3.6正多边形与圆 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“正多边形与圆”，通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，实现从概念理解到规律探究的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心角、边长、外接圆半径等单一概念|单选1（中心角求边数）、填空9（外角求边数），夯实核心公式应用| |中档|边心距比、动态问题、作图与证明|单选5（边心距比计算）、解答14（正六边形作图与矩形证明），强化几何直观| |提升|性质证明、规律探究、跨知识综合|解答16（正五边形证明）、17（∠MON与n关系探究），发展推理能力与模型意识|

3.6正多边形与圆 一、单选题 1．若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆内接正方形的周长为8，则其外接圆的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 5．同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（    ） A． B． C． D． 6．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 9．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 10．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 11．如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 12．在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，如图将“雪花”图案（边长为的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_________． 13．如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 三、解答题 14．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 15．如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积． 16．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形． 17．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　 ，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是_______________ 18．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 第4页 第5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：设正多边形的边数为， 中心角为， ， ， 这个正多边形的边数是． 故选：． 2．B 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 3．D 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 4．B 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是正方形的外接圆， 经过圆心O， 正方形的周长为8， ， ， 的半径为， 故选：B． 5．A 【详解】解：设圆的半径为， 则正三角形的边心距为， 正方形的边心距为， 正六边形的边心距为， 故正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为． 故选A． 6．B 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 7．D 【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角， 过A作于C，则， ∵， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：D． 8．十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 9． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 10． 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 11． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【详解】解：如图，连接交于点， ，， ，即， 在中，， ， ， ， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 顶点的坐标为， 故答案为：． 13．49 【详解】解：如图，连接、、、， ∵，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：49． 14．(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 15．正△ABC的周长是3AB＝3R,面积是3AB×OD＝3RRR2；正方形ABCD的周长为4R＝4R，面积为RR＝2R2． 【详解】解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， ∵⊙O是正三角形ABC的外接圆， ∴∠AOB120°， ∵OA＝OB， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°， 在Rt△ADO中，AO＝R，AD＝R×sin60°R，OD＝Rcos60°R， ∵OD⊥AB， ∴AB＝2ADR， ∴正△ABC的周长是3AB＝3R,面积是3AB×OD＝3RRR2； 如图2，连接OA、OB、OD， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠COD90°， ∵OD＝OC＝R，由勾股定理得；CDR， ∴正方形ABCD的周长为4R＝4R，面积为RR＝2R2． 16．证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°， 即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE， ∴ ， ∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点， ∴五边形AEBCD是正五边形． 17．（1）；（2），；（3）． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 18．(1)解：如图①，正六边形即为所求； (2) 如图②，正八边形即为所求； (3) （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 答案第8页（共9页） 答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $