第2章 有理数的运算（复习讲义）数学浙教版2024七年级上册

第2章 有理数的运算（复习讲义） 有理数运算是初中数学的核心基础，课标要求重在建立符号意识与模型思想，中考命题则突出基础运算（占70%）与实际应用融合。教学中需紧扣“实际意义→抽象规则→综合应用”主线，备考中需死守符号判定、步骤规范、情境转化三大能力，确保基础题满分、压轴题多步骤得分！ 层级 目标要求 典型实例 基础目标 能复述运算规律，计算加减乘除乘法 ＝（﹣18）×﹣（﹣18）×（﹣）﹣4 ＝（﹣12）﹣9﹣4 ＝﹣25． 进阶目标 会推导乘除符号规则（同号得正，异号得负），解决混合运算问题 计算：-3² - (-2)³ × |-4| = -9 - (-32) = 23 拓展目标 理解并应用数轴解决动态问题，用科学记数法表示大数，设计有理数应用模型 2800000000000＝2.8×1012 知识点 重点归纳 常见易错点 加减法则 口诀：同号相加“符号不变，绝对值相加”； 异号相加“符号随大，绝对值相减” 连续运算漏符号（如：−3−(−5) 误算为 −8） 乘除符号规则 口诀：同号得正，异号得负（符号由负因数个数决定：奇负得负，偶负得正） 多个因数漏统计负号（如：(−2)×(−3)×(−1) 误算为 6，正确为 −6） 乘方运算 关键： 混淆底数符号（如： (−2)2=4 与−22=−4混淆） 混合运算顺序 顺序：括号 → 乘方 → 乘除 → 加减（同级从左到右） 未按顺序计算（如：8÷2×4 误算为 1，正确为 16） 运算律应用 分配律：a(b+c)=ab+ac 交换律/结合律：仅限同种运算 乱用交换律（如：12÷4×3 误算为 12÷(4×3)=1，正确为 9） 科学记数法 3689100＝3.6891×106 题型一 有理数加法 【例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【变式1-2】已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 　　 ． 【变式1-3】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【考点】有理数的加法 【分析】仿照上述题干中的拆项法解题即可． 【解答】解： ＝1+（﹣2） ＝﹣1 【点评】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 题型二 有理数减法 【例2】计算： （1）0﹣（﹣2）+（﹣7）﹣（+1）+（﹣10）； （2）； （3）﹣0.5﹣51+342； （4）． 【变式2-1】计算下列各式： （1）﹣15+（+6）+（﹣3）； （2）5﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣6）； （3）． 【变式2-2】计算下列各式： （1）﹣15+（+6）+（﹣3）； （2）5﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣6）； （3）． 【变式2-3】计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（）（﹣0.5）+（）． 题型三 数有理数乘法 【例3】已知|x|＝5，y＝3，且xy＜0，则x﹣y＝　　 ． 【变式3-1】有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＞0，则a、b、c中有　　 个正数． 【变式3-2】用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【变式3-3】用简便方法计算 （1）﹣39（﹣12） （2）（）×（﹣60） 题型四 有理数除法 【例4】已知|x|＝2，|y|＝3，且，则x﹣y的值为 　　 ． 【变式4-1】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　　 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【变式4-2】阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【变式4-3】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式 ① ＝（﹣15）÷（﹣5）② ＝﹣3． ③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　　 步，错因是　　 ，第二处是第　　 步，错因是　　 ． （2）请你写出这道题正确的解答过程． 题型五 有理数乘方 【例5】方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　　 步，圆圆开始出错的是第 　　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【变式5-1】概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　　 ； （2）以下说法中，正确的有 　　 （多选题）； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E．2③＝（﹣2）③． （3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　 ； （4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3． 【变式5-2】（1）填空：1.22＝　　 ；122＝　　 ；1202＝　　 ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果3.252＝10.5625，那么0.3252＝　　 ．如果x2＝105625，那么x＝　　 ． 【变式5-3】阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：（4×0.25）100＝　　 ；4100×0.25100＝　　 ． （2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝　　 ；（abc）n＝　　 ． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 题型六 科学记数法 【例6】下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？1×107，4.5×106，7.04×105，3.96×104，﹣7.4×105． 【变式6-1】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ （1）2×106； （2）6.03×105； （3）﹣5.002×104． 【变式6-2】已知1cm3的氢气重约为0.00009g，一块橡皮重45g （1）用科学记数法表示1cm3的氢气质量； （2）这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【变式6-3】世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为0.0006m，宽为0.00033m，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有0.00000007g． （1）用科学记数法表示上述三个数据． （2）一个橘子的质量约为70g，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 题型七 有理数混合运算 【例7】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式7-1】我们知道：，，…… 那么反过来也成立．如：， 则计算：① ②． 【变式7-2】计算 （1）； （2）． （1）； （2）． 题型七 近似值 【例8】把3.27953四舍五入到千分位是 　 ． 【变式8-1】用四舍五入方法，按下列要求对 159 897 000 000 分别取近似值： （1）精确到千万位； （2）精确到亿位； （3）精确到百亿位． 【变式8-2】用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数： （1）0.6328（精确到0.01） （2）7.9122（精确到个位） （3）130.96（精确到十分位） （4）46021（精确到百位） 【变式8-3】根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： （1）1.4249≈　 　 （精确到百分位）； （2）0.02951≈　 　 （精确到0.001）． （3）近似数1.23×105精确到　 　 位，有　 　 个有效数字． （4）所有绝对值小于4的整数的积是　 　 ，和是　 　 ． 基础巩固通关测 1．根据有理数加法法则，计算7+（﹣8）过程正确的是（　　） A．+（7+8） B．+（7﹣8） C．﹣（7+8） D．﹣（8﹣7） 2．2024年国庆节假期，全国文化和旅游市场平稳有序，假日7天，某地接待游客约6.93×105人次，则日均接待游客人次用科学记数法表示约为（　　） A．0.99×105人次 B．9.9×104人次 C．9.9×105人次 D．9.9×106人次 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a﹣b＜0 B．b+c＞0 C．ab＞0 D．|a﹣c|＝c﹣a 4．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 5．如图是小宇用计算机设计的一个程序计算框图，若输入a的值为﹣1，则输出的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣71 D．71 6．若|m+3|+（n﹣2）2＝0，则m+n＝　　 ． 7．若a2＝16，b＝﹣2，且ab＜0，则a+b＝ 　　 ． 8．新定义：a⊗b＝a2﹣b．若（x﹣1）⊗3＝1，则x的值为 　　 ． 9．七（1）班在运动会开幕式表演获得了98.737分，精确到百分位的结果是　　 分． 10．计算： （1）； （2）． 11．计算或化简 （1）8﹣（﹣3）+（﹣2）； （2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣4×3； （3）； （4）． 12．计算： （1）； （2）． 13．郑州地铁1号线是郑州市第一条建成运营的地铁线路，全长41.2km，共有30个站点，其中的11个站点如图所示．张亮从郑州东站开始乘坐地铁，在图中11个地铁站点做值勤志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向郑州火车站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：+6，+2，﹣3，+5，﹣3，﹣4，+2，﹣4，+1． （1）请你通过计算说明A站是哪一站？ （2）已知相邻两站之间的平均距离为1.42千米，求张亮在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 14．旬邑臊子面是当地的特色美食，面条劲道，汤底醇厚，撒上葱花和辣椒油，味道鲜美．李叔叔准备在旬邑县县城开一家面馆，选好地址后对这一地区的人流量进行了统计．以120人为标准，超过的记为正，少于的记为负，某一周内同一时间段的人流量如下表所示． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 ﹣12 ﹣5 ﹣9 +4 +15 +22 +30 （1）根据上表，计算这一周人数最少的一天比人数最多的一天少多少人？ （2）若这些人中有80%是来吃面的，按照每人一碗，每碗12元，则平均每天面条的销售额大约是多少？（结果精确到0.1） 15．计算： （1）； （2）． 能力提升进阶练 1．“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为2.0×107辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约m辆，则m的值是（　　） A．1.0×107 B．1.0×108 C．1.0×109 D．1.0×1010 2．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2023*2022的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（　　） A． B． C． D． 5．计算：　　 ． 6．若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2013＝　　 ． 7．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况：　 　 ． 8．若|2x﹣3|+（3y﹣2）2＝0，则（xy﹣2）2013的值是　　 ． 9．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0，　 ． 10．阅读第（1）小题计算方法，再类比计算第（2）小题． （1）﹣5（﹣9）+17（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上面这种方法叫做拆项法． （2）计算：（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）+4030． 11．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为3，求（a+b）cdm2的值． 12．（1）已知（a+2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）2017的值． （2）若|x|＝3，|y|＝2，且x＞y，求x+y的值． 13．根据所给的条件，求出各式的值： （1）若|a﹣3|与（b﹣2）2互为相反数，求（﹣a）b的值． （2）已知：|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，求a﹣b的值． 14．已知三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式x2017﹣2x+2的值． 15．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　 　 ；（2）||＝　 　 ； （3）||＝　 ；（4）||＝　 　 ； （5）用合理的方法计算：||+||﹣||． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算（复习讲义） 有理数运算是初中数学的核心基础，课标要求重在建立符号意识与模型思想，中考命题则突出基础运算（占70%）与实际应用融合。教学中需紧扣“实际意义→抽象规则→综合应用”主线，备考中需死守符号判定、步骤规范、情境转化三大能力，确保基础题满分、压轴题多步骤得分！ 层级 目标要求 典型实例 基础目标 能复述运算规律，计算加减乘除乘法 ＝（﹣18）×﹣（﹣18）×（﹣）﹣4 ＝（﹣12）﹣9﹣4 ＝﹣25． 进阶目标 会推导乘除符号规则（同号得正，异号得负），解决混合运算问题 计算：-3² - (-2)³ × |-4| = -9 - (-32) = 23 拓展目标 理解并应用数轴解决动态问题，用科学记数法表示大数，设计有理数应用模型 2800000000000＝2.8×1012 知识点 重点归纳 常见易错点 加减法则 口诀：同号相加“符号不变，绝对值相加”； 异号相加“符号随大，绝对值相减” 连续运算漏符号（如：−3−(−5) 误算为 −8） 乘除符号规则 口诀：同号得正，异号得负（符号由负因数个数决定：奇负得负，偶负得正） 多个因数漏统计负号（如：(−2)×(−3)×(−1) 误算为 6，正确为 −6） 乘方运算 关键： 混淆底数符号（如： (−2)2=4 与−22=−4混淆） 混合运算顺序 顺序：括号 → 乘方 → 乘除 → 加减（同级从左到右） 未按顺序计算（如：8÷2×4 误算为 1，正确为 16） 运算律应用 分配律：a(b+c)=ab+ac 交换律/结合律：仅限同种运算 乱用交换律（如：12÷4×3 误算为 12÷(4×3)=1，正确为 9） 科学记数法 3689100＝3.6891×106 题型一 有理数加法 【例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数的加法 【分析】根据有理数加法法则计算即可． 【解答】解：根据有理数加法法则计算可得： ； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是关键． 【变式1-1】嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【考点】有理数的加法 【分析】由于八个数的和是﹣4，所以需满足两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵﹣1+﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8＝﹣4，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2， 则﹣4﹣6+b+7＝﹣2， 得b＝1， 由﹣6﹣2+b+c＝﹣2， 得c＝5， 由a+c﹣2+d＝﹣2， 得a+d＝﹣5， 当a＝3时，d＝﹣8，则a+b＝3+1＝4， 当a＝﹣8时，d＝3，则a+b＝﹣8+1＝﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是﹣2． 【变式1-2】已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 　﹣6或﹣4　 ． 【考点】有理数的加法；绝对值 【分析】根据绝对值和a＜b＜c求得a、b、c的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1， ∴a＝±3，b＝±2，c＝±1， ∵a＜b＜c， ∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或1， ∴a+b+c＝﹣3﹣2﹣1＝﹣6或a+b+c＝﹣3﹣2+1＝﹣4， 故答案为：﹣6或﹣4． 【点评】本题主要考查了绝对值的应用和有理数的加减运算，运用绝对值和已知条件确定a、b、c的值是解答本题的关键． 【变式1-3】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【考点】有理数的加法 【分析】仿照上述题干中的拆项法解题即可． 【解答】解： ＝1+（﹣2） ＝﹣1 【点评】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 题型二 有理数减法 【例2】计算： （1）0﹣（﹣2）+（﹣7）﹣（+1）+（﹣10）； （2）； （3）﹣0.5﹣51+342； （4）． 【考点】有理数的加减混合运算；绝对值 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）把各数统一为小数，即可求解； （3）利用结合律即可求解； （4）先求绝对值，再各数统一为小数，即可求解． 【解答】解：（1）0﹣（﹣2）+（﹣7）﹣（+1）+（﹣10） ＝0+2﹣7﹣1﹣10 ＝﹣16； （2）原式＝﹣5.4+2.25+2.6﹣5.75 ＝﹣5.4+2.6+（﹣5.75+2.25） ＝﹣2.8﹣3.5 ＝﹣6.3； （3）原式 ； （4）原式＝﹣9.2+7.4+9.2﹣6.4﹣4+3 ＝1﹣4+3 ＝0． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2-1】计算下列各式： （1）﹣15+（+6）+（﹣3）； （2）5﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣6）； （3）． 【考点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）把减法变为加法进行计算即可； （3）利用有理数的加法交换律和结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣15+6﹣3 ＝﹣12； （2）原式＝5﹣7﹣2+6 ＝2； （3） ＝﹣3+14 ＝11． 【点评】此题考查了有理数的加法和加减混合运算．熟练掌握运算法则是关键． 【变式2-2】计算下列各式： （1）﹣15+（+6）+（﹣3）； （2）5﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣6）； （3）． 【考点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）把减法变为加法进行计算即可； （3）利用有理数的加法交换律和结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣15+6﹣3 ＝﹣12； （2）原式＝5﹣7﹣2+6 ＝2； （3） ＝﹣3+14 ＝11． 【点评】此题考查了有理数的加法和加减混合运算．熟练掌握运算法则是关键． 【变式2-3】计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（）（﹣0.5）+（）． 【考点】有理数的加减混合运算；绝对值 【分析】（1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算； （3）先进行绝对值运算，再进行加减法运算； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算． 【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 ＝﹣20+（﹣14）+（﹣13）+18 ＝﹣47+18 ＝﹣29； （2） ＝﹣6+1 ＝﹣5； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4） ＝﹣3+（﹣5）+（﹣6）+4 ＝﹣14+4 ＝﹣10； （4）（）（﹣0.5）+（） ＝﹣2.5+（﹣0.5）+（） ＝﹣3+2 ＝﹣1． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． 题型三 数有理数乘法 【例3】已知|x|＝5，y＝3，且xy＜0，则x﹣y＝　﹣8　 ． 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的减法 【分析】先求出x的值，再计算x﹣y． 【解答】解：∵|x|＝5， ∴x﹣±5， ∵y＝3，且xy＜0， ∴x＝﹣5， ∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的减法，有理数的乘法，掌握绝对值是解题的关键． 【变式3-1】有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＞0，则a、b、c中有　1　 个正数． 【考点】有理数的乘法；有理数的加法 【分析】根据abc＞0，可以得到有偶数个负因数，再根据a+b+c＝0，得到其中正数的个数即可． 【解答】解：∵abc＞0， ∴a、b、c中有偶数个负因数， 又∵a+b+c＝0， ∴a、b、c中负数有两个，即正数有一个， 故答案为：1． 【点评】本题考查有理数的计算法则，关键是负数的个数的确定． 【变式3-2】用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【考点】有理数的乘法 【分析】（1）将99变形为（100），然后依据乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100）×（﹣9） ＝﹣900 ＝﹣899． （2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3） ＝0×（﹣3） ＝0． 【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，应用乘法分配律进行简便计算是解题的关键． 【变式3-3】用简便方法计算 （1）﹣39（﹣12） （2）（）×（﹣60） 【考点】有理数的乘法 【分析】根据乘法分配律，可得答案． 【解答】解：（1）原式＝（﹣40）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）12＝480479； （2）原式（﹣60）6060＝﹣40+5+4＝﹣31． 【点评】本题考查了有理数的乘法，利用拆项法得出乘法分配律是解题关键． 题型四 有理数除法 【例4】已知|x|＝2，|y|＝3，且，则x﹣y的值为 　﹣1或1　 ． 【考点】有理数的除法；绝对值；有理数的减法 【分析】先根据|x|＝2，|y|＝3得到x＝±2，y＝±3，再根据，得到x、y同号，代入计算即可得到答案． 【解答】解：由条件可知x＝±2，y＝±3， 由条件可知x＝2，y＝3或x＝﹣2，y＝﹣3， ∴x﹣y＝﹣2﹣（﹣3）＝1或x﹣y＝﹣2﹣（﹣3）＝1， 故答案为：﹣1或1． 【点评】本题考查求一个数的绝对值及有理数除法法则，熟练掌握运算法则是关键． 【变式4-1】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　小红　 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【考点】有理数的除法 【分析】两种解法都正确，第一种是一般的解法，按照有理数混合运算的顺序进行计算．第二种先求出代数式的倒数，再求原数，较为简便，所以第二种好． 【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分） （2）原式的倒数为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式． 【点评】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题． 【变式4-2】阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【考点】有理数的除法 【分析】（1）我认为解法一是错误的； （2）选择解法三求出值即可． 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 【变式4-3】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式 ① ＝（﹣15）÷（﹣5）② ＝﹣3． ③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　②　 步，错因是　乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序　 ，第二处是第　③　 步，错因是　两数相除，同号为正　 ． （2）请你写出这道题正确的解答过程． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）根据同级运算应从左到右的顺序依次进行计算以及两数相除，同号为正，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：（1）观察解题过程可知， 第一处是第②步，错因是乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序， 第二处是第③步，错因是两数相除，同号为正， 故答案为：②；乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序；③；两数相除，同号为正； （2）原式 ＝9×3 ＝27． 【点评】本题主要考查了有理数乘除法计算，正确进行计算是解题关键． 题型五 有理数乘方 【例5】方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　②　 步，圆圆开始出错的是第 　①　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【考点】有理数的乘方；有理数的乘法；有理数的除法 【分析】（1）由有理数乘方的运算法则，同级运算法则，即可判断； （2）由有理数混合运算的运算法则，即可计算． 【解答】解：（1）方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2） ＝﹣16÷（﹣8）×（） ＝2×（） ． 【点评】本题考查有理数的乘方，有理数的乘法、除法，关键是掌握以上运算的运算法则． 【变式5-1】概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　﹣8　 ； （2）以下说法中，正确的有 　ABD　 （多选题）； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E．2③＝（﹣2）③． （3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　 ； （4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3． 【考点】有理数的乘方；正数和负数；有理数的除法 【分析】（1）根据新定义展开，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）根据新定义和有理数的运算法则进行判断即可； （3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式； （4）先根据有理数的乘方和新定义进行计算，再根据有理数的乘法和除法法则进行计算，再算加法即可． 【解答】解：（1）2③ ＝2÷2÷2 ＝1÷2 ， （）⑤ ＝（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝﹣8， 故答案为：，﹣8； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故本选项符合题意； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1，故本选项符合题意； C．∵3④＝3÷3÷3÷3＝3， 4③＝4÷4÷4＝4， ∴3④≠4③，故本选项不符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故本选项符合题意； E.2③＝2÷2÷2，（﹣2）③＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）， ∴2③≠（﹣2）③．故本选项不符合题意； 故选：ABD． （3）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2， 故答案为：； （4）由（3）得：（）④，（）⑥ 原式＝﹣16×9﹣16÷（﹣8） ＝﹣144+2 ＝﹣142． 【点评】本题考查了有理数的混合运算和正数、负数等知识点，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 【变式5-2】（1）填空：1.22＝　1.44　 ；122＝　144　 ；1202＝　14400　 ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果3.252＝10.5625，那么0.3252＝　0.105625　 ．如果x2＝105625，那么x＝　±325　 ． 【考点】有理数的乘方 【分析】（1）利用平方的概念填空； （2）由（1）中可以发现小数点的变化，从而找出规律． （3）利用这个规律计算这两题即可． 【解答】解：（1）1.44；144；14400； （2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． （3）0.105625；±325． 【点评】本题主要考查了有理数乘方的运算法则和规律． 小数点的变化规律：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． 【变式5-3】阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：（4×0.25）100＝　1　 ；4100×0.25100＝　1　 ． （2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝　anbn　 ；（abc）n＝　anbncn　 ． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【考点】有理数的乘方 【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． ②根据有理数乘方的定义求出即可； ③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【解答】解：①：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． ②（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：anbn，（abc）n＝anbncn． ③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，再根据积的乘方，有理数乘方的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 题型六 科学记数法 【例6】下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？1×107，4.5×106，7.04×105，3.96×104，﹣7.4×105． 【考点】科学记数法—原数 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【解答】解：1×107＝1 000 000 0， 4.5×106＝4500000， 7.04×105＝704000， 3.96×104＝39600， ﹣7.4×105＝﹣740000． 【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数． 将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式6-1】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ （1）2×106； （2）6.03×105； （3）﹣5.002×104． 【考点】科学记数法—原数；科学记数法—表示较大的数 【分析】（1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【解答】解：（1）∵2×106＝2000000， ∴2×106的原数为2000000； （2）∵6.03×105＝603000， ∴6.03×105的原数为603000； （3）∵﹣5.002×104＝﹣50020， ∴﹣5.002×104的原数为﹣50020． 【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键． 【变式6-2】已知1cm3的氢气重约为0.00009g，一块橡皮重45g （1）用科学记数法表示1cm3的氢气质量； （2）这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【考点】科学记数法—表示较小的数 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）利用有理数除法运算法则求出答案即可． 【解答】解：（1）0.00009g＝9×10﹣5g； （2）45÷0.00009＝500000＝5×105， 故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数以及有理数除法等知识，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式6-3】世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为0.0006m，宽为0.00033m，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有0.00000007g． （1）用科学记数法表示上述三个数据． （2）一个橘子的质量约为70g，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【考点】科学记数法—表示较小的数；科学记数法—表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：（1）0.0006＝6×10﹣4，0.00033＝3.3×10﹣4，0.00000007＝7×10﹣8； （2）70÷0.00000007＝1000 000 000＝109． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型七 有理数混合运算 【例7】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行* 运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）（+1）*[0*（﹣2）] ＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝1+16 ＝17． 故答案为：17； （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 【变式7-1】我们知道：，，…… 那么反过来也成立．如：， 则计算：① ②． 【考点】有理数的混合运算 【分析】①首先把每个加数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律，求出算式的值是多少即可． ②首先把每个加数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：① ＝1 ＝1 ② ＝1 ＝1 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 【变式7-2】计算 （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）根据乘法分配律进行简便计算； （2）先算乘方和绝对值的运算，再算加减法即即可． 【解答】解：（1） ＝﹣9﹣30+21 ＝﹣18； （2） ＝﹣1+2 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则和运算定律进行计算． 【变式7-3】计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）先把除法化为乘法，再利用分配律进行简便运算即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣12+1﹣3+4 ＝﹣10； （2）原式 ＝﹣1﹣2﹣11 ＝﹣14． 【点评】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键． 题型七 近似值 【例8】把3.27953四舍五入到千分位是 　3.280　 ． 【考点】近似数和有效数字 【分析】根据题意，找到小数的小数部分第四位，再根据四舍五入法求出结果． 【解答】解：3.27953≈3.280． 故答案为：3.280． 【点评】本题考查了近似数的保留方法，解题的关键是根据四舍五入的方法来保留近似数． 【变式8-1】用四舍五入方法，按下列要求对 159 897 000 000 分别取近似值： （1）精确到千万位； （2）精确到亿位； （3）精确到百亿位． 【考点】近似数和有效数字 【分析】（1）把百万位上的数字7进行四舍五入即可； （2）把千万位上的数字9进行四舍五入即可； （3）把十亿位上的数字9进行四舍五入即可． 【解答】解：（1）159 897 000 000≈1.5990×1011（精确到千万位）； （2）159 897 000 000≈1.599×1011（精确到亿位）； （3）159 897 000 000≈1.6×1011（精确到百亿位）． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字． 【变式8-2】用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数： （1）0.6328（精确到0.01） （2）7.9122（精确到个位） （3）130.96（精确到十分位） （4）46021（精确到百位） 【考点】近似数和有效数字 【分析】（1）把3后面的2四舍五入即可； （2）将9按要求四舍五入即可得到答案； （3）十分位就是数字9所表示的数位； （4）首先用科学记数法表示，然后按要求精确即可． 【解答】解：（1）0.6328（精确到0.01）≈0.63； （2）7.9122（精确到个位）≈8 （3）130.96（精确到十分位）≈131.0 （4）46021≈4.60×104． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数． 【变式8-3】根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： （1）1.4249≈　1.42　 （精确到百分位）； （2）0.02951≈　0.030　 （精确到0.001）． （3）近似数1.23×105精确到　千　 位，有　3　 个有效数字． （4）所有绝对值小于4的整数的积是　0　 ，和是　0　 ． 【考点】近似数和有效数字；绝对值 【分析】（1）精确到百分位，就是对千分位进行四舍五入； （2）精确到0.001，就是对0.0001位进行四舍五入； （3）易得整数数位1所在的数位是十万，看最后的有效数字3在哪一位即可；科学记数法的一般形式为a×10n，其中，1≤a＜10，n为整数数位减1，有效数字应是a×10n中a的有效数字，即乘号前面的所有数字； （4）先求出绝对值小于4的所有整数，再根据有理数的乘法法则求出它们的积，有理数的加法法则求出它们的和． 【解答】解：（1）1.4249精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得1.424 9≈1.42； （2）0.02951精确到0.001，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得0.02951≈0.030； （3）近似数1.23×105精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个； （4）∵绝对值小于4的整数±3，±2，±1，0， ∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0． 故答案为1.42；0.030；千，3；0，0． 【点评】本题主要考查精确度、有效数字、绝对值的定义，都是基础知识，需要识记． 基础巩固通关测 1．根据有理数加法法则，计算7+（﹣8）过程正确的是（　　） A．+（7+8） B．+（7﹣8） C．﹣（7+8） D．﹣（8﹣7） 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据有理数加法法则求解即可．有理数加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【解答】解：7+（﹣8）， ＝﹣（8﹣7）， 故选：D． 【点评】本题考查有理数混合运算，熟练法则是解决本题的关键． 2．2024年国庆节假期，全国文化和旅游市场平稳有序，假日7天，某地接待游客约6.93×105人次，则日均接待游客人次用科学记数法表示约为（　　） A．0.99×105人次 B．9.9×104人次 C．9.9×105人次 D．9.9×106人次 【考点】科学记数法—表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：根据科学记数法书写规则可知： 6.93×105÷7＝0.99×105＝9.9×104（人次）． 故选：B． 【点评】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a﹣b＜0 B．b+c＞0 C．ab＞0 D．|a﹣c|＝c﹣a 【考点】有理数的乘法；数轴；绝对值；有理数的减法 【分析】根据数轴的特点、绝对值的性质以及有理数的乘法法则、有理数的加减法法则进行解题即可． 【解答】解：根据数轴可知：a＜b＜0＜c且|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＜0，b+c＜0，ab＞0，|a﹣c|＝c﹣a， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法、有理数的加减法、数轴和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【考点】有理数的乘方；相反数；绝对值 【分析】A、B两个选项均按照乘方的意义，写成乘法计算出结果，C、D两个选项按照绝对值的性质进行计算，然后根据各个选项的计算结果进行判断即可． 【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的有关计算，解题关键是熟练掌握乘方的意义和绝对值的性质． 5．如图是小宇用计算机设计的一个程序计算框图，若输入a的值为﹣1，则输出的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣71 D．71 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据题意进行计算即可． 【解答】解：（﹣1）2×5﹣9＝﹣4， （﹣4）2×5﹣9＝71， 满足题意，输出的结果为71， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 6．若|m+3|+（n﹣2）2＝0，则m+n＝　﹣1　 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，m+3＝0，n﹣2＝0， 解得m＝﹣3，n＝2， 所以，m+n＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 7．若a2＝16，b＝﹣2，且ab＜0，则a+b＝ 　2　 ． 【考点】有理数的乘方；有理数的加法；有理数的乘法 【分析】先根据有理数的乘方得到a＝±4，再由ab＜0，b＝﹣2得到a＝4，再代入求值即可． 【解答】解：由条件可知a＝±4， ∵b＝﹣2，且ab＜0， ∴a＝4， ∴a+b＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的运算，代数式求值，正确计算是解题的关键． 8．新定义：a⊗b＝a2﹣b．若（x﹣1）⊗3＝1，则x的值为 　﹣1或3　 ． 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据新运算，将式子先转化为一元二次方程，再求x的值． 【解答】解：由题可知，（x﹣1）⊗3＝1， 则（x﹣1）2﹣3＝1， 整理得：（x﹣1）2＝4， 解得：x＝﹣1或x＝3． 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义运算的运算过程是解决本题的关键． 9．七（1）班在运动会开幕式表演获得了98.737分，精确到百分位的结果是　98.74　 分． 【考点】近似数和有效数字 【分析】将千分位上的数字四舍五入即可得到答案． 【解答】解：将千分位上的数字四舍五入可得精确到百分位的结果是98.74， 故答案为：98.74． 【点评】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数的意义是解此题的关键． 10．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）先计算括号内的减法运算，在进行乘法运算，最后算加法； （2）根据混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式（） ； （2）原式＝[258]×（﹣8）÷7 ＝（﹣15+8）×（﹣8）÷7 ＝7×8÷7 ＝8． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 11．计算或化简 （1）8﹣（﹣3）+（﹣2）； （2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣4×3； （3）； （4）． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）根据加减运算法则进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减； （3）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，有括号的先算括号． 【解答】解：（1）8﹣（﹣3）+（﹣2） ＝8+3﹣2 ＝9； （2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣4×3 ＝﹣10+8÷4﹣12 ＝﹣10+2﹣12 ＝﹣20； （3）原式； （4）原式＝﹣100+[16﹣（1﹣9）×2]＝﹣100+16+16＝﹣68． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键． 12．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）先算乘方和绝对值的运算，再算乘法，最后算加减法即可； （2）运用乘法分配律进行简便计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1+2﹣（﹣2） ＝﹣1+2﹣（﹣1） ＝2； （2） 5 ＝10﹣8+21﹣5 ＝18． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算定律． 13．郑州地铁1号线是郑州市第一条建成运营的地铁线路，全长41.2km，共有30个站点，其中的11个站点如图所示．张亮从郑州东站开始乘坐地铁，在图中11个地铁站点做值勤志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向郑州火车站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：+6，+2，﹣3，+5，﹣3，﹣4，+2，﹣4，+1． （1）请你通过计算说明A站是哪一站？ （2）已知相邻两站之间的平均距离为1.42千米，求张亮在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【考点】有理数的混合运算；正数和负数 【分析】（1）根据题意求出+6+2﹣3+5﹣3﹣4+2﹣4+1＝2，然后进行判断即可； （2）根据相邻两站之间的平均距离为1.42千米，列出算式进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意求出数据之和得： +6+2﹣3+5﹣3﹣4+2﹣4+1＝2（站）， ∵约定向郑州火车站方向为正， ∴A站为农业南路站； （2）根据相邻两站之间的平均距离为1.42千米，列出算式可得： （|+6|+|+2|+|﹣3|+|+5|+|﹣3|+|﹣4|+|+2|+|﹣4|+|+1|）×1.42 ＝30×1.42 ＝42.6（千米）． 答：张亮在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是42.6千米． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 14．旬邑臊子面是当地的特色美食，面条劲道，汤底醇厚，撒上葱花和辣椒油，味道鲜美．李叔叔准备在旬邑县县城开一家面馆，选好地址后对这一地区的人流量进行了统计．以120人为标准，超过的记为正，少于的记为负，某一周内同一时间段的人流量如下表所示． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 ﹣12 ﹣5 ﹣9 +4 +15 +22 +30 （1）根据上表，计算这一周人数最少的一天比人数最多的一天少多少人？ （2）若这些人中有80%是来吃面的，按照每人一碗，每碗12元，则平均每天面条的销售额大约是多少？（结果精确到0.1） 【考点】有理数的混合运算；正数和负数 【分析】（1）根据表格可知这一周人数最少的一天为星期一，人数最多的一天为星期日，将这两天对应的人数相减即可解答； （2）根据表格求出一周内同一时间段的人流量，先乘以80%，再乘以面条的单价得出一周内的销售额，再除以7即可解答． 【解答】解：（1）由题意得，﹣12﹣30＝﹣42， 答：这一周人数最少的一天比人数最多的一天少42人． （2）﹣12﹣5﹣9+4+15+22+30＝45， ∴一周内同一时间段的人流量为120×7+45＝885（人）， ∴平均每天面条的销售额大约是885×80%×12÷7≈1213.7（元）， 答：平均每天面条的销售额大约是1213.7元． 【点评】本题考查了正负数的应用、有理数四则运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． 15．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1） ＝﹣28+30﹣27 ＝﹣25； （2） ＝﹣4×2﹣2 ＝﹣8﹣2 ＝﹣10． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 能力提升进阶练 1．“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为2.0×107辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约m辆，则m的值是（　　） A．1.0×107 B．1.0×108 C．1.0×109 D．1.0×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：m＝5×2.0×107＝1.0×108． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【考点】有理数的乘法；正数和负数 【分析】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果． 【解答】解：例如（﹣2）×1＝﹣2，2×（﹣2）＝﹣4，所以C正确， 故选：C． 【点评】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结果符号． 3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2023*2022的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，可以计算出所求式子的值 【解答】解：∵x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z， ∴2023*2022 ＝2023*2022+2022﹣2022 ＝2023*（2022*2022）﹣2022 ＝2023*0﹣2022 ＝2023*（2023*2023）﹣2022 ＝（2023*2023）+2023﹣2022 ＝0+2023﹣2022 ＝1， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 4．（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数的乘方 【分析】根据有理数乘方和有理数的乘法进行解答． 【解答】解：原式， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是根据乘方的运算来解答． 5．计算：　　 ． 【考点】有理数的混合运算 【分析】由于（），可以利用此关系式对所求式子进行拆解，从而以求其值． 【解答】解：∵（）， ∴原式（） （） 2×（） ． 故答案是． 【点评】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键是找出三个连续奇数乘积分之一与三个奇数分之一的和差关系式． 6．若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2013＝　﹣1　 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 所以，（a+b）2013＝（﹣3+2）2013＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 7．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况：　40，99，65，63；44，78，45，105　 ． 【考点】有理数的乘法 【分析】分别把题干中的8个数字分成奇数组和偶数组进行分解质因数，偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13；奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7，根据两组数据中所含的质因数个数分别相等，即可进行解答． 【解答】解：偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13； 奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7， （1）先看偶数组，40第一组，44和78第二组（因为40分解出3个2；44有2个2，78有1个2）； （2）44中含有11，则99为第一组；78中含有13，则65为第一组；另外两个分解出含有5的数是45，105，其中105为第二组， 答：第一组有40，99，65，63；第二组为44，78，45，105． 故答案为：40，99，65，63；44，78，45，105． 【点评】此题考查了合数分解质因数的灵活应用，此题关键是正确理解“每组四个数的乘积相等”，那么“每组数据中所含的质因数的个数分别相等”． 8．若|2x﹣3|+（3y﹣2）2＝0，则（xy﹣2）2013的值是　﹣1　 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则原式＝（1﹣2）2013＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 9．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0，　　 ． 【考点】有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值 【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值． 【解答】解：∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴a＝1，b＝2， 则原式11． 故答案为： 【点评】此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练运用拆项方法是解本题的关键． 10．阅读第（1）小题计算方法，再类比计算第（2）小题． （1）﹣5（﹣9）+17（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上面这种方法叫做拆项法． （2）计算：（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）+4030． 【考点】有理数的加法 【分析】先进行拆项，然后再进行计算即可． 【解答】解：原式＝[（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）]+4030+[（）+（）+（）] ＝﹣4030+4030+[（）+（）+（）] ＝﹣2． 【点评】本题主要考查的是有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 11．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为3，求（a+b）cdm2的值． 【考点】有理数的混合运算 【分析】利用相反数性质，倒数的定义，绝对值的代数意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得： a+b＝0，cd＝1，m＝3或﹣3， ∴原式＝0×1+0﹣9＝﹣9． 【点评】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值以及倒数的综合运用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 12．（1）已知（a+2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）2017的值． （2）若|x|＝3，|y|＝2，且x＞y，求x+y的值． 【考点】有理数的加法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值 【分析】（1）利用相反数，非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值； （2）利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵（a+2）2与|b+1|互为相反数， ∴（a+2）2+|b+1|＝0， 可得a+2＝0，b+1＝0， 解得：a＝﹣2，b＝﹣1， 则原式＝﹣1； （2）∵|x|＝3，|y|＝2，且x＞y， ∴x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2， 则x+y＝5或1． 【点评】此题考查了有理数的加法，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．根据所给的条件，求出各式的值： （1）若|a﹣3|与（b﹣2）2互为相反数，求（﹣a）b的值． （2）已知：|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，求a﹣b的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；绝对值；非负数的性质：绝对值 【分析】（1）根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，计算即可； （2）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则解答． 【解答】解：（1）由题意得，|a﹣3|+（b﹣2）2，＝0， 则a﹣3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝3，b＝2， 则（﹣a）b＝9； （2）∵|a|＝3， ∴a＝±3， ∵|b|＝2， ∴b＝±2， ∵ab＜0， ∴a＝3，b＝﹣2，则a﹣b＝5， a＝﹣3，b＝2，则a﹣b＝﹣5． 【点评】本题考查的是非负数的性质和绝对值的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键． 14．已知三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式x2017﹣2x+2的值． 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据积是负数得出a，b，c均≠0，且a，b，c全为负数或一负两正，根据和为正数得出a，b，c一负两正，求出x值，即可求出答案． 【解答】解：∵三个有理数a、b、c，其积是负数， ∴a，b，c均≠0，且a，b，c全为负数或一负两正， ∵其和是正数， ∴a，b，c一负两正， ∴1+1﹣1＝1时， 代数式x2017﹣2x+2＝12017﹣2×1+2＝1． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法、乘法、除法的应用，关键是求出x的值． 15．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　21﹣7　 ；（2）||＝　0.8　 ； （3）||＝　　 ；（4）||＝　2.8﹣3.2　 ； （5）用合理的方法计算：||+||﹣||． 【考点】有理数的加减混合运算；绝对值 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0． 首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 【解答】解：（1）|7﹣21|＝21﹣7； （2）||＝0.8； （3）||； （4）||2.8﹣3.2； （5）原式． 【点评】此题的难点在第（5）小题，把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，要注意多观察各项之间的关系． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$