专题28.2（3 ）相似三角形的性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，从定义出发梳理对应角相等、对应边成比例的基本性质，延伸至对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，构建从基础到综合运用的学习支架。 该资料以“即学即练+典例变式+题型分类”为特色，通过证明对应角平分线比等于相似比培养推理意识，结合梯形、矩形等图形问题发展几何直观，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过多样化练习查漏补缺，提升应用能力。

专题28.2（3） 相似三角形的性质 教学目标 1. 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质； 2. 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比值规律； 3. 能利用性质进行相关的角度、边长、线段、周长、面积计算和证明； 4. 综合运用相似的判定与性质解决问题。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似三角形的性质； 难点： 综合运用相似的判定与性质解决问题。 知识点01 相似三角形的基本性质 相似三角形的定义本身就是相似三角形的基本性质 定义：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 【学法点睛】 相似三角形对应边成比例，对应方式有两种 标准格式：（k为相似比） 变形格式：或或 【即学即练】 1.如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ． 2. 如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 知识点0 2 对应线段的比、周长的比、面积的比 定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 符号语言：（以高为例） ∵△ABC∽△，AD⏊BC，⏊， ∴，，， 【即学即练】 1.如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 2.如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　） A．S1＝S3 B．S2＝2S4 C．S2＝2S1 D．S1•S3＝S2•S4 【答案】B 【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合,，即可判断D选项． 【详解】与等底同高，则 即 故A选项正确； 即 故B选项不正确； 过点，作于，交于， 即 故C正确 , 故D正确 故选B． 3. 已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 题型01 对应线段的比与周长比 【典例1】证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 【详解】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证： ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴，∠B=∠，∠BAC∠， ∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线， ∴∠BAD∠， ∴， ∴， 【变式1】．相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴ 相似三角形的对应周长之比为． 【变式2】 如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 【变式3】中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 【详解】解：在中，，，， 可得原三角形最短边为，原的周长为． 设所求相似三角形的周长为， ∵两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， ∴， 解得． 【变式4】如图，在中，．    (1)求边上的高的长度； (2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上，求正方形的边长． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 如图，设与交于点M，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为x， ∵ ∴， 得， 解得， ∴正方形的边长为． 题型02 相似三角形的面积比 【典例1】儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为，面积的差为．则这两个三角形地块的①周长比为；②面积比为；③面积之和为；④对应高的比为，其中结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可，相似三角形的周长比、对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似比为， ∴周长比为，面积比为，对应高的比为， 故①正确，②错误，④正确， 设两个三角形的面积分别，， ∵面积的差为． ∴， ∴， ∴， 即面积之和为； 故③正确； 正确的是①③④， 故选：B 【变式1】 已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 与的对应中线之比为． 【变式2】两个相似三角形的面积分别为和则它们的对应角平分线的比为_________． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积分别为和， ∴它们的面积比为， 则相似比为， 又∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应角平分线的比为(或)； 故答案为：(或)． 【变式3】已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 【变式4】两个相似三角形的最长边分别是10和6，并且它们的面积之和为68，那么较大三角形的面积是___________． 【答案】50 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得面积比，较大三角形面积为，较小三角形面积为，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别是10和6， ∴相似比为， ∴面积比为， 可设较大三角形面积为，较小三角形面积为， 则， 解得， ∴较大三角形面积为． 故答案为50． 题型03 利用相似的性质求图形的面积 【典例1】如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】9 【分析】本题考查矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 由题意可知，，且相似比为，结合的面积求出和的面积，相减即得答案． 【详解】解：∵矩形平行于， ∴， ∴， ∵被截成三等分， ∴， ∴， ∵的面积为27， ∴， 同理，， ∴阴影部分面积为， 故答案为：9． 【变式1】如图，中，，分别在，上，，，则与的面积之比为_________． 【答案】 【分析】由可判定与相似；再根据求出与的比例，也就是两个相似三角形的相似比；最后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，即可算出两个三角形的面积之比． 【详解】解：， ． ， ，即与的相似比为． ，即与的面积之比为． 【变式2】如图，中，为上一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，的面积分别为4，9，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2)30 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，的面积分别为4，9， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴的面积为． 【变式3】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 【变式4】如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)10； (2)． 【分析】此题重点考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，证明，得成比例线段，进而可以求得； （2）由，得，，则，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 的长为10． （2），的面积为m， ， ，， ， ， ， 的面积是． 题型04 利用相似的基本性质进行角度的计算与证明 【典例1】如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，如果，，，那么的度数是________． 【答案】/60度 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 【答案】60 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 【变式4】如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型05 利用相似的基本性质求线段的长度 【典例1】如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且的延长线交于点的延长线交于点．    (1)求的长； (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，通过证明，然后利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，由此证明，得到，由，求出，进而求出； （2）同理证明，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方得到，由三角形中线平分三角形面积得到，据此求出．则由可得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ∴ ． ， ， ； （2）， ． ． ， ． ． ． 【变式1】如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 【变式2】如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，由得到，代入数值，先求出，进一步即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A 【变式3】如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 【变式4】如图，已知，，D为上一点，构造菱形，点E在线段上，G为上一点，，连接交于点H． (1)求证：． (2)当G为的中点，，时，求的长． (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 证明：∵， ∴， 作于点M，则：， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． 【分析】（1）先证明，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）证明，得到，根据G为的中点，，，求出的值，根据，以及线段的和差关系求出的长即可； （3），得到，作于点M，含30度角的直角三角形的性质，得到，三线合一得到，再根据线段之间的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， 又∵G为的中点，，， ， ∴． 又∵，， ∴． （3）略 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 1．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 2．如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，如果，那么它们的对应边成比例，且对应角相等，即可解答． 【详解】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 3．已知，且与的相似比为2：3，若的面积为4，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，同时结合已知条件计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为， 设的面积为， ∵的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，从而代入数值求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 5．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故，， 故， 即， ∴． 故选：A． 6．已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 7．如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重点是利用分类讨论思想分析与的对应角关系． 根据勾股定理求出，分和，利用对应边成比例讨论即可． 【详解】在Rt中，，，，是的中点， ，， 当， ，即， 解得； 当， ，即， 解得， 或， 故答案为：或． 8. 如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 9．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． (1)求证； (2)连接，若，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再利用判定定理证明即可； （2）根据，得到对应边成比例，利用两边成比例且夹角相等证明，即可． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（三边成比例、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 【详解】（1）证明：设的交点为F， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】(1) (2)这个矩形的边长分别为30，20 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三角形相似是解题的关键． （1）由矩形性质易证明，则有；再证明四边形是矩形，得，结合，则由比例式得到关于的方程，解方程即可； （2）设，则可表示，由可求得，进而可表示出矩形的面积，由二次函数性质即可求得面积的最大值，从而求得矩形的边长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； （2）解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 12. 如图，已知与相交于点O，连接． （1）如果，，，求：． （2）分别将、、记为、、，如果是与的比例中项，求证：． 【答案】（1）6； （2）证明：分别将、、记为、、， ∵是与的比例中项， ∴， ∴， 过A作AF⊥BD于F， ∴AF是△AOD的高，也是△BOA的高， ∴， 由（1）知， ∴， ∵∠AOD=∠COB， ∴△AOD∽△COB， ∴∠ADO=∠CBO， ∴． 【分析】（1）由，易证，由性质得，从而推出，过B作BE⊥AC于E，利用同高两三角形面积比等于底的比即可； （2）、、记为、、，由是与的比例中项，得把等积变比例，利用面积比等于同高的底的比，，则，由夹角是对顶角，证出△AOD∽△COB，利用对应角相等推出即可． 【详解】（1）∵， ∴∠DAO=∠C，∠D=∠OBC， ∴， ∴， ∴， 过B作BE⊥AC于E， ∴BE是△BOC的高，也是△BOA的高， ∴， ∴； （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质综合运用问题，掌握相似三角形的证明方法，相似三角形的性质，会利用平行证相似，利用性质推面积比，进而求面积，还会由面积比证相似再证平行正反思维训练． 1．若 ，相似比为，则 与 的面积比为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案. 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为. 故选：C 2．如图，在中，，若，且，则的值为（   ） A．4 B．24 C．35 D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线得出，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 3．如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作于N，于P，由菱形的性质和直角三角形的相关计算求出，，由平移的性质证，再根据相似比求解即可． 【详解】解：作于N，于P， ∵菱形的边长为6，， ∴，，， ∴，，， ∵将菱形沿方向平移得到四边形， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：， 则点M到的距离为2． 4．如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同高三角形的面积比，理解“同高三角形面积比等于底的比”是解题关键． 先由得，根据两个三角形的面积比推出，再由推出，最后由“同高三角形的面积比等于底的比”得出结果． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的高相等， ． 故选：． 5．把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． 6．若两个相似三角形的周长之比是，且其中一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_____． 【答案】或12 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，分两种情况计算另一个三角形的面积即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是， ∴两个相似三角形的相似比为 ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴两个相似三角形的面积比为 设另一个三角形的面积为， 若已知面积的三角形是较小的三角形， 则， 解得． 若已知面积的三角形是较大的三角形， 则， 解得 故答案为：或12． 7．如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设，则，由折叠的性质得，分两种情况：分为和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，即可解决问题． 【详解】解：设， ∴， ∵折叠得到， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴长是或． 故答案为：或． 8. 如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【答案】81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 9. 如图，中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 10. 如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)吗？说明理由 (3)如果的面积为2，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：，理由如下： ， ． ． ． （3）解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 11．在中，且，点为斜边上不与端点重合的一动点，点为上一动点，连接，作，交于点． (1)【问题发现】：如图1，在中，，且，则__________． (2)【尝试探究】：如图2，在中，，且，请问（1）中的结论还成立吗？请用数学语言表述你的理由． 【答案】(1)1 (2)不成立．理由如下： 如图2，过点作，，垂足分别为点，． 同理（1）可得四边形是矩形，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，． 【详解】（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为点，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴，， ∴，均是等腰直角三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在与中， ∴（）， ∴， ∴． （2）略 12．面积法是数学学科中解决问题的常用方法，佳浩学习小组在探究与三角形相关的面积问题时，从最简单的问题入手，然后逐步拓展． 探究1：如图（1），D是的边上一点，学习小组利用面积法很容易得到了． 探究2：如图（2），四边形的对角线，交于点O，将，，，的面积分别记为，，，．学习小组发现，，，之间满足一个等量关系式． 探究3：学习小组给图（2）中的四边形增加了一个条件： 如图（3），发现能用含S₂，S₄的代数式表示，． (1)①请你写出“探究2”中的等量关系式：___________． ②请你写出“探究3”中学习小组的发现（即用含，的代数式表示出，），并加以证明． 类比应用：如图（4），D，E，F分别是的边，，上的点，且，．设的面积为m，的面积为n，试用含m，n的代数式表示四边形的面积．学习小组是这样解决的：过点A作的平行线交的延长线于点G，连接，，然后利用（1）中的结论求得四边形的面积． (2)请你补全图形，并写出推理过程． 拓展应用：如图（5），在中，，，，过点C的直线交的延长线于点F，交AB的延长线于点E． (3)当的面积为75时，直接写出的值． 【答案】(1)①或（或）；②，证明见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，能够掌握三角形面积的求法是解题的关键． （1）①与的高相等，与的高相等，则它们面积的比为底边长的比，由此即可求解；②根据平行得，则，根据与的高相等，与的高相等，推得，即可求解； （2）根据题意补全图形，且可得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则可推得，即可求解； （3）过点D作于点G，设的面积为a，的面积为b，根据特殊角度的三角函数计算得，根据（2）推得，由于的面积为75，则，结合即可计算求解． 【详解】（1）解：①（或），理由如下： ∵，， ∴， ∴； ②， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：补全图形如图（1）所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由（1）②可知，， ∴； （3）解：如图，过点D作于点G， 则， ∴， 设的面积为a，的面积为b， 根据（2）中结论可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，结合，解得，。 当时，结合，解得，。 ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2（3） 相似三角形的性质 教学目标 1. 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质； 2. 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比值规律； 3. 能利用性质进行相关的角度、边长、线段、周长、面积计算和证明； 4. 综合运用相似的判定与性质解决问题。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似三角形的性质； 难点： 综合运用相似的判定与性质解决问题。 知识点01 相似三角形的基本性质 相似三角形的定义本身就是相似三角形的基本性质 定义：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 【学法点睛】 相似三角形对应边成比例，对应方式有两种 标准格式：（k为相似比） 变形格式：或或 【即学即练】 1.如图，，，．求的度数． 2. 如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 知识点0 2 对应线段的比、周长的比、面积的比 定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 符号语言：（以高为例） ∵△ABC∽△，AD⏊BC，⏊， ∴，，， 【即学即练】 1.如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 2.如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　） A．S1＝S3 B．S2＝2S4 C．S2＝2S1 D．S1•S3＝S2•S4 3. 已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 题型01 对应线段的比与周长比 【典例1】证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 【变式1】．相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【变式2】 如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【变式3】中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 【变式4】如图，在中，．    (1)求边上的高的长度； (2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上，求正方形的边长． 题型02 相似三角形的面积比 【典例1】儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为，面积的差为．则这两个三角形地块的①周长比为；②面积比为；③面积之和为；④对应高的比为，其中结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】 已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【变式2】两个相似三角形的面积分别为和则它们的对应角平分线的比为_________． 【变式3】已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【变式4】两个相似三角形的最长边分别是10和6，并且它们的面积之和为68，那么较大三角形的面积是___________． 题型03 利用相似的性质求图形的面积 【典例1】如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，则图中阴影部分的面积是______． 【变式1】如图，中，，分别在，上，，，则与的面积之比为_________． 【变式2】如图，中，为上一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，的面积分别为4，9，求的面积． 【变式3】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【变式4】如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 题型04 利用相似的性质进行角度的计算与证明 【典例1】如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【变式1】已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，如果，，，那么的度数是________． 【变式3】如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 【变式4】如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 题型05 利用相似的基本性质求线段的长度 【典例1】如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且的延长线交于点的延长线交于点．    (1)求的长； (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【变式1】如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【变式4】如图，已知，，D为上一点，构造菱形，点E在线段上，G为上一点，，连接交于点H． (1)求证：． (2)当G为的中点，，时，求的长． (3)若，求证：． 1．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，且与的相似比为2：3，若的面积为4，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 4．如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 5．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 6．已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 7．如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 8. 如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 9．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 10．如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． (1)求证； (2)连接，若，则____________． 11. 已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 12. 如图，已知与相交于点O，连接． （1）如果，，，求：． （2）分别将、、记为、、，如果是与的比例中项，求证：． 1．若 ，相似比为，则 与 的面积比为（      ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若，且，则的值为（   ） A．4 B．24 C．35 D．49 3．如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 5．把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 6．若两个相似三角形的周长之比是，且其中一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_____． 7．如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 8. 如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 9. 如图，中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 10. 如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)吗？说明理由 (3)如果的面积为2，求的面积． 11．在中，且，点为斜边上不与端点重合的一动点，点为上一动点，连接，作，交于点． (1)【问题发现】：如图1，在中，，且，则__________． (2)【尝试探究】：如图2，在中，，且，请问（1）中的结论还成立吗？请用数学语言表述你的理由． 12．面积法是数学学科中解决问题的常用方法，佳浩学习小组在探究与三角形相关的面积问题时，从最简单的问题入手，然后逐步拓展． 探究1：如图（1），D是的边上一点，学习小组利用面积法很容易得到了． 探究2：如图（2），四边形的对角线，交于点O，将，，，的面积分别记为，，，．学习小组发现，，，之间满足一个等量关系式． 探究3：学习小组给图（2）中的四边形增加了一个条件： 如图（3），发现能用含S₂，S₄的代数式表示，． (1)①请你写出“探究2”中的等量关系式：___________． ②请你写出“探究3”中学习小组的发现（即用含，的代数式表示出，），并加以证明． 类比应用：如图（4），D，E，F分别是的边，，上的点，且，．设的面积为m，的面积为n，试用含m，n的代数式表示四边形的面积．学习小组是这样解决的：过点A作的平行线交的延长线于点G，连接，，然后利用（1）中的结论求得四边形的面积． (2)请你补全图形，并写出推理过程． 拓展应用：如图（5），在中，，，，过点C的直线交的延长线于点F，交AB的延长线于点E． (3)当的面积为75时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $