河北省沧州市多校联考2026-2027学年高三上学期开学摸底检测数学试题

2027届高三摸底检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 9 10 11 答案 C A A D B B B B AB BC ABD 12.-2W2 1 13.2 14.264 15.解：(1)由题易得， f(x)-In/2x-i-zln(2x-1) …2分 广闲-点.-r因点 …4分 (2)由(1)知， …8分 n=a,+a2+a,+…+an 则 -》6r店》+ 2n+1 …12分 = n 即数列{a的前n项和 2n+1,..… …13分 v分 2 a b sinB 16.解：(1)由正弦定理sinA sinB,得2 …3分 sinB=v21 解 7 …4分 又a>b,所以A>B,即( 所以 osB=-sinB2 …6分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA→7=4+c2-2c, 8分 解得C=3或C=-1(舍)，… …9分 在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB·BD.cos∠ABD =9+21-6i-cos+∠ABC …12分 …13分 AD=9+21+6N2ix2I=48 所以 …14分 所以AD=4V5 …15分 17.解：(1)证明：如图，取PB的中点M,连接AM,因为PA=AB,所以AM⊥PB, 又平面APB⊥平面CPB,平面APB∩平面CPB=PB,所以AM⊥平面CPB,…2分 又CBC平面CPB,所以AM⊥CB, …3分 又PA⊥底面ABCD,CBC底面ABCD,所以PA⊥CB,…4分 又PA∩AM=A, 所以CB⊥平面APB,又ABc平面APB, 所以CB⊥AB 6分 (2)因为AD/IBC,所以AD⊥AB, 。。。。。。。。。。。。 …7分 又PA⊥底面ABCD,所以PA,AD,AB两两垂直，如图，以点A为原点，AB,AD,AP所在直 线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,00),B(2,00),C(2,2,0)D(0,3,0) P(0,0,2) AM=(1,0,1).PD=(0,3,-2）.CD=(-2,1,0) …10分 由(1)可知，AM为平面CPB的一个法向量，…。 …11分 设平面CPD的一个法向量i=(x,少，2)， [元.CD=-2x+y=0, 则有i:P币=3y-2z=0,可取i=(1,23) …13分 设平面CPB与平面CPD的夹角为O, n.AM 2√7 cos= 7 则 列A☑ 2W7 所以平面CPB与平面CPD的夹角的余弦值为7.…15分 XK B 18.解：(1)由题意 x-ns) 1分 所以X的分布列为 x--c k=0,1,2,3,4,5,…3分 E(X)=p=。 X的数学期 2 …4分 X的方差 x)=p-p)-} …5分 (2)(i)由题意可知随机变量Y的可能取值为2,3,4， 则P(Y=2)=p2+1-p2 6分 P(Y=3)=(1-p)p2+p1-p)}2 …7分 P(Y=4)=p(1-p)p2+(1-p)p1-p)2 8分 所以P(Y≤4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4) =p2+1-p)2+(1-p)p2+p1-p)2+p(1-p)p2+(1-p)p1-p)2 =1-2p2+4p3-2p4. …10分 (i)P(Y=17）=I-p)p2+p1-p9 。。。。。。。。 …11分 P(Y=18)=1-p)p°+p1-p) .…12分 P(Y=19)=1-p)°p°+p'1-p) …13分 P(Y=20)=1-p)°p"+p'1-p)+21-p)p0 …14分 PY>18)=P(Y=19)+P(Y=20)=1-p)°p0+p'1-p)+1-p)'p1+p'1-p)+ 21-p)°p°=21-p)°p° 15分 PY>16)=P(Y=17)+P(Y=18)+P(Y=19)+P(Y=20) =1-p)p'+p1-p)°+1-p)p°+p1-p)°+21-p)'p9 =21-p)p(1-p+p2）+21-p)°p =21-p)p3.…。 …16分 P(Y>18Y>16)= P(Y>18)_21-p)°p 所 P(Y>16) 20-p)p=(1-p)p …l7分 19.解：(1)设双曲线的半焦距长为C, 当直线1与X轴垂直时，A,B两点的横坐标为C, c2 y2 .b2 所以a6解得y2,上 y=± a, 2分 A=2 -=6 所以 a =2 又a2,c2=a2+6,得a=1,c=2,b=5 …3分 -上=1 故C的方程为 3 。。。。。。。 …4分 (2)证明：由1)得F(-2,0）,B(2,0),设直线1的方程为x=m四+2，点A(,),B(:,), x=my+2, x2、2 =1, 联立方程 3 理得（6m2-2+12my+9=0 -12m 则片+5 9 Bm13m26分 ≤m2< 由直线I与双曲线C的右支交于A,B两点，得 …7分 要证点5在以AB为直径的圆外，只需证AFB>0即可， 又FA=(x+2,),FB=(+2,) 又x=my+2,为3=my2+2, 所以F1-FB=(m+4m+4+y=(m2+14+4m(0y+⅓)+16 …8分 9(or+1+48m2+16 9m2-7 4 3m2-13m2-1 =3m-33m-, 0sm2< 3,得3m2-1<0, 4 3- ->0 所以3m2-1 9分 所以FA:FB>0,即点F在以AB为直径的圆外. …10分 (3)假设在少轴上存在点M,使△M4B为等边三角形，设线段AB的中点为G(g,少）， MG3 则MG⊥AB,且AB2 …11分 电上5=当26m -2 3m2-1, X3=my3+2= 3m2-1. …13分 因为MG⊥AB,所以直线MG的斜率k=-m, wa=i(p-2i+mn2 所以 …14分 4×9 6m2+6 3m2-1 3m2-1 …15分 MG V1+m 3m2-1 5 AB 6m2+6 3V1+m2 2 所以 3m2-1 ,…16分 1 3 因为方程3V1+m2 2无解， 所以在y轴上不存在点M,使△MAB为等边三角形.…I7分 2027届高三摸底检测 数学 （时间：120分钟　　满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是抛物线的焦点，则 A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知复数满足，则的共轭复数 A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足为偶函数，且，则 A． B． C． D． 5．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为 A．6 B．12 C．16 D．24 6．在等腰梯形中，，，，记，，则 A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面面积为，其内切球的表面积为，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 8．已知数列满足，则 A．250 B．500 C．550 D．1000 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组互不相同的样本数据，，，…，的平均数、中位数和方差分别为，，，其中和分别是这10个数中的最小值和最大值，设，数据，，，…，的平均数、中位数和方差分别为，，，则 A． B． C． D． 10．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有 A． B． C． D． 11．已知实数，满足，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________． 13．已知函数存在两个极值点，，则________． 14．现有4种颜色，给3张不同的卡片正反面涂色，要求三张正面颜色各不相同、三张反面颜色各不相同，且每张卡片正反两面颜色不同，则不同的涂色方法共有________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，曲线在点处的切线斜率为． （1）求的表达式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且，，． （1）求； （2）若点满足，为钝角，，求线段的长． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，且平面平面． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 甲、乙两人进行羽毛球比赛，各场比赛相互独立，单场甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若甲、乙进行5场比赛，设随机变量为比赛中甲获胜的场数，当时，求的分布列、数学期望与方差． （2）比赛终止规则：比赛过程中若任意一方连续赢得两场，则比赛终止；若全程无人达成两连胜，则进行场后比赛终止．记随机变量为比赛终止时已完成的场数． （i）求； （ii）当时，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． （1）求的方程． （2）证明：点在以为直径的圆外． （3）在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $