北京市海淀区人大附中2025～2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025-2026学年度第一学期初三年级数学练习1 2025.8 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，27道题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年末，人工智能公司在全球范围内迅速发展．据统计，其平台某月（按30天计算）处理的用户请求量约为次，据此推断，该平台平均每日处理的用户请求量约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 7. 已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题 二、填空题（共18分，第9-14题，每题2分，第15-16题，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式：________． 11. 计算：______． 12. 用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 13. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 14. 某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 15. 已知 为抛物线上任意两点，当时，对于，总有，则的取值范围是 _____． 16. 某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 三、解答题（共66分，第17-18题，每题5分，第19-21题，每题6分，第22题5分，第23-25题，每题6分，第26题8分，第27题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解不等式组：． 18. 若，且，求的值． 19. 判断下列命题是真命题还是假命题，若为真命题，请写出已知，求证，再进行证明；若为假命题，请直接画出反例． （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）若一个三角形一边上的中线与该边所对角的角平分线重合，则该三角形为等腰三角形． 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 21. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移1个单位得到的． （1）直接写出k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，经过点，直线l经过点A，B． （1）求直线l的表达式； （2）点是抛物线上一点，其中，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 26. 在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． （1）当时，如图1，若，，求线段的长； （2）当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段关于点的“中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 2025-2026学年度第一学期初三年级数学练习1 2025.8 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，27道题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 第二部分非选择题 二、填空题（共18分，第9-14题，每题2分，第15-16题，每题3分） 【9题答案】 【答案】x≥4 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或##或 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共66分，第17-18题，每题5分，第19-21题，每题6分，第22题5分，第23-25题，每题6分，第26题8分，第27题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】（1） 该命题为假命题，反例如下： 如图， ，，四边形是等腰梯形，不是平行四边形． （2） 该命题为真命题，证明如下： 如图，在中，平分，交于点D，点D是的中点． 求值：是等腰三角形． 证明：∵延长至点E，使得， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【20题答案】 【答案】（1）且 （2） 证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 【21题答案】 【答案】 【22题答案】 【答案】（1）， （2） 【23题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【24题答案】 【答案】（1） （2）线段的长有最大值，最大值为 【25题答案】 【答案】（1） 如图： （2）①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【26题答案】 【答案】（1） （2） 根据题意作图如下： 线段，，之间的数量关系为，证明如下： 过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 连接，，， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 取的中点G，连接， ∵点G是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即． 【27题答案】 【答案】（1） 点，，，为线段关于点的“中顶点”： （2）满足条件的的取值范围是； （3）的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $