25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念及直接开平方法，通过回顾方程、一元一次方程等旧知，以“想一想”引导学生类比迁移，构建从整式方程到一元二次方程的知识支架，系统呈现定义、一般形式、系数及根的概念。 其亮点在于以实例剖析（如判断方程类型、化为一般形式）培养抽象能力，通过直接开平方法步骤（转化为x²=p或(x+n)²=p）发展推理意识，结合矩形挖圆、汽车增长率等问题渗透模型意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

一元二次方程的概念 模块一： 一元二次方程概念 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 200cm 150cm (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 整理，得 根据题意有， 6.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 7.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0. 求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 模块二： 直接开平方法 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. 例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. ∴ x1= ， x2= (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 例3 解下列方程： 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; x2= (D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x2=-2,解方程，得x=± (B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D (1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 . 3. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)2x2＝50； (3)(x＋1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5 x1＝3,x2＝-3 x1＝2,x2＝－1 2.填空: 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝5, x2＝－5； 解：x1＝1, x2＝－3. 4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 5.解方程: 解： 方程的两根为 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 $