第26《二次函数》单元测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 新人教版九年级上册《二次函数》单元卷，以飞盘运动、遮阳棚设计等真实情境为载体，覆盖函数定义、图像性质及应用，梯度设计适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像性质|结合图像辨析系数关系，考查推理意识| |填空题|6/18|对称变换、最值应用|通过表格数据分析函数特征，强化数据意识| |解答题|10/102|实际建模（如T恤销售利润）、综合探究（如“同簇二次函数”）|设置飞盘轨迹、实心球投掷等问题，突出应用意识与创新思维|

新人教版数学九年级上册第26章《二次函数》单元测试题. 班级 姓名 等级 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2.下列二次函数中，二次项系数是的是 （ ） A. B. C. D. 3.对于抛物线，下列判断不正确的是 （ ） A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标是 C.对称轴为直线 D.当时，y随x的增大而增大 4. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是 （ ） A.直线 B. 轴 C.直线 D.直线 5.已知二次函数的图象如图1所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是 （ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6.已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7.已知二次函数的图像如图2所示，下列结论错误的是（ 　　 ）． A. ， B. ， C.函数的最大值是 D. 8. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有 （ ） A. 4个 B. 3 C. 2个 D. 1个 9. 二次函数（）的部分图象如图3，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为，则下列说法：①；②图象与y轴交于；③；④若方程的两个根为，，且，则，；⑤若二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得，则n一定等于2，正确的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11.已知函数，当_________时，它是二次函数． 12在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 _________． 13. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后_________秒停下来． 14. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 1 3 4 5 … … … 根据表，下列判断正确的是______． （1）该抛物线开口向上； （2）该抛物线与轴的交点是 （3）该抛物线一定经过点（4）该抛物线在对称轴左侧部分是下降的； （5）该抛物线的对称轴是直线； 15.已知一条抛物线的形状与抛物线的开口和形状相同，且与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为________． 16.定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有 个. 三、解答题（本大题共有10个小题，共102分） 17.（本小题满分7分） 已知是y关于x的二次函数，求m的值． 18. （本小题满分9分） 若抛物线的顶点坐标是，并且抛物线经过点B坐标为，求出该抛物线的关系式，对称轴，写出抛物线的一条性质． 19. （本小题满分9分） 某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． （1）分别求出与所在抛物线的表达式． （2）若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 20. （本小题满分10分） 若两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； （2）已知关于x的二次函数和，其中的图像经过点，，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 21. （本小题满分10分） 飞盘运动（如图①）作为绝对的有氧运动，不会有太激烈的竞技属性，老少皆宜．小云是一名飞盘运动爱好者，一个周末，他来到山坡处进行飞盘投掷运动．以飞盘未飞出前的位置O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似的看作抛物线的一部分，山坡上有一堵墙，其竖直截面为四边形，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为12米、垂直距离为4米；飞盘在空中飞行的最大高度为5米． （1）求抛物线的解析式． （2）飞盘能飞越这堵墙吗？请说明理由． 22. （本小题满分12分） 某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降10元，可多售出100件，但最低单价应高于购进的价格；第二月结束后．批发商核对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低x元． （1）填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 　 　 60 销售量 200 　 　 　 　 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少？ （3）如果批发商希望通过销售这批T恤获利最大，那么最大利润可达到多少元？（直接写出答案） 23. （本小题满分10分） 如图二次函数的图像与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为，与y轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式，点B的坐标是 ． （2）在x轴是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由； 24. （本小题满分10分） 综合与实践 问题背景： 为贯彻落实相关精神，各地市近年来普遍提升了中考体育的分值，某市自2026年起实施新的中考体育方案，总分由原来的60分提升至70分，其中掷实心球是该市中考体育考试选考项目之一． 相关数据： 根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球落地点到起点的水平距离大于或等于时，即可获得满分． 数据收集： 体育课上，小明投掷实心球，并利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的数据如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 数学建模： 建立如图所示的平面直角坐标系，根据表中的数据描点、连线，小明发现，实心球的运动路径是二次函数图象的一部分． （1）求实心球运动路径对应的函数表达式，并求出其运动过程中的最大高度． 问题解决： （2）投掷实心球后，在实心球运动的过程中，当实心球的竖直高度为时，求实心球到起点的水平距离． （3）当根据该市中考体育考试评分标准（男生版），判断小明在此次投掷中是否能得到满分，请说明理由． 25. （本小题满分12分） 已知：二次函数（a为常数，且）的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）分别求点A、B的坐标； （2）若是直角三角形，求该二次函数相应的表达式； （3）当时，一次函数的图像过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图像上一点，过N点作y轴的平行线交二次函数图像于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标． 26 （本小题满分13分） 如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． （1）求抛物线的解析式； （2）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． （3）设点E的棋坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； （4）连接，若的面积恰好等于面积的，请求出此时点F的坐标． 参考答案： 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4. D 5.C 6.B 7.B 8. B 9. C 10. C 二、填空题 11.1 12 13. 14.（2）（3）（5） 15. 16. 3个 三、解答题 17. 解：∵是y关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 18. 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式可设为， 把点代入得， 解得， 所以该抛物线的解析式为， 即，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴的右侧y随x的增大而增大． 19. （1）解：根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． 根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． （2）解：∵伞盖两端之间的水平距离为， ∴到点A的横坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴（米）， 故伞盖端点到地面的距离为． 20. （1）解：∵两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． ∴与是“同簇二次函数”． （2）解：把点代入，得 ， 解得， ∴，， ∴的开口向上，抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴， ∵与为“同簇二次函数”， ∴的开口向上，抛物线的顶点坐标为 ∴，， 解得， ∴函数的表达式为或， 抛物线的对称轴为直线， ∵，且， 根据抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大性质，得到 ∴当时，取得最大值，且为． 21. （1）解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得，由墙宽米，与x轴平行， 得， 当时， 由， 故能飞越墙． 22. （1）解：∵单价每降10元，可多售出100件，设第二个月单价降低x元， ∴二月份的单价为元，销售数量为件，清仓时数量为件， 故答案为：元；件；件． （2）解：根据题意，得 ， 整理，得， 解得，∴ ∵，∴都符合要求， 故第二个月的单价应该是95元或85元． （3）解：设销售完这批货获得的利润为y元，根据题意，得， 整理得， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为9000，此时符合题意， 故批发商希望通过销售这批T恤获利最大，最大利润可达到9000元． 23. （1）解：把，点分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为， 令，得， 解得， 故点， 故答案为：． （2）解：存在这样的点P使得是等腰三角形，且坐标分别为，，，．理由如下： ∵点，点，点， ∴， 当点在x轴的负半轴，且时，故点； 当点在x轴的正半轴，且时，故点； 当点在x轴的正半轴，且时，，故点； 当点在x轴的正半轴，且时，设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得，故点； 故存在这样的点P使得是等腰三角形，且坐标分别为，，，． 24. （1）解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故抛物线的解析式为， ， 故抛物线有最大值，且当时，函数取得最大值，且最大值为； （2）解：根据题意，当时，得， 整理，得， 故或， 解得或， 因为实心球到起点的距离是一个正数， 舍去， 故， 答：实心球的竖直高度为时，实心球到起点的水平距离为． （3）解：当时，得， 整理，得， 解得， 因为实心球到起点的距离是一个正数， 舍去， 故， 因为， 故， 故， 由实心球落地点到起点的水平距离大于或等于时，即可获得满分． 故小明在此次投掷中不能得到满分． 25. （1）解：令， ∵， ∴， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴． （2）解：∵， ∴令 ∴， ∵，∵， ∴， 连接， ∵， ∴都不能是直角， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴抛物线的解析式为． （3）解：当时，抛物线解析式， ∴对称轴，， ∵一次函数的图像过， ∴， 解得 ∴直线解析式， ∴， ∴， 设 ∴， ∵， ∴时，四边形是平行四边形， ∴， ∴或， 解得， ∴或或或与点Q重合，舍去， 故点N的坐标为或或． 26. （1）解：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且， 故点C的坐标为， 解得 抛物线的解析式为. （2）解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为， 由抛物线开口向下， 故当时，；当或时，， ∵点都在抛物线上，且， ∴，， ∴. （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点A的坐标为，点C的坐标为，点B的坐标为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵的面积恰好等于面积的， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； 故点F的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $