周周测07 4.1指数（数学苏教版必修第一册）

**基本信息** 聚焦指数知识，通过光纤通信、气体流量等真实情境设计，融合基础运算与实际应用，适配高一同步周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|分数指数幂形式、指数式意义|基础概念辨析，如第1题考查分数指数幂表示| |多选|3/18|根式与分数指数幂互化|多角度辨析，如第10题互化正确性判断| |填空|3/15|指数式求值、指数方程|简洁性考查，如第13题指数方程求解| |解答|5/77|指数运算、实际建模（浮萍面积、气体流量）|综合应用，如第19题数据建模，体现数学思维与模型表达|

2026-2027学年高一上学期数学周周测07 4.1指数 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数；任何数都可以开奇次方 【详解】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 3．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数；0的零次幂没有意义 【详解】由题意可知， 且． 故选：B 4.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 5.设，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】由得①；由得②．得，得 故选：D. 6.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，据此可得，然后由题意可得答案. 【详解】因距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半， 则， 设，则. 故选：B 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 7.下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【答案】ABC 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 8.已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数幂的乘方运算即可求解 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9.关于的方程的解为 ． 【答案】. 【分析】由可得出，结合可求得的值. 【详解】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 10.若实数、、满足，，则的最小值是 . 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11.已知，求： (1) (2). 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测07 4.1指数 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数；任何数都可以开奇次方 【详解】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数；0的零次幂没有意义 【详解】由题意可知， 且． 故选：B 6.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 7．设，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】由得①；由得②．得，得 故选：D. 8．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，据此可得，然后由题意可得答案. 【详解】因距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半， 则， 设，则. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【答案】ABC 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 11．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数幂的乘方运算即可求解 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，， 则 15 . 【答案】15 【分析】根据指数幂的运算法则求解． 【详解】若，，则． 故答案为：15． 13．关于的方程的解为 ． 【答案】. 【分析】由可得出，结合可求得的值. 【详解】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 14．若实数、、满足，，则的最小值是 . 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算： (1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算法则计算； （2）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则求解． 【详解】（1） ． （2）原式． 16．（15分）若，求下列各式的值： ①；② 【分析】 利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解. 【详解】①，所以； ②，且， 所以. 17．（15分）已知，求： (1) (2). 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则. 18．（17分）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意计算得出解析式； （2）根据已知条件代入计算求参得出解析式； （3）应用解析式代入计算求解. 【详解】（1）由题意，得（k是大于0的常数）． （2）由，，得， 所以，所以函数解析式为． （3）因为， 所以当时，． 所以气体通过管道半径为5cm时，该气体的流量为． 19．（17分）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 浮萍的面积 3 5 9 其函数解析式为，其中，，，均为常数，且. (1)求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，计算+-的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表中数据代入解析式计算参数即可； （2）根据（1）的结论结合指数的运算法则计算即可. 【详解】（1）由表中数据知，时间每增加1个月，浮萍的面积增加量逐渐变大，， 当依次取1，2，3得，解得，即； （2）由（1）知，，则有， 理出如下：依题意，得，，， 即，，，于是， 则，所以，则+-=1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测07 4.1指数 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 4.若，则（    ） A． B． C． D． 5.设，那么（    ） A． B． C． D． 6.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 7.下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 8.已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9.关于的方程的解为 ． 10.若实数、、满足，，则的最小值是 . 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11.已知，求： (1) (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测07 4.1指数 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（   ） A． B． C． D． 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 6.若，则（    ） A． B． C． D． 7．设，那么（    ） A． B． C． D． 8．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，， 则 . 13．关于的方程的解为 ． 14．若实数、、满足，，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算： (1) (2) 16．（15分）若，求下列各式的值： ①；② 17．（15分）已知，求： (1) (2). 18．（17分）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 19．（17分）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 浮萍的面积 3 5 9 其函数解析式为，其中，，，均为常数，且. (1)求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，计算+-的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $