28.1成比例的线段讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦“成比例的线段”核心知识点，系统梳理比例线段的定义与基本、合比、等比性质，黄金分割的定义、公式及性质，三角形一边平行线的A字型与8字型模型，平行线分线段成比例定理及推论，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料特色在于真题融入与生活实例结合，如东方明珠黄金分割计算、树叶黄金分割点分析，培养几何直观与应用意识。题型梯度分明，从基础判定到综合证明，提升推理能力与运算能力，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

沪教版五四制2026学年九年级上册 28.1 成比例的线段 学习目标 【知识点01】 比例线段知识详解 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 【知识点02 】 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 3. 两段线段快速公式（直接背、直接代） 设线段总长为 ： 较长线段： 较短线段： 4. 重要性质结论 ① 一条线段有两个黄金分割点，左右对称； ② 黄金矩形：宽与长的比值为黄金比 ； ③ 黄金分割满足比例中项关系：（高频证明结论）。 【知识点03】三角形一边平行线性质定理（两大核心模型） 定理内容：平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 模型1：A字型（三角形内部平行） 在中，，直线分别交于点，可得三组比例式： 模型2：8字型（X型，延长线平行） 直线，交的延长线于，上述三组比例式依然成立，比例关系不变。 拓展核心结论： 平行于三角形一边的直线截三角形两边，截得的小三角形的三边与原三角形三边对应成比例： 【知识点04】平行线分线段成比例基本定理 定理内容：三条及三条以上平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 推论（平行线等分线段）：若平行线截得的一段线段相等，则对应截得的线段全部相等，常用于网格、填空题快速解题。 题型精讲 【题型01】成比例线段判定与比例性质计算 【例1】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A．B．C．D． 【变式1-1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【变式1-4】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【变式1-5】（25-26九年级上·全国·期末）已知，则下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】若，则下列各式错误的是（      ） A． B． C． D． 【题型02】：黄金分割计算与判定 【例2】．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为______． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 【变式2-2】（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【变式2-3】（2025·上海杨浦·一模）已知点是线段的黄金分割点，那么__________． 【变式2-4】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【变式2-5】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【变式2-6】．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【题型03】：平行线分线段成比例基础计算 【例3-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【变式3-1】．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【变式3-5】如图，，则__________． 【题型04】比例线段长度计算 【例4-1】在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【变式4-1】．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【变式4-3】如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】如图，已知在中，，，，，， 求四边形的周长． 【变式4-6】如图，在中，，，点在直线上，过点作交 直线与点．如果，求的长． 【变式4-7】如图，在中，，于点，点是中点，过点作 的垂线交于点，，则 ． 【变式4-8】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【变式4-9】如图，点在线段上，和都是等边三角形． 求证：（1）； （2）． 【变式4-10】如图，的面积是，点、、（与、、是不同的点）分别位于 、、各边上，而且，，如果的面积和四边形的 面积相等，求的面积． 【变式4-11】如图，在中，，，，在边上有一动点， 过作与相交于于点，联结，设，的面积为． （1）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； （2）点是否存在这样的位置，使的面积是的面积的？若存在，求出的 长；若不存在，请说明理由． 【题型05】综合证明与辅助线构造E F 【例5-1】如图，在梯形中，，，，、是两腰上的点， 且，，求的长． 【变式5-1】平行四边形中，，过对角线交点作，垂足为，，，则__________． 【变式5-2】如图，在中，是边上的一点，，为的中点，联 结并延长交于，求的值． 【变式5-3】已知点是的边上的一点，，是的中点，的延长 线交于，求的值． 【变式5-4】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【变式5-5】（24-25九年级上·上海·自主招生）如图，为边上一点，，则_____________． 强化训练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 3．如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若（其中），则________ 7．已知，若，且，则______． 8.已知线段、、，且，求作，作法正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 9．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 10．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 12．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 13．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高是______厘米（结果保留到整数）． 15．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 解答题 16.平行四边形，是的中点，在直线上截取，交 于，求的值． 17.如图，，已知，，求的长． 18.如图，在中，是边上一点，，． （1）求证：； （2）如果，，，求、的长． 19．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 20.如图，在平行四边形中，是上一点，与相交于点，与 的延长线相交于点，已知，，求和的长． 21．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五四制2026学年九年级上册 28.1 成比例的线段 学习目标 【知识点01】 比例线段知识详解 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 【知识点02 】 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 3. 两段线段快速公式（直接背、直接代） 设线段总长为 ： 较长线段： 较短线段： 4. 重要性质结论 ① 一条线段有两个黄金分割点，左右对称； ② 黄金矩形：宽与长的比值为黄金比 ； ③ 黄金分割满足比例中项关系：（高频证明结论）。 【知识点03】三角形一边平行线性质定理（两大核心模型） 定理内容：平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 模型1：A字型（三角形内部平行） 在中，，直线分别交于点，可得三组比例式： 模型2：8字型（X型，延长线平行） 直线，交的延长线于，上述三组比例式依然成立，比例关系不变。 拓展核心结论： 平行于三角形一边的直线截三角形两边，截得的小三角形的三边与原三角形三边对应成比例： 【知识点06】平行线分线段成比例基本定理 定理内容：三条及三条以上平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 推论（平行线等分线段）：若平行线截得的一段线段相等，则对应截得的线段全部相等，常用于网格、填空题快速解题。 题型精讲 【题型01】成比例线段判定与比例性质计算 【例1】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，即，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【变式1-1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【变式1-2】．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 【变式1-3】已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 【变式1-4】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，四个数成比例时两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算x的所有可能值，即可得到x不可能的值． 【详解】解：四个数成比例符合比例基本性质，两内项积等于两外项积，分三种情况计算x： 情况1：若3和4为外项，则，解得，对应选项A，因此A不符合题意； 情况2：若3和12为外项，则，解得，对应选项B，因此B不符合题意； 情况3：若4和12为外项，则，解得，对应选项C，因此C不符合题意； ∴x的值不能为25，只有D符合要求． 【变式1-5】（25-26九年级上·全国·期末）已知，则下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，已知比例式，利用比例的基本性质分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴设比值为k，则，． A项：，，成立； B项：，，当时，不一定相等； C项：，成立； D项：，，成立， ∴不一定成立的是B． 故选：B． 【变式1-6】若，则下列各式错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】A.∵k，∴ad=bc，∴，故本选项正确； B.根据合比性质，可知本选项正确； C.根据等比性质，可知 (b+d≠0)，故本选项错误； D.由A可知，则c−2=−2，，故本选项正确, 故选：C. 【点睛】此题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解此题的关键. 【题型02】：黄金分割计算与判定 【例2】．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 【答案】 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（）， 的长度为8cm， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·上海杨浦·一模）已知点是线段的黄金分割点，那么__________． 【答案】 或 【详解】解：根据黄金分割的定义，黄金比为． 当为较长部分时，； 当为较短部分时，，则， ∴， ∴． 故答案为： 或 【变式2-4】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【答案】2 【详解】解：假设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 解得， 故答案为：2． 【变式2-5】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【答案】或 【详解】解：∵线段长度为，点是线段的黄金分割点， ∴ 或 ， 把代入得， 或 ， 解得 或 . 【变式2-6】．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）略 【题型03】：平行线分线段成比例基础计算 【例3-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 【变式3-2】．如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握由平行截线求相关线段的长或比值． 先求出，再利用由平行截线段成比例求解． 【详解】解：∵直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故A、C、D正确，不符合题意； 而B选项结论不能证明，故错误，符合题意， 故选：B． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴ 故答案为：6 【变式3-5】如图，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型04】比例线段长度计算 【例4-1】在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 【变式4-3】如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 【变式4-4】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 当时， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-5】如图，已知在中，，，，，， 求四边形的周长． 【难度】★ 【答案】16． 【解析】，． 又，， ， 四边形为平行四边形． 代入可求得：， ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用． 【变式4-6】如图，在中，，，点在直线上，过点作交 直线与点．如果，求的长． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】（1）在线段上时，， 由，可得：，代入可得：； （2）在线段延长线上时，， 由，可得：，代入可得：； （3）在线段反向延长线上的情况不存在． 【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现． 【变式4-7】如图，在中，，于点，点是中点，过点作 的垂线交于点，，则 ． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由，， 即得：，可得：． 又，， //， ． 【变式4-8】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴解方程并检验得：，（舍）， ∴． 【变式4-9】如图，点在线段上，和都是等边三角形． 求证：（1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）和是等边三角形， ． ∵点在线段上， ． ，． （2）同（1）易证得，则有． 和是等边三角形， ， ， ． 【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化． 【变式4-10】如图，的面积是，点、、（与、、是不同的点）分别位于 、、各边上，而且，，如果的面积和四边形的 面积相等，求的面积． 【难度】★★★ 【答案】6． 【解析】连结，由，可得， 两三角形同底，可得两三角形等高， 故，根据平行于三角形一边的直线性质定理， 可得：，故， 求得． 【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比． 【变式4-11】如图，在中，，，，在边上有一动点， 过作与相交于于点，联结，设，的面积为． （1）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； （2）点是否存在这样的位置，使的面积是的面积的？若存在，求出的 长；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）存在，．E 【解析】（1）过点作于点． 由，可得：，F 又，故． 又，故，代入可得， 故． （2） 过点作于点． 由可得， 故， ∵的面积是面积的， ∴， 解得：，即． 【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用． 【题型05】综合证明与辅助线构造 【例5-1】如图，在梯形中，，，，、是两腰上的点， 且，，求的长． 【难度】★★ 【答案】．G 【解析】过点作交于，交于，H 则有，又， 可得：，解得：， 故． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例． 【变式5-1】平行四边形中，，过对角线交点作，垂足为，，，则__________． 【答案】 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， 在平行四边形中，， ∴， ， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， ． 【变式5-2】如图，在中，是边上的一点，，为的中点，联 结并延长交于，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】过点作交于． 此时则有，又为中点，F 根据平行可得：，故， 即， 可得． 【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本． 【变式5-3】已知点是的边上的一点，，是的中点，的延长 线交于，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】过点作交于点． ∵，∴， ∴． 又为中点，， ∴为中点，即， ∴． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案． 【变式5-4】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-5】（24-25九年级上·上海·自主招生）如图，为边上一点，，则_____________． 【答案】 【详解】解：作的中垂线交于点F，交于点E， 故， ， 又， ， ， ， 由， ， ， 设， 则 根据勾股定理，得， 解得 故 故答案为：． 强化训练 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，则，故此选项正确，符合题意； B．，则，故此选项错误，不符合题意； C．，，则，故此选项错误，不符合题意； D．∵， ∴有无数组解，，只是其中一组解，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 4．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．若（其中），则________ 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质． 根据合比的性质即可求解． 【详解】∵（其中）， ∴． 故答案为：． 7．已知，若，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 8.已知线段、、，且，求作，作法正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】C 【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为，可知C选项满足题意． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项． 9．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【答案】 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 10．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【答案】3 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 12．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【答案】2 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 13．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    【答案】16 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高是______厘米（结果保留到整数）． 【答案】162 【详解】解：设此人头顶至肚脐的长度为， 由题意得，黄金分割比约为，满足， 解得，则身高为． 15．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 又， ∴， 解得（不合题意，舍去），或， 故答案为： ． 解答题 16.平行四边形，是的中点，在直线上截取，交 于，求的值． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】（1）当点在上时，如图． 过点作交于点， 由为中点，则为中点， 四边形为平行四边形， ． 又， ． 由， , ． （2）当点在延长线上时，如图， 过点作交于点， 由为中点，则为中点， 四边形为平行四边形， ． 又， ． 由， ． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“”字型、“”字型即可． 17.如图，，已知，，求的长． 【难度】★★ 【答案】16 【解析】由，可得:，， 则有，代入计算得． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解． 18.如图，在中，是边上一点，，． （1）求证：； （2）如果，，，求、的长． 【难度】★★ 【答案】（1）略；（2）． 【解析】（1）证明：， ， 又， ， ． （2） 解：由（1）可得， 根据比例的合比性质，得：， 代入可解得：， 由，， 可知四边形为平行四边形， 即得：． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化． 19．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 20.如图，在平行四边形中，是上一点，与相交于点，与 的延长线相交于点，已知，，求和的长． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】四边形是平行四边形， ． 又， ，， 即，， 代入即可求得． 【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“”字型和“”字型，进行比例线段的综合应用． 21．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $