25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，涵盖概念、一般形式、解及应用等核心内容。通过复习方程分类引入，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等实际问题，建立与整式方程的联系，搭建学习支架。 其亮点在于以实际情境（如人体雕像比例问题）培养数学眼光（抽象能力），通过问题推导与观察总结发展数学思维（推理意识），用方程表达现实问题体现数学语言（模型意识）。含视频辅助，练习层层递进，小结系统梳理知识，助力学生提升应用能力，教师可高效教学。

方程：含有未知数的等式叫作方程. 一元一次方程 二元一次方程 整式方程（分母不含未知数） 元：未知数 分式方程（分母含有未知数） 次：指数 复习回顾 1.下列哪些式子是方程，是什么方程？ 2+6=8 2x+3=9 x=22 x+3y=8 x−5<18 −2=9 × √ 一元一次方程 √ √ × 不等式 √ 二元一次方程 分式方程 x²+3x=8 5x+6=22 4+=8 √ √ √ 一个未知数，指数是2 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 概念.什么叫一元二次方程？ 1、只含一个未知数， 2、未知数的最高指数是2 3、整式方程 叫作一元二次方程. x²+3x=8 探索新知 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.依题意得： 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 100-2x 50-2x (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A B C 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 观察与思考 请你写出一个一元二次方程 x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② x2+5x−25 = 0 ③ 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 知识要点 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） 项 系数 二次项 ax2 a 一次项 bx b 常数项 c 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 特殊形式 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 下列方程：① =5；② 8x2=x；③x3−4x=0； ④ ax2+2x−3=0；⑤ x2=3y+1；⑥ =x−1； ⑦ x(2x−3)=2x(x−1). 其中一定是一元二次方程的是__________.（填序号） 提示：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. ② 牛刀小试 练把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 【选自教材第3页 练习 第1题】 （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； 解：一般形式：5x2–4x–1=0 二次项系数：5 一次项系数：–4 常数项：–1 解：一般形式：4x2–81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：–81 （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. 解：一般形式：4x2+8x–25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：–25 解：一般形式：3x2–7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：–7 常数项：1 复习巩固 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）4x2+5x=81； （2）x(x+)=0； 解：一般形式：4x2+5x–81=0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：–81 解：一般形式：x2+x=0 二次项系数：1 一次项系数： 常数项：0 复习巩固 （3）(2x–3)(x–1)=0； （4）(3x–2)(x+1)=x(2x+1). 解：一般形式：2x2–5x+3=0 二次项系数：2 一次项系数：–5 常数项：3 解：一般形式：x2–2=0 二次项系数：1 一次项系数：0 常数项：–2 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 牛刀小试 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. √ √ 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）. 点击图片播放视频 随堂练习 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 3x+1=0 B. x2–3=0 C. y+x2=4 D. +x2=2 2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 B C 3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 4.已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______. C 3 5.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 【选自教材第3页 练习 第2题】 解：设正方形的边长为 x，列得方程 4x2=25，化为一般形式为 4x2–25=0. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：设矩形的长为 x，列得方程 x(x–2)=100， 化为一般形式为 x2–2x–100=0. （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：设较短木条的长为 x，列得方程 x·1=(1–x)2，化为一般形式为 x2–3x+1=0. 课堂小结 一元二次方程 概念 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 是整式方程； 只含一个未知数； 未知数的最高次数是2. a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 习题 25.1 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是 2π，求半径 r； 解：由圆的面积公式，得 πr2=2π，所以 r2=2，即 r2–2=0. （2）一个直角三角形的两条直角边的长相差 3，面积为 9，求较长直角边的长 x； 解：由直角三角形的面积公式，得 x(x–3)=9， 所以 x2–3x–18=0. （3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长为 5，求较短直角边的长. 解：设较短直角边的长为 x，由勾股定理，得x2+(2x)2=52，所以 x2–5=0. 3.下列哪些数是一元二次方程 x2+x–12=0 的根？为什么？ – 4，– 3，– 2，– 1，0，1，2，3，4. 解：– 4，3是方程 x2+x–12=0 的根. 当x取– 4或3时，能使方程左右两边相等. 综合运用 4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式. 解：设田阔 x 步，长(x+12)步，由题意，得x(x+12)=864，化为一般形式为 x2+12x–864=0. 拓广探索 5.如果 2 是方程 x2– c = 0的一个根，求解如下问题： （1）常数 c 是多少？ （2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根. 解：（1）由题意，可知 22– c = 0，所以 c=4. （2）有，因为 c=4，所以原方程为 x2–4=0，所以 x =±2，所以这个方程的另一个根为 –2. $