专题28.1 (2) 平行线分线段成比例（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦平行线分线段成比例定理及其推论，系统梳理三角形A/X型模型、三条平行线截两直线的对应线段关系，通过图形辨析、推理证明搭建学习支架，为相似三角形判定奠定基础。 资料以“即学即练”引导定理求证培养推理意识，通过A/X型辨析、辅助线构造等题型设计发展几何直观，结合尺规作图和古筝琴弦等实际情境强化模型观念，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺。

专题28.1 (2)平行线分线段成比例 教学目标 1. 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 2. 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），分清题设和结论； 3. 会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为相似三角形判定打基础 教学重难点 重点： 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 难点： 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），并能加以熟练运用； 知识点01 平行线分线段成比例定理1 1. 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 2. 基本图形——A型图、X型图（8字型） 模型： A型图) X型图（8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴ ∴ 【易错提醒】 “截其他两边所在的直线”包含两种情况：①截其他两边；②及其他两边的延长线或反向延长线； 【即学即练】 1. 求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例 已知：△ABC，直线l与边AB、AC分别相交于点D、E且lBC． 求证：． 知识点02 平行线分线段成比例定理2 1. 定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 模型：图1 图2 符号语言： ∵ ∵ ∴ ∴ 2. 推论（平行线等分线段定理）：两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 模型：图1 图2 符号语言： ∵，DF=FB ∵, DM=MB ∴EG=GC ∴EN=NC 【易错点睛】 “对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应具体包括： ，，，或 【即学即练】 1. 求证：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例. 已知（如图）∥∥，求证：. 题型01 A、X型图的辨析 【典例1】如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式2】如图，点F是矩形的边上一点，射线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 题型02 根据平行线分线段成比例定理1计算或推理 【典例1】如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【典例2】如图，中，点D在边上，，．求证：． 【变式1】如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则___________． 【变式2】．如图，，，，，，则线段的长是___________． 【变式3】如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式4】如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 题型03 平行线分线段成比例定理2辨析 【典例1】如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型04 根据平行线分线段成比例定理2计算或推理 【典例1】如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【典例2】如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，连接，再分别过点画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是_____________． 【变式1】如图，，若，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【变式2】古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 【变式3】如图，直线，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【变式4】如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型05 尺规作图按比例求作线段 【典例1】 已知线段a、b、c(如图所示).求作线段x, 使 a: x=b:c. 【变式1】如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【变式2】如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【变式3】已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B．C． D． 【变式4】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 题型06 添加辅助线构造成比例线段 【典例1】角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：图②，过C作，交的延长线于E． 任务： 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 【变式1】如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【变式2】中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； 【变式3】如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【变式4】如图，点，分别在的三边上，是的中点，连接并延长交于点．求的值． 1．如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，，则_____． 7．如图，，则的长度是_____． 8．如图，线段与相交于点，且，若，，，求的长． 9．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 10．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）    (1)在图①中，画出一条格点线段，使； (2)在图②中，画出格点线段，使且； (3)在图③中，作出线段的三等分点 1．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 2．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A．B．C． D． 3．如图，已知 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，若，，则的长为_____． 6．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 7．如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 8．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 9．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 10．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 (2)平行线分线段成比例 教学目标 1. 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 2. 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），分清题设和结论； 3. 会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为相似三角形判定打基础 教学重难点 重点： 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 难点： 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），并能加以熟练运用； 知识点01 平行线分线段成比例定理1 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 模型：图1 (A型图) 图2（X型图） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴ ∴ 【易错提醒】 “截其他两边所在的直线”包含两种情况：①截其他两边；②及其他两边的延长线或反向延长线； 【即学即练】 1. 求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例 已知：△ABC，直线l与边AB、AC分别相交于点D、E且lBC． 求证：． 【详解】解：如图所示，连接CD，BE，设E到AB的距离为，到BC的距离为 ∴ ∴， 同理：， 又根据同底等高三角形面积相等的性质可知， ∴ 知识点02 平行线分线段成比例定理2 1. 定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 模型：图1 图2 符号语言： ∵ ∵ ∴ ∴ 2. 推论（平行线等分线段定理）：两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 模型：图1 图2 符号语言： ∵，DF=FB ∵, DM=MB ∴EG=GC ∴EN=NC 【易错点睛】 “对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应具体包括： ，，，或 【即学即练】 1. 求证：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例. 已知（如图）∥∥，求证：. 【答案】见解析. 【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证． 【详解】 证明：如果AC//DF，根据平行四边形的性质可知，AB=DE,BC=EF ∴ 如果，AC与DE不平行，过点E作直线MN∥AC，交、于点G、H， ∵∥∥，MN∥AC， ∴四边形ABEG、BCHE是平行四边形 ∴AB=GE,BC=EH, 根据平行线分线段成比例定理1，可知 ∴ 【点睛】当AB=BC时，我们就能得到DE=EF，于是就能证明平行线等分线段定理。 题型01 A、X型图的辨析 【典例1】如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理对选项进行判断． 【详解】解：， ，，，. C选项结论不成立. 故选：C． 【变式1】如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，DF=EC, ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ，故D不正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，点F是矩形的边上一点，射线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，AB=DC， ∴故A结论正确，，不符合题意； 故B结论正确，，不符合题意； 故C结论错误，符合题意； ，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【变式3】如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【详解】解：对A、B选项．∵，， ∴， ∴，，故AB正确，不符合题意； ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵，而， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：D． 【变式4】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型02 根据平行线分线段成比例定理1计算或推理 【典例1】如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 【典例2】如图，中，点D在边上，，．求证：． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【变式1】如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】．如图，，，，，，则线段的长是___________． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ， ，，， ， 解得：； （2）∵， ，即， 解得：． 【变式4】如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 由得到，由得到，进而求解即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即， 是和的比例中项． 题型03 平行线分线段成比例定理2辨析 【典例1】如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式1】如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据一组平行线分线段得到对应线段成比例，据此解答 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 【变式2】如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴，，， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、D的比例式正确，不符合题意；选项C的比例式不正确，符合题意； 故选：C． 【变式3】如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 【变式4】如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 题型04 根据平行线分线段成比例定理2计算或推理 【典例1】如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 【典例2】如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，连接，再分别过点画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是_____________． 【答案】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【分析】本题根据平行线分线段成比例即可求解．此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 【详解】解：根据题意可得，这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ． 【变式1】如图，，若，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，可得，代入相应数值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线所截线段对应成比例，根据平行线所截线段对应成比例得，进而求解即可． 【详解】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式3】如图，直线，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 【变式4】如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， ∴． 故选：D． 题型05 尺规作图按比例求作线段 【典例1】 已知线段a、b、c(如图所示).求作线段x, 使 a: x=b:c. 【分析】本题是一个基本的作图题，是平行线分线段成比例定理1的运用.在作图时要先在条射线上截取两条已知长度的线段，再在另一条射线上截取第三条已知线段，把求作的线段放在“第四比例项”的位置上。 【详解】解：如图，(1)作以点0为端点的射线 OM和 ON; (2)在OM 上顺次截取OA=b,AB=c; (3)在ON 上截取OC=a; (4)连接AC,过点B 作 BD//AC, 交 ON于点 D. 线段CD就是所求的线段x. 【变式1】如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【分析】本题主要考查了复杂作图、比例线段等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 如图：先作出射线，在射线上依次截取线段，连接，作交于C，点C即为所求． 【详解】解：如图所示：点C即为所求． 【变式2】如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【详解】解：如图，线段x即为所作． 【变式3】已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 【变式4】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点P，则点P即为所求作的点； （2）取格点E，F，连接交于点H，则点H即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作的点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点P是的中点； （2）解：如图所示，点H即为所求作的点， ∵， ∴， ∴， ∵与同高， ∴． 题型06 添加辅助线构造成比例线段 【典例1】角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：图②，过C作，交的延长线于E． 任务： 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 【分析】根据可得，，结合条件可推出，即可求证； 【详解】证明：∵， ，，， ， ， ， ． 【变式1】如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． 【变式2】中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； 【变式3】如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【答案】8 【分析】过点A作于点H，由，由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理求得，由，得到，则，由D是的中点，得到是的中位线，求得，进一步得到DF=EF-DE=8 【详解】解：过点A作于点H， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴EF ∴． 【变式4】如图，点，分别在的三边上，是的中点，连接并延长交于点．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 过点作，交于点，可证．同理，可得，，；由，得，于是；设，则，，，从而得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 则 设，则， ，解得， 故答案为： 1．如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例． 2．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 4．已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 5．如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴，. 6．如图，在中，，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 7．如图，，则的长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例得到，继而解得，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴. 8．如图，线段与相交于点，且，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是利用平行线的性质识别成比例的线段，通过建立等式求解未知线段长度． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 9．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 10．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）    (1)在图①中，画出一条格点线段，使； (2)在图②中，画出格点线段，使且； (3)在图③中，作出线段的三等分点 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据格点特点作即可； （2）根据格点特点作且即可； （3）取格点K，连接，取格点T，R，连接交于P，取格点M、N，连接交于点Q，则P、Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段为所求作的线段，（答案不唯一）    （2）解：如图，线段为所求作的线段，（答案不唯一）    （3）解：如图，点P、Q为所求作的点，    【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 1．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 2．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 3．如图，已知 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，根据以上知识，结合图形逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 故选：D ． 4．如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 5．如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 6．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 7．如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点F作，交于M，，交于，可先得的长，则，再证四边形为矩形， 可得，由勾股定理可得的长． 【详解】解：过点F作，交于M，，交于， 四边形为矩形， ，，． 点E是的中点， ． ． 点F是的中点， ． ， ，， ． ， 四边形为矩形， ． ． ． ． 8．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 9．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 10．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $