第02讲 空间向量与立体几何（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量与立体几何，涵盖坐标运算、空间角求解、距离及存在性问题等核心考点，按“命题透视-知识解构-题型破译-真题训练”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题演练等环节，帮助学生系统构建解题框架。 讲义采用题型归类与分层突破策略，如通过共线向量定理证明平行问题，结合坐标运算培养数学思维与模型意识，设置基础与重难分层练习。既提升学生空间观念与运算能力，又为教师提供精准复习节奏把控方案，高效突破高考高频难点。

第02讲空间向量与立体几何 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 空间向量及其加减运算 知识点2 空间向量的数乘运算 知识点3 空间向量的数量积运算 知识点4 空间向量的坐标运算及应用 题型破译 题型1 空间向量的加法、减法、数乘运算 【方法技巧】空间向量的加法、减法、数乘运算 题型2 空间共线向量定理的应用 【方法技巧】空间共线向量定理的应用 题型3 空间向量的数量积运算 【方法技巧】空间向量的数量积运算 题型4 证明三点共线 【方法技巧】证明三点共线 题型5 证明多点共面的方法 【方法技巧】证明多点共面的方法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 空间向量概念、坐标运算 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 空间角向量求解 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 空间距离、存在性综合问题（点面距、动点探究） 天津卷 T15（5 分） 考情分析 空间向量是天津立体几何解答题固定解题工具，集中在第 15 大题，总分 10-12 分，难度中等偏上。核心考查：①垂直 / 平行条件下建立空间直角坐标系，完成向量坐标运算；②利用法向量计算三类空间角，是必考核心；③结合动点、参数探究平行垂直、距离、取值范围。向量法思路统一、套路固定，是大题拿分最优方法，计算粗心、法向量求解错误是主要丢分点。 复习目标 1. 熟练根据几何体垂直条件建立空间直角坐标系，准确写出点、直线、平面的空间向量坐标； 2. 牢记线线角、线面角、二面角的向量计算公式，会快速求平面法向量，规范角度取值范围； 3. 掌握点到平面距离的向量公式，能处理动点参数、存在性探究综合题型； 4. 规范书写解题步骤，减少坐标运算失误，完整拿下立体几何解答题全部分值。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或 ．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为 的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为 ． （3）相等向量与相反向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， . 必记结论 空间向量和平面向量定义一致，既有大小又有方向，向量只关注大小与方向，与起点位置无关。零向量模长为零，方向任意；单位向量模长等于 1。 空间向量加法满足三角形法则和平行四边形法则，减法可转化为加上相反向量，运算遵循交换律、结合律。空间任意两个向量都可以共面，三个向量未必共面。 首尾相接多个向量相加，结果为从起点指向终点的向量。解题注意零向量特殊性，零向量和任意向量平行。空间向量加减运算可类比平面向量，空间只是多一个维度，运算法则完全通用，做题分清向量与数量，不要混淆模与向量本身。 自主检测在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 知识点2 空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向 ；当时，向量与向量方向 ．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时， ，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 必记结论 ①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 自主检测如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 知识点3 空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作 ． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则 叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）；（分配律）． 必记结论 空间向量数量积结果是数量，不是向量。公式为 a 点乘 b 等于 a 的模乘以 b 的模再乘夹角余弦值。向量垂直等价于数量积等于零，向量夹角范围是 0 到 180 度。数量积满足交换律、分配律，不满足结合律。 求向量模长，利用 a 向量的平方等于模的平方实现转化。求两个向量夹角，先算数量积，再代入夹角公式计算。注意数量积为零不能直接推出其中某个向量为零向量。 空间向量数量积运算规则和平面向量一致，可用来解决垂直、夹角、线段长度问题。做题分清向量夹角与几何体中的线线角，二者范围不同，避免直接等同造成计算错误。 自主检测已知，若，则______. 知识点4 空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ；；； ；． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则；； ；； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 必记结论 建立空间直角坐标系后，向量可以用坐标表示。向量加减、数乘运算直接对对应坐标计算。两个向量数量积等于对应坐标乘积相加。利用坐标可以求向量模长、两个向量的夹角。 向量平行对应坐标成比例，向量垂直等价于数量积为零。空间向量坐标常用来证明线线、线面、面面的平行与垂直，求解线线角、线面角、二面角。建系优先找两两垂直的三条直线，保证坐标轴选取正确。 计算角度时注意几何体角度与向量夹角的区别，二面角要判断是锐角还是钝角。运算仔细核对坐标，坐标写错会造成整题出错，计算完成后可以简单回代检验。 自主检测已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 题●型●破●译 题型1 空间向量的加法、减法、数乘运算 例1-1长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 例1-2如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 方法技巧 空间向量的加法、减法、数乘运算 空间向量加减运算遵循三角形法则和平行四边形法则，可类比平面向量处理。多个首尾相连向量相加，结果由起点指向终点；减法转化为加上相反向量。数乘向量改变向量长度，正负号决定向量方向。 解题可进行向量线性分解，把目标向量用已知基底表示。判断向量共线，看是否存在实数，使得一个向量等于另一向量的数乘。空间任意两个向量一定共面，三个向量不一定共面。 做题分清向量与模，零向量方向任意。进行向量变形时，善用向量移项化简，不要随意消去向量。若建立坐标系，加减、数乘直接对应坐标运算，计算后核对符号，避免正负出错。 【变式训练1-1】已知，，若，则的值为__________. 【变式训练1-2】在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型2 空间共线向量定理的应用 例2-1如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 例2-2如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长. （1）证明：由题意， ，， 方法技巧 空间共线向量定理的应用 空间共线向量定理：． 利用此定理可解决立体几何中的平行问题． 【变式训练2-1】已知与共线，则___________． 【变式训练2-2·变考法】【新思维】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【变式训练2-3】已知空间向量，共线，m，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型3 空间向量的数量积运算 例3-1如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 例3-2已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. 例3-3已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 方法技巧 空间向量的数量积运算 ； 求模长时，可根据； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即． 为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 【变式训练3-1】如图，在平行六面体中，已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【变式训练3-2】如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 题型4 证明三点共线 例4-1已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 例4-2已知平行六面体，点为的重心． (1)求证：、、三点共线； (2)若平面，，，求直线与平面所成角的大小． 方法技巧 证明三点共线 空间中证明 A、B、C 三点共线，核心是证明两个向量共线。常用方法：证明向量 AB 与向量 AC 存在实数 λ，使得向量 AB 等于 λ 倍向量 AC，两向量有公共点 A，即可判定三点共线。 给出坐标时，直接写出两个向量坐标，验证坐标对应成比例即可。也可以利用共线向量定理，若向量 AB 与向量 BC 共线，且拥有公共点 B，同样可以证得共线。 关键易错点：仅仅向量共线不能直接得到三点共线，必须强调两向量拥有公共点。做题可以借助参数，求出参数后代入检验。三点共线问题本质是直线共线，不要混淆三点共线与四点共面的判定条件。 【变式训练4-1】如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面（包括边界）上运动，且总满足. (1)求证：三棱锥的体积为定值； (2)求证：，P，C三点共线； (3)是否存在点P使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点P的具体位置；若不存在，请说明理由. 【变式训练4-2·变载体】如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． (1)证明：、、三点共线； (2)现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 【变式训练4-3】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 题型5 证明多点共面的方法 例5-1如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 例5-2已知空间四点：，判断四点是否共面． 方法技巧 证明多点共面的方法 空间证明四点共面常用向量法。方法一：共面向量定理，从同一点出发得到三个向量，若其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合，则四点共面。方法二：向量法，证明两个向量共面，同时存在公共点。坐标条件：若向量 AB，AC，AD 混合积等于零，则四点共面。 易错提醒：仅有向量共面，不能直接推出点共面，必须保证向量拥有公共顶点。多点共面一般转化为四点共面处理。区分四点共面与三点共线，二者判定条件不一样。求出参数后建议回代检验。做题不要混淆共面向量定理与空间向量共线定理，避开概念类题目陷阱。 【变式训练5-1】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【变式训练5-2】如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【变式训练5-3】在如图所示的多面体中，正方形与直角梯形所在的平面垂直，，. (1)证明：四点共面； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2003·天津·高考真题）已知正四棱柱，E为中点，F为中点． (1)证明：为与的公垂线； (2)求点到面的距离． 5．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，已知BA，BC，为三条不共面的线段，若，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 3．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（    ）. A． B．6 C．12 D．144 4．如图，已知正方体，设，，，则（    ）. A． B． C． D． 5．以下向量中，与向量，都垂直的向量为（    ）． A． B． C． D． 6．棱长均为a的四面体中，的值等于_________． 7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）． 8．如果，，三点在同一直线上，那么__________，__________． 9．已知正方体的中心为O． ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． 上述结论中正确的有______．（填写所有正确命题的序号） 10．已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考空间向量解答题为必考大题。重点考查建立空间直角坐标系，求解直线方向向量、平面法向量。能够利用向量公式求取异面直线夹角、线面角、二面角。能够借助向量证明线线、线面、面面的平行与垂直关系。考题计算量适中，重点检验建系是否合理、坐标书写准确程度。二面角是考查核心，需要判断锐角或者钝角，是主要失分位置。 1．已知向量与共线，则（   ） A．9 B．3 C． D． 2．已知，则（   ） A．2 B． C．3 D． 3．已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 4．空间向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 6．向量与共线，则_____. 7．已知向量，，，若，，则__________. 8．已知，则在上的投影向量是________________ 9．已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 10．如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 重难·创新演练 设题创新:创新考题常给出斜底面几何体，坐标轴并不直观，建系难度加大。增设动点参数，探究角度、距离的最值以及存在性问题。部分题型几何条件较为隐蔽，需要先行推理垂直关系。容易出现法向量计算出错、二面角正负判断失误。训练着重强化非规则底面建系，熟练参数设定，区分各类空间角取值范围，提升复杂几何体的坐标运算和空间推理能力。 1．设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 7．在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则________. 8．已知空间向量，，. (1)若，求x； (2)设，，求； (3)若向量与向量共面，求实数x的值. 9．已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 10．已知. (1)求的值： (2)设向量，求； (3)若，求的值. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲空间向量与立体几何 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 空间向量及其加减运算 知识点2 空间向量的数乘运算 知识点3 空间向量的数量积运算 知识点4 空间向量的坐标运算及应用 题型破译 题型1 空间向量的加法、减法、数乘运算 【方法技巧】空间向量的加法、减法、数乘运算 题型2 空间共线向量定理的应用 【方法技巧】空间共线向量定理的应用 题型3 空间向量的数量积运算 【方法技巧】空间向量的数量积运算 题型4 证明三点共线 【方法技巧】证明三点共线 题型5 证明多点共面的方法 【方法技巧】证明多点共面的方法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 空间向量概念、坐标运算 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 空间角向量求解 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 空间距离、存在性综合问题（点面距、动点探究） 天津卷 T15（5 分） 考情分析 空间向量是天津立体几何解答题固定解题工具，集中在第 15 大题，总分 10-12 分，难度中等偏上。核心考查：①垂直 / 平行条件下建立空间直角坐标系，完成向量坐标运算；②利用法向量计算三类空间角，是必考核心；③结合动点、参数探究平行垂直、距离、取值范围。向量法思路统一、套路固定，是大题拿分最优方法，计算粗心、法向量求解错误是主要丢分点。 复习目标 1. 熟练根据几何体垂直条件建立空间直角坐标系，准确写出点、直线、平面的空间向量坐标； 2. 牢记线线角、线面角、二面角的向量计算公式，会快速求平面法向量，规范角度取值范围； 3. 掌握点到平面距离的向量公式，能处理动点参数、存在性探究综合题型； 4. 规范书写解题步骤，减少坐标运算失误，完整拿下立体几何解答题全部分值。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， . 必记结论 空间向量和平面向量定义一致，既有大小又有方向，向量只关注大小与方向，与起点位置无关。零向量模长为零，方向任意；单位向量模长等于 1。 空间向量加法满足三角形法则和平行四边形法则，减法可转化为加上相反向量，运算遵循交换律、结合律。空间任意两个向量都可以共面，三个向量未必共面。 首尾相接多个向量相加，结果为从起点指向终点的向量。解题注意零向量特殊性，零向量和任意向量平行。空间向量加减运算可类比平面向量，空间只是多一个维度，运算法则完全通用，做题分清向量与数量，不要混淆模与向量本身。 自主检测在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 知识点2 空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 必记结论 ①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 自主检测如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D 知识点3 空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）；（分配律）． 必记结论 空间向量数量积结果是数量，不是向量。公式为 a 点乘 b 等于 a 的模乘以 b 的模再乘夹角余弦值。向量垂直等价于数量积等于零，向量夹角范围是 0 到 180 度。数量积满足交换律、分配律，不满足结合律。 求向量模长，利用 a 向量的平方等于模的平方实现转化。求两个向量夹角，先算数量积，再代入夹角公式计算。注意数量积为零不能直接推出其中某个向量为零向量。 空间向量数量积运算规则和平面向量一致，可用来解决垂直、夹角、线段长度问题。做题分清向量夹角与几何体中的线线角，二者范围不同，避免直接等同造成计算错误。 自主检测已知，若，则______. 【答案】2 【详解】因为，所以， 由题意. 故答案为：2 知识点4 空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ；；； ；． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则；； ；； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 必记结论 建立空间直角坐标系后，向量可以用坐标表示。向量加减、数乘运算直接对对应坐标计算。两个向量数量积等于对应坐标乘积相加。利用坐标可以求向量模长、两个向量的夹角。 向量平行对应坐标成比例，向量垂直等价于数量积为零。空间向量坐标常用来证明线线、线面、面面的平行与垂直，求解线线角、线面角、二面角。建系优先找两两垂直的三条直线，保证坐标轴选取正确。 计算角度时注意几何体角度与向量夹角的区别，二面角要判断是锐角还是钝角。运算仔细核对坐标，坐标写错会造成整题出错，计算完成后可以简单回代检验。 自主检测已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由直线平面，可得，则 则，解得 故选：D. 题●型●破●译 题型1 空间向量的加法、减法、数乘运算 例1-1长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 例1-2如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 方法技巧 空间向量的加法、减法、数乘运算 空间向量加减运算遵循三角形法则和平行四边形法则，可类比平面向量处理。多个首尾相连向量相加，结果由起点指向终点；减法转化为加上相反向量。数乘向量改变向量长度，正负号决定向量方向。 解题可进行向量线性分解，把目标向量用已知基底表示。判断向量共线，看是否存在实数，使得一个向量等于另一向量的数乘。空间任意两个向量一定共面，三个向量不一定共面。 做题分清向量与模，零向量方向任意。进行向量变形时，善用向量移项化简，不要随意消去向量。若建立坐标系，加减、数乘直接对应坐标运算，计算后核对符号，避免正负出错。 【变式训练1-1】已知，，若，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为，， 则， ， 又，所以， 即，化简得，解得. 故答案为： 【变式训练1-2】在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， 则， ， , 所以. 故选：C 【变式训练1-3】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 题型2 空间共线向量定理的应用 例2-1如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 故，设平面的法向量为， 则即，取，故，故， 而平面，故平面. （2）因为，故，故，而， 设平面的法向量为， 故即，取，则， 故， 设与平面所成角为，则. （3）由（1）可得，而， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故， 因为平面，故， 故存在非零实数，使得即， 故，解得， 故，由（2）可得， 故与平面夹角的余弦值为. 例2-2如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长. 【答案】依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形， 则，， 所以面， 又，可以建立以为原点， 分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，，，， （1）证明：由题意， ，， 因为，所以. （2）； （3） 【详解】依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形， 则，， 所以面， 又，可以建立以为原点， 分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，，，， （1）略； （2），， 设为平面的法向量，则 ，即， 不妨令，可得， 平面的一个法向量， 因此有， 由图可得二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. （3）（方法一）设，， 所以，因此， 令，即， 解得，即为的中点， 因为平面，平面，， 所以当为的中点时，平面平面， 此时即， ， 所以线段的长为. （方法二）设，， 所以，因此， 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为平面平面，所以， 解得：， 此时即，， 所以线段的长为. 方法技巧 空间共线向量定理的应用 空间共线向量定理：． 利用此定理可解决立体几何中的平行问题． 【变式训练2-1】已知与共线，则___________． 【答案】 【详解】因为与共线，所以存在，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴. （2）由（1）可知，又，， 平面，平面，∴平面，∵平面， ∴，由（1）可知，在中，，∴， 则与相似，则，在中，，， ∴，∴， ∴. 【变式训练2-3】已知空间向量，共线，m，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题设有非零向量共线，则存在实数，使得， 故，故，故． 故选：C． 题型3 空间向量的数量积运算 例3-1如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以. 例3-2已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______. 【答案】 【详解】由已知与的夹角为锐角，则， 即，解得. 若与的夹角为0°，则存在，使. 所以，所以，. 综上，若与的夹角为锐角，则且. 故t的取值范围是. 故答案为：. 例3-3已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 方法技巧 空间向量的数量积运算 ； 求模长时，可根据； 求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即． 为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． 【变式训练3-1】如图，在平行六面体中，已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】依题意，， 所以 ， 所以. 故选：B 【变式训练3-2】如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 题型4 证明三点共线 例4-1已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】D 【详解】对A，，又不存在实数，使得，与不是共线向量，故A错误； 对B，，与向量方向相同的单位向量是，故B错误； 对C，，，故C错误； 对D，设为面的一个法向量，，，取，平面的一个法向量是，故D正确； 故选：D 例4-2已知平行六面体，点为的重心． (1)求证：、、三点共线； (2)若平面，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)由点为的重心， 所以 ， 又，故， 又与交于，故、、三点共线． (2) 【详解】（1）略 （2）由题设，连结，交于，则， 以为原点，、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 所以，，，，，， ，，， 而，则， 因此，， 设平面的法向量，故， 所以，可取， 设直线与平面所成角为，则， 因此，直线与平面所成角的大小为． 方法技巧 证明三点共线 空间中证明 A、B、C 三点共线，核心是证明两个向量共线。常用方法：证明向量 AB 与向量 AC 存在实数 λ，使得向量 AB 等于 λ 倍向量 AC，两向量有公共点 A，即可判定三点共线。 给出坐标时，直接写出两个向量坐标，验证坐标对应成比例即可。也可以利用共线向量定理，若向量 AB 与向量 BC 共线，且拥有公共点 B，同样可以证得共线。 关键易错点：仅仅向量共线不能直接得到三点共线，必须强调两向量拥有公共点。做题可以借助参数，求出参数后代入检验。三点共线问题本质是直线共线，不要混淆三点共线与四点共面的判定条件。 【变式训练4-1】如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面（包括边界）上运动，且总满足. (1)求证：三棱锥的体积为定值； (2)求证：，P，C三点共线； (3)是否存在点P使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点P的具体位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：∵在侧面上，平面平面， ∴到平面的距离即为到平面的距离，即为正方体棱长， ∴， 即三棱锥的体积为定值 (2) 证明：以为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，， ，即三点共线，得证； (3)点P的具体位置是点或点. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，，， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 即， 由题意， 解得：， 即或，又， 所以或， 即点存在，点P的具体位置是点或点. 【变式训练4-2·变载体】如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． (1)证明：、、三点共线； (2)现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1) 证明：因为点在线段上，满足，为的中点， 所以，， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，，即， 即，故，所以， 所以、、三点共线. (2) 【详解】（1）略 （2）因为，，，，故，， 因为为的中点，所以， 将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，则， 因为，、平面，故平面， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，故， 以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 设平面A'CF的一个法向量为，，， 则，则， 取，可得， 设平面A'EP的一个法向量为，，， 则，则， 取，可得， 所以， 故. 因此，平面A'CF与平面A'EP夹角的正弦值为. 【变式训练4-3】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明:连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． (3)证明:连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【详解】（1）依题意可得，    （2）略； （3）略. 题型5 证明多点共面的方法 例5-1如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 例5-2已知空间四点：，判断四点是否共面． 【答案】四点共面 【详解】， 则， 因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面. 方法技巧 证明多点共面的方法 空间证明四点共面常用向量法。方法一：共面向量定理，从同一点出发得到三个向量，若其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合，则四点共面。方法二：向量法，证明两个向量共面，同时存在公共点。坐标条件：若向量 AB，AC，AD 混合积等于零，则四点共面。 易错提醒：仅有向量共面，不能直接推出点共面，必须保证向量拥有公共顶点。多点共面一般转化为四点共面处理。区分四点共面与三点共线，二者判定条件不一样。求出参数后建议回代检验。做题不要混淆共面向量定理与空间向量共线定理，避开概念类题目陷阱。 【变式训练5-1】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 【变式训练5-2】如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3). 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式训练5-3】在如图所示的多面体中，正方形与直角梯形所在的平面垂直，，. (1)证明：四点共面； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面平面，所以平面， 在直角梯形中，可知，所以两两互相垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，故四点共面． (2). 【详解】（1）略 （2）因为． 所以，设平面的法向量为， 则取． 因为是的中点，所以， 所以，设平面的法向量为， 则取． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 2．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 法一、在正方形中， 由条件易知 ，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 4．（2003·天津·高考真题）已知正四棱柱，E为中点，F为中点． (1)证明：为与的公垂线； (2)求点到面的距离． 【答案】(1) 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则， 因为， 所以， 即为与的公垂线； (2) 【详解】（1）略 （2）解：， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到面的距离为. 5．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    设正方体的棱长为2， 则 , 设异面直线与所成的角为，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 2．在平行六面体中，已知BA，BC，为三条不共面的线段，若，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的加法法则可得 ， 又，且不共面， 所以，解得， 所以. 故选：B. 3．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（    ）. A． B．6 C．12 D．144 【答案】C 【详解】因为， 则 又 ， 则 故选：C. 4．如图，已知正方体，设，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为1， 因为 所以， 又， ， 又， 故选：D. 5．以下向量中，与向量，都垂直的向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，由于，故不垂直，错误； 选项B，由于，故不垂直，错误； 选项C，由于，故垂直 ，故垂直，正确； 选项D，由于，故不垂直 故选：C 6．棱长均为a的四面体中，的值等于_________． 【答案】 【详解】.    故答案为： 7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）． 【答案】共面 【详解】， 因为A，B，C三点不共线 则不共线， 则共面 则A，B，C，M四点共面. 故答案为：共面. 8．如果，，三点在同一直线上，那么__________，__________． 【答案】 3 4 【详解】由题设，且，而， 所以，可得. 故答案为：3，4. 9．已知正方体的中心为O． ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． 上述结论中正确的有______．（填写所有正确命题的序号） 【答案】①③④ 【详解】设正方体的边长为，以为原点建立空间直角坐标系， 其中的中心为， 则， 且， 对于①中，向量， ， 因为，所以向量与是一对相反向量，所以正确； 对于②中，由， ， 所以，所以不正确； 对于③中，由， ， 所以与是一对相反向量，所以正确； 对于④中，由， ， 所以与是一对相反向量，所以正确. 故答案为：①③④ 10．已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 【答案】 【详解】由题设，且，又，， 所以，可得，则. 故答案为： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考空间向量解答题为必考大题。重点考查建立空间直角坐标系，求解直线方向向量、平面法向量。能够利用向量公式求取异面直线夹角、线面角、二面角。能够借助向量证明线线、线面、面面的平行与垂直关系。考题计算量适中，重点检验建系是否合理、坐标书写准确程度。二面角是考查核心，需要判断锐角或者钝角，是主要失分位置。 1．已知向量与共线，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量与共线，所以，解得， 所以. 故选：C 2．已知，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 3．已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A 4．空间向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间向量在方向上的投影向量为， 故选：B 5．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，由题意， . 故选：A 6．向量与共线，则_____. 【答案】 【详解】因为向量与共线，设，即， 所以，解得，故. 故答案为：. 7．已知向量，，，若，，则__________. 【答案】/ 【详解】由，,，可得：， 又由，，，可得： ， 因为，所以， 即， 故答案为： 8．已知，则在上的投影向量是________________ 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量是. 故答案为：. 9．已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）因为，，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得， 即，， 若，则，解得，即. （2）因为，，， 则，， 可得，，， 所以与所成角的余弦值为. 10．如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2)证明：，所以，同理可证,所以：． (3) 【详解】（1），， 所以． （2）略 （3）设为异面直线与所成的角， 重难·创新演练 设题创新:创新考题常给出斜底面几何体，坐标轴并不直观，建系难度加大。增设动点参数，探究角度、距离的最值以及存在性问题。部分题型几何条件较为隐蔽，需要先行推理垂直关系。容易出现法向量计算出错、二面角正负判断失误。训练着重强化非规则底面建系，熟练参数设定，区分各类空间角取值范围，提升复杂几何体的坐标运算和空间推理能力。 1．设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 2．已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为的中点，则，所以，则， 因为，所以，因此. 故选：C 3．已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 4．设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，、、共面， 设，即， 即，解得. 故选：C. 5．如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设， 因为， 因为，，所以，， 所以，又， 所以, 因为、、、四点共面，所以，解得， 所以. 故选：B. 6．在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 【答案】 【详解】因为， 且，， 所以， 又因为，且线性无关，所以， 则. 故答案为：. 7．在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则________. 【答案】 【详解】设，则， 所以. 又，，，四点共面，所以. 由. 所以. 故答案为： 8．已知空间向量，，. (1)若，求x； (2)设，，求； (3)若向量与向量共面，求实数x的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由，所以，解得； （2）由，所以存在实数，使得，即， 又因为，所以，解得， 当时，，当时，； （3）由向量与向量共面，存在有序实数对，使得， 所以， 所以，解得， 所以. 9．已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 10．已知. (1)求的值： (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)10 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以 所以； （2），因为，所以，， 所以，所以，所以， 所以，所以. （3）， 因为，所以， 即，解得. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $