） 如图，AE ⊥ BD，CD ⊥ BD，AB = BC，BE = CD，则 ∠ACB = __________。             练习5（随堂演练3 —— 教材P43练习1） 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA ⊥ AB，EB ⊥ AB。D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？                     练习6（随堂演练4 —— 教材P43练习2） 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF。求证：AE = DF。                     练习7（随堂演练5 —— 综合题） 如图，AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，AD = AF，AC = AE。求证：BC = BE。                     练习8（综合题 —— HL + HL 双次证明） 如图，AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，AD = AF，AC = AE。 (1) 求证：Rt△ADC ≌ Rt△AFE； (2) 求证：Rt△ABD ≌ Rt△ABF； (3) 利用以上结论，求证：BC = BE。                         四、参考答案 练习1 答案 (1) BC = AD（HL）：斜边 AB 公共，直角边 BC = AD。 (2) AC = BD（HL）：斜边 AB 公共，直角边 AC = BD。 (3) ∠CAB = ∠DBA（AAS）：∠C = ∠D = 90°，∠CAB = ∠DBA，AB = BA。 (4) ∠CBA = ∠DAB（AAS）：∠C = ∠D = 90°，∠CBA = ∠DAB，AB = BA。 练习2 答案 证明：∵ AC ⊥ BC，BD ⊥ AD， ∴ ∠C = ∠D = 90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA（公共边）， AC = BD（已知）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）. ∴ BC = AD（全等三角形的对应边相等）. 练习3 答案 答案：B 解析：A选项：AC = BD，OA = OB，满足HL，可以判定。 B选项：OA = OD，∠A = ∠B，两组条件不构成任何判定方法，不能判定。 C选项：AC = BD，OC = OD，满足HL，可以判定。 D选项：AC = BD，AC // BD，可得 ∠A = ∠B（内错角），又 ∠AOC = ∠BOD（对顶角），结合 AC = BD 可用 AAS 判定。 综上，只有B选项不能判定。 练习4 答案 答案：90° 解析：∵ AE ⊥ BD，CD ⊥ BD， ∴ ∠AEB = ∠CDB = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△BCD 中， AB = BC（已知）， BE = CD（已知）， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△BCD（HL）. ∴ ∠ABE = ∠BCD. ∵ 在 Rt△BCD 中，∠BCD + ∠CBD = 90°， ∴ ∠ABE + ∠CBD = 90°，即 ∠ABC = 90°. 又由图形可知，∠ACB 与 ∠ABC 为对顶角， ∴ ∠ACB = ∠ABC = 90°. 练习5 答案 解：D，E 到路段 AB 的距离相等。理由如下： ∵ C 是路段 AB 的中点， ∴ AC = BC. 又两人同时同速度出发，并同时到达 D，E 两地， ∴ CD = CE. 又 DA ⊥ AB，EB ⊥ AB， ∴ ∠A = ∠B = 90°. 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， AC = BC， CD = CE， ∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL）. ∴ DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等。 练习6 答案 证明：∵ CE = BF， ∴ CE - EF = BF - EF，即 CF = BE. 又 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC， ∴ ∠DFC = ∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴ Rt△DFC ≌ Rt△AEB（HL）. ∴ AE = DF. 练习7 答案 证明：由题意知，△ADC 与 △AFE 均为直角三角形， 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC = AE， AD = AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL）. ∴ CD = EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， AB = AB（公共边）， AD = AF， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ABF（HL）. ∴ BD = BF. ∴ BD - CD = BF - EF，即 BC = BE. 练习8 答案 (1) 证明：由题意知，△ADC 与 △AFE 均为直角三角形。 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC = AE（已知）， AD = AF（已知）， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL）. (2) 证明：在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， AB = AB（公共边）， AD = AF（已知）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ABF（HL）. (3) 证明：由 (1) 得 CD = EF，由 (2) 得 BD = BF， ∴ BD - CD = BF - EF，即 BC = BE. 总结：本题通过两次 HL 判定，先证 Rt△ADC ≌ Rt△AFE 得 CD = EF，再证 Rt△ABD ≌ Rt△ABF 得 BD = BF，最后利用线段差证得 BC = BE。 学科网（北京）股份有限公司 $