奥数讲义 第6讲 乘法中的巧算（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第 6 讲 乘法中的巧算 核心方法：凑整速算 ｜ 拆和拆差 ｜ 黄金搭档 ｜ 尾 5 自乘 【课程信息】 项目 内容 讲次 第 6 讲 专题 乘法中的巧算 ｜ 乘法速算技巧 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 核心方法 凑整速算；整十百千±零头拆数；黄金搭档（5×2＝10、25×4＝100、125×8＝1000）；乘 5、25、125 巧算；个位是 5 的数自乘 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 掌握四类乘法速算模型：乘 11、101、1001；乘 9、99、999；乘 5、25、125（含衍生数 15、75、375、625、875）；个位是 5 的数自乘。能把接近整十、整百、整千的乘数拆成“整±零头”，用乘法分配律简算；熟记黄金搭档，会用“乘搭档、除搭档”还原算式；算完主动验算。 过程与方法 经历“观察乘数特征→识别速算模型→拆分变形→口算凑整→结果验算”的完整流程；体会“凑整”思想，理解“变形前后数值不变”的原则。 思维品质 提升数感与观察能力；能区分不同速算模型的适用条件，不盲目套公式；养成验算习惯，减少计算失误。 情感与应用 感受速算技巧的魅力，提升大数乘法的计算速度与信心，体验“先观察、再巧算”的成就感。 【前言：速算魔术秀】—— 乘法速算技巧 · 凑整魔法—— 同学们，欢迎来到“速算魔术秀”！老师不用列竖式，就能瞬间报出答案——38×101，脱口而出 3838；64×25，马上回答 1600。你想不想学会这个魔法？ 其实呀，魔术的秘诀就藏在乘法运算律里：101＝100＋1，25＝100÷4。只要把乘数“变身”成整十、整百、整千，计算就会又对又快。今天，我们就一起来揭开乘法巧算的秘密！ 核心思想：凑整！ 把乘数转化成“整十、整百、整千 ± 零头”，再运用乘法交换律、结合律、分配律简算。⚠ 注意：速算技巧只是工具，变形前后算式大小必须不变，做完最好简单验算。 一、知识导航 本讲一共要认识四类经典的乘法速算模型。先看一张“总览地图”，再一类一类地学，最后掌握“解题六步法”。 图 1 乘法巧算的四大速算模型 1. 模型①：乘数为 11、101、1001（比整十、整百、整千大 1，拆成“和”） 规律：11＝10＋1，101＝100＋1，1001＝1000＋1。 　　a×11＝a×10＋a；　a×101＝a×100＋a；　a×1001＝a×1000＋a 例：48×101＝48×100＋48＝4848。 拓展：遇到 201、1002、6001 等，同样拆成“整百/千±零头”，如 305×201＝305×200＋305。 2. 模型②：乘数为 9、99、999（比整十、整百、整千小 1，拆成“差”） 规律：9＝10−1，99＝100−1，999＝1000−1。 　　a×9＝a×10−a；　a×99＝a×100−a；　a×999＝a×1000−a　（注意是减法！） 例：46×99＝46×100−46＝4554。 拓展：遇到 98、102、9998，同样拆成“整±零头”：98＝100−2，102＝100＋2，9998＝10000−2。 3. 模型③：乘数为 5、25、125（黄金搭档凑整） 下面三对数字是形影不离的“黄金搭档”，见到它们就想到凑整： 图 2 黄金搭档（凑整搭档） 技巧：给乘数成对补出搭档 2、4、8，凑出 10、100、1000；为保证算式大小不变，后面再除以同一个数。 　　×5 → ×10÷2；　×25 → ×100÷4；　×125 → ×1000÷8 拓展衍生数：15＝5×3（或 10＋5）；75＝25×3；375＝125×3；625＝125×5；875＝125×7，拆成标准组合再用结合律。 4. 模型④：个位是 5 的相同数自乘 　　a5×a5：末两位固定写 25；高位＝前面部分×(前面部分＋1) 例：45×45，高位 4×(4＋1)＝20，末尾写 25，结果 2025。 该方法同样适用于多位数，如 705×705：高位 70×71＝4970，末尾写 25，结果 497025。 5. 解题六步法 图 3 解题六步法 ① 观察乘数，识别属于哪一类速算模型；② 把乘数拆成“整十/百/千 ± 小零头”，保证拆分前后数字不变；③ 选用乘法分配律、结合律变形算式；④ 口算进行凑整计算；⑤ 算出结果；⑥ 简单验算（估算或小竖式核对）。 二、典例精讲 学完四类模型，我们来实战。每道例题都按“读题 → 分析 → 详解 → 方法点睛”四步进行，注意体会一题多解与易错点。 例 1【模型① 拆和速算：×11、×101、×1001】 题目：计算。 （1）23×11　　（2）48×101　　（3）306×1001 （4）生活应用：学校图书室有 101 排书架，每排书架能放 214 本书，图书室一共能放多少本书？ 分析：11＝10＋1、101＝100＋1、1001＝1000＋1，把乘数拆成“整十/百/千＋1”，再用乘法分配律展开。 图 5 拆数巧算示意（48×101） 详解： （1）23×11＝23×(10＋1)＝23×10＋23×1＝230＋23＝253 （2）48×101＝48×(100＋1)＝48×100＋48×1＝4800＋48＝4848 （3）306×1001＝306×(1000＋1)＝306×1000＋306×1＝306000＋306＝306306 （4）214×101＝214×(100＋1)＝214×100＋214×1＝21400＋214＝21614（本） 一题多解（第(1)题）： 23×11 也可以分步算：23×1＝23，23×10＝230，230＋23＝253。两种方法答案相同，殊途同归。 💡 【方法点睛】 乘数比整十、整百、整千大 1，就拆成“整＋1”，分配律展开，把大数乘法变成“整十百千乘法＋原数”两步口算。 例 2【模型② 拆差速算：×9、×99、×999】 题目：计算。 （1）46×9　　（2）358×99　　（3）847×999 （4）火眼金睛：小明计算 36×99，写成 36×100＋36＝3636，他错在哪里？正确的答案是多少？ 分析：9＝10−1、99＝100−1、999＝1000−1，把乘数拆成“整十/百/千−1”，分配律展开，注意中间是“减号”。 详解： （1）46×9＝46×(10−1)＝46×10−46×1＝460−46＝414 （2）358×99＝358×(100−1)＝358×100−358×1＝35800−358＝35442 （3）847×999＝847×(1000−1)＝847×1000−847×1＝847000−847＝846153 （4）小明把 99 当成了 100＋1，符号搞反了。99＝100−1，正确应为：36×99＝36×100−36＝3600−36＝3564 💡 【方法点睛】 乘数比整十、整百、整千小 1，拆成“整−1”，分配律展开时中间是“减号”！这是最容易错的地方，算完要核对符号。 例 3【模型③ 黄金搭档：×5、×25、×125】 题目：计算。 （1）124×5　　（2）76×25　　（3）64×125 （4）生活应用：一箱酸奶有 25 瓶，超市进了 48 箱，一共有多少瓶？ 分析：5×2＝10、25×4＝100、125×8＝1000。乘 5 先 ×10 再 ÷2； 乘 25 先 ×100 再 ÷4；乘 125 先 ×1000 再 ÷8；也可以给乘数补出搭档，用结合律凑整。 详解： （1）124×5＝124×10÷2＝1240÷2＝620 （2）76×25＝76×100÷4＝7600÷4＝1900 （3）64×125＝64×1000÷8＝64000÷8＝8000 （4）48×25＝48×100÷4＝4800÷4＝1200（瓶） 一题多解（第(4)题）： 48×25＝12×(4×25)＝12×100＝1200（把 48 拆成 12×4，让 4 和 25 配对），答案相同。 💡 【方法点睛】 见 5 想 2、见 25 想 4、见 125 想 8。“乘搭档、再除搭档”与“拆因子、配搭档”殊途同归，算完用估算验算。 例 4【模型③拓展 衍生数：×15、×75、×625、×875】 题目：计算。 （1）62×15　　（2）84×75　　（3）96×625　　（4）88×875 分析：把衍生数拆成标准搭档的倍数：15＝10＋5（或 5×3）；75＝25×3；625＝125×5；875＝125×7，再用分配律或结合律。 详解： （1）62×15＝62×(10＋5)＝62×10＋62×5＝620＋310＝930 （2）84×75＝84×25×3＝(21×4×25)×3＝21×100×3＝2100×3＝6300 （3）96×625＝96×125×5＝(12×8×125)×5＝12×1000×5＝60000 （4）88×875＝88×125×7＝(11×8×125)×7＝11×1000×7＝77000 💡【 方法点睛】 遇到 15、75、375、625、875 这些“衍生数”，先拆因子，把它们变成标准搭档的倍数，再用乘法结合律重新分组凑整。 例 5【模型④ 个位是 5 的数自乘】 题目：口算。 （1）45×45　　（2）75×75　　（3）105×105　　（4）465×465 分析：个位是 5 的两个相同数相乘，积的末两位固定是 25；高位＝“前面部分”×(“前面部分”＋1)。 图 4 个位是 5 的数自乘结构示意 详解： （1）45×45：高位 4×(4＋1)＝20，末尾写 25 → 2025 （2）75×75：高位 7×(7＋1)＝56，末尾写 25 → 5625 （3）105×105：高位 10×(10＋1)＝110，末尾写 25 → 11025 （4）465×465：高位 46×(46＋1)＝2162，末尾写 25 → 216225 验算：75×75≈70×80＝5600，与 5625 接近，答案合理。 💡 【方法点睛】 尾 5 自乘口诀——“末两位写 25，前面乘（前面＋1）”。多位数要取“完整前面部分”，不要只取一位：如 105 取 10，465 取 46。 例 6【综合演练：识别模型 + 火眼金睛找错】 题目： （1）先说出下面各题用哪类速算模型，再口算。 ① 35×11　② 42×99　③ 16×25　④ 55×55 （2）判断对错，错的改正。 ① 小军算 99×45，写成 100×45＋45＝4545。 ② 小丽算 65×65，写出 3625。 分析：先看乘数特征，再选择模型；第(2)题要细心核对“符号”和“高位算法”。 详解： （1）① 35×11（模型①）＝35×10＋35＝350＋35＝385 　　② 42×99（模型②）＝42×100−42＝4200−42＝4158 　　③ 16×25（模型③）＝16×100÷4＝1600÷4＝400 　　④ 55×55（模型④）：5×(5＋1)＝30，末尾 25 → 3025 （2）① 错。99＝100−1，应为 100×45−45＝4500−45＝4455。小军把“减”写成了“加”，符号搞反。 ② 错。65×65 的高位应为 6×(6＋1)＝42，末尾 25，结果是 4225，不是 3625。 💡 【方法点睛】 综合题先“看乘数选模型”，再“按模型变形”；做完用估算或小竖式核对，就能抓住符号与进位错误。 三、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 乘 11、101、1001 乘数＝整十百千＋1 拆成“整＋1”，分配律：a×(10ⁿ＋1)＝a×10ⁿ＋a 结果是“整十百千乘法＋原数”，别串位 乘 9、99、999 乘数＝整十百千−1 拆成“整−1”，分配律：a×(10ⁿ−1)＝a×10ⁿ−a 中间是减法，不能写成加法 乘 5、25、125 黄金搭档 ×5→×10÷2；×25→×100÷4；×125→×1000÷8 乘了几必须再除以几，数值不变 衍生数 15、75、375、625、875 拆出标准因子 15＝5×3；75＝25×3；375＝125×3；625＝125×5；875＝125×7 拆分后与原来相等 个位是 5 的数自乘 末两位固定 25 高位＝前面部分×(前面部分＋1)，末尾写 25 多位数取完整前面部分 拓展：102、98、9998 整±零头 乘法分配律展开计算 拆前＝拆后，符号正确 四、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 乘 101 死记“数字写两遍”，位数多时乱拼接 理解本质 101＝100＋1，分配律计算后核对 乘 99 写成 a×100＋a，符号搞反 99＝100−1，应做 a×100−a 乘 5、25、125 只乘搭档，忘记后面除以同一个数 乘几就要除以几，保证原式大小不变 个位 5 自乘，高位直接用 a×a 高位是前面部分×(前面部分＋1)，末尾固定 25 遇到 75、625 直接硬算，不会拆分 75＝25×3、625＝125×5，拆出标准形式再巧算 只会做标准题，遇到 102、98 不会灵活拆 102＝100＋2、98＝100−2，同样用分配律巧算 五、分层习题 按由易到难分三组：A 组基础过关、B 组能力提升、C 组挑战冲刺。做题前先“看乘数、认模型”，再动笔。 A 组｜基础过关 A1　用“拆成整＋零头”巧算： （1）17×11　　（2）56×101　　（3）123×1001　　（4）305×201 A2　用“拆成整−零头”巧算： （1）37×9　　（2）46×99　　（3）512×999　　（4）78×98 A3　用“黄金搭档”巧算： （1）68×5　　（2）36×25　　（3）32×125　　（4）14×25 A4　个位是 5 的数自乘： （1）25×25　　（2）45×45　　（3）75×75　　（4）105×105 B 组｜能力提升 B1　衍生数巧算： （1）48×15　　（2）56×75　　（3）64×375　　（4）208×250 B2　灵活速算： （1）用两种方法计算 24×25。 （2）判断对错并说明理由：小文算 63×99＝6300−63＝6237。 （3）简便计算 85×15。 B3　生活应用： （1）三年级同学去春游，大巴车每排有 25 个座位，一共坐了 32 排，共坐了多少人？ （2）一本书共 99 页，每页大约 45 行字，这本书大约有多少行字？ （3）养鸡场有 75 个鸡笼，每个鸡笼养了 36 只鸡，一共养了多少只鸡？ B4　尾 5 自乘进阶： （1）55×55　　（2）85×85　　（3）205×205　　（4）705×705 C 组｜挑战冲刺 C1　综合混合速算： （1）999×999　　（2）156×125　　（3）88×625 （4）48×875　　（5）456×1001　　（6）302×97 C2　挑战题： （1）找规律填一填：46×99＝4554，57×99＝5643，68×99＝□ （2）简便计算：999×111 （3）学校组织观看演出，门票每张 25 元，一共卖出 999 张，共收入多少元？ （4）在 □ 里填上合适的数：25×□＝1000；125×□＝1000 六、参考答案与详细解析 A 组｜基础过关 A1　 （1）17×11＝17×(10＋1)＝170＋17＝187 （2）56×101＝56×(100＋1)＝5600＋56＝5656 （3）123×1001＝123×(1000＋1)＝123000＋123＝123123 （4）305×201＝305×(200＋1)＝61000＋305＝61305 A2　 （1）37×9＝37×(10−1)＝370−37＝333 （2）46×99＝46×(100−1)＝4600−46＝4554 （3）512×999＝512×(1000−1)＝512000−512＝511488 （4）78×98＝78×(100−2)＝7800−156＝7644 A3　 （1）68×5＝68×10÷2＝680÷2＝340 （2）36×25＝36×100÷4＝3600÷4＝900 （3）32×125＝32×1000÷8＝32000÷8＝4000 （4）14×25＝14×100÷4＝1400÷4＝350 A4　 （1）25×25：高位 2×(2＋1)＝6，末尾 25 → 625 （2）45×45：高位 4×(4＋1)＝20 → 2025 （3）75×75：高位 7×(7＋1)＝56 → 5625 （4）105×105：高位 10×11＝110 → 11025 B 组｜能力提升 B1　 （1）48×15＝48×(10＋5)＝480＋240＝720 （2）56×75＝56×25×3＝1400×3＝4200 （3）64×375＝64×125×3＝8000×3＝24000 （4）208×250＝208×1000÷4＝208000÷4＝52000 B2　 （1）24×25　方法一：24×100÷4＝2400÷4＝600；方法二：24×25＝6×(4×25)＝6×100＝600。 （2）对。99＝100−1，63×99＝63×100−63＝6300−63＝6237。 （3）85×15＝85×(10＋5)＝850＋425＝1275 B3　 （1）25×32＝25×4×8＝100×8＝800（人） （2）45×99＝45×100−45＝4500−45＝4455（行） （3）75×36＝75×4×9＝300×9＝2700（只） B4　 （1）55×55：高位 5×(5＋1)＝30 → 3025 （2）85×85：高位 8×(8＋1)＝72 → 7225 （3）205×205：高位 20×21＝420 → 42025 （4）705×705：高位 70×71＝4970 → 497025 C 组｜挑战冲刺 C1　 （1）999×999＝999×(1000−1)＝999000−999＝998001 （2）156×125＝156×1000÷8＝156000÷8＝19500 （3）88×625＝88×125×5＝11000×5＝55000 （4）48×875＝48×125×7＝6000×7＝42000 （5）456×1001＝456×(1000＋1)＝456000＋456＝456456 （6）302×97＝302×(100−3)＝30200−906＝29294 C2　 （1）规律：积的前两位＝原数−1，后两位＝100−原数。68×99：68−1＝67，100−68＝32 → 6732。 （2）999×111＝999×(100＋10＋1)＝99900＋9990＋999＝110889 （3）25×999＝25×(1000−1)＝25000−25＝24975（元） （4）25×40＝1000，125×8＝1000，所以 □ 里分别填 40 和 8。 七、本讲小结 ✦ 本讲四大速算模型： 1. 乘 11、101、1001：拆成“整十百千＋1”，用乘法分配律； 2. 乘 9、99、999：拆成“整十百千−1”，注意中间是减法； 3. 乘 5、25、125：黄金搭档 5×2＝10、25×4＝100、125×8＝1000，乘搭档再除搭档；衍生数 15、75、375、625、875 拆出 5、25、125； 4. 个位是 5 的数自乘：末两位固定写 25，高位＝前面部分×(前面部分＋1)。 ✦ 拓展题型：102、98、9998，同样拆成“整±零头”，用乘法分配律。 ✦ 核心底层原理：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律——速算技巧不能脱离运算律，不要死记硬背。 ✦ 解题流程：观察乘数特征 → 识别速算模型 → 拆分变形（大小不变）→ 口算简算 → 结果验算。 八、易错警示 + 学习建议 ⚠ 易错警示 ❌ 计算 a×99 写成 a×100＋a，符号搞反。 ✅ 99＝100−1，式子是 a×100−a，做减法。 ❌ 做 ×25，只乘 100，忘记除以 4。 ✅ 乘几就要除以几，保证算式大小不变。 ❌ 个位 5 自乘，高位直接用 a×a。 ✅ 高位＝前面部分×(前面部分＋1)，末尾固定写 25。 ❌ 死记速算口诀，不理解分配律原理，遇到变形题不会做。 ✅ 速算的底层就是分配律、结合律，先懂原理再记技巧。 ❌ 遇到 75、625 直接硬算，不会拆成 25×3、125×5。 ✅ 看到 75 想 25×3；看到 625 想 125×5。 ❌ 算完直接结束，不验算，出现低级计算错误。 ✅ 简单估算或小竖式验算，保证结果正确。 🧠 学习建议 ✓ 做题第一步观察乘数，识别属于哪一类速算模型。 ✓ 拆数时一定要核对：拆分出来的和/差要等于原来乘数。 ✓ 牢记黄金搭档：5×2＝10、25×4＝100、125×8＝1000。 ✓ 个位是 5 自乘，多位数要取完整前面部分，不要只取一位。 ✓ 不要死记口诀，理解分配律、结合律，遇到 102、98 等拓展题也能自己拆数巧算。 ✓ 速算之后一定要验算，防止符号、进位出错。 ✨ 乘法巧算的本质是凑整。用好交换律、结合律、分配律，大数乘法也能快速口算！✨ —— 乘法速算技巧 · 凑整魔法—— —— 祝贺你完成本讲的学习！为努力的自己加油吧！—— 学科网（北京）股份有限公司 $