第02讲 导数与函数单调性（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦导数与函数单调性高考核心考点，涵盖不含参单调区间求解、含参单调性分类讨论、由单调性求参数取值范围等天津卷高频内容，按“基础问题—不含参讨论—含参讨论”逻辑构建知识体系。通过命题透视研判考情、思维建模搭建框架、知识精讲拆解核心、题型破译归纳技巧、真题溯源感知考向、分层训练突破难点的教学流程，帮助学生系统掌握导数与单调性的内在联系，突破分类讨论、恒成立转化等关键难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“变号保留定号去”“根的分布定参”等解题策略，如含参单调性讨论中结合二次函数根与定义域位置关系分类，培养学生逻辑推理与规范表达能力。设置基础演练与重难创新分层练习，配合课本典例溯源高考素材，确保学生在有限时间内提升解题效率，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第02讲 导数与函数单调性 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 单调性基础问题 知识点2 不含参数单调性讨论 知识点3 含参数单调性讨论 题型破译 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【方法技巧】利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型2 判断不含参函数的单调性 【方法技巧】判断不含参函数的单调性 题型3 含参函数讨论单调性 【方法技巧】含参函数讨论单调性 题型4 根据函数的单调性求参数 【方法技巧】根据函数的单调性求参数 题型5 函数与导函数图象之间的关系 【方法技巧】函数与导函数图象之间的关系 题型6 函数单调性的应用——解不等式 【方法技巧】函数单调性的应用——解不等式 题型7 导数关系构造函数解不等式 【方法技巧】导数关系构造函数解不等式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不含参函数的单调区间求解 天津卷 T10（5 分） 天津卷 T20（2）（6分） 含参函数的单调性分类讨论 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T3（5 分） 由单调性求参数取值范围 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 考情分析 导数与函数的单调性是天津高考数学必考核心考点，是导数模块的基石，每年均有考查，以解答题为主，偶尔搭配选择/填空题，单题分值5-6分，整体难度中等，是区分度核心考点。高频考查方向为：①不含参函数的单调区间求解；②含参函数的单调性分类讨论（天津卷高频难点，常结合二次函数、对数/指数函数定义域分析）；③由单调性求参数取值范围（转化为恒成立问题，常用分离参数法）。本模块是后续导数极值、最值、不等式证明等综合问题的必备基础，常与函数零点、不等式证明等内容结合考查，是导数解答题的核心得分点 复习目标 1. 理解函数单调性与导数的关系，掌握利用导数判断函数单调性的基本原理，能熟练求解不含参函数的单调区间； 2. 掌握含参函数单调性分类讨论的核心逻辑，能按参数范围合理分类，结合二次函数、定义域等要素完整分析函数的单调区间； 3. 掌握由单调性求参数范围的核心方法，能将问题转化为恒成立问题，熟练使用分离参数法、最值分析法求解参数范围，筑牢导数综合应用的基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为_______；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调_______； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调_______． 必记结论 1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 自主检测函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 知识点2 不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求_______)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 必记结论 求导后因式分解，令导数为零找出临界点，划分定义域区间。判断各区间导函数正负，正增负减。技巧：优先化简导函数，注意定义域限制；零点按大小排序分段。结论：不含参无需分类讨论，导数符号固定，直接判定单调区间，是含参单调性、求极值最值的基础。 自主检测（2026·天津静海·调研）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 知识点3 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求_______； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 必记结论 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 自主检测（2026·天津和平·联考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 题●型●破●译 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 例1-1已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例1-2（2026·天津·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 3 0 0 单调递增 6 单调递减 单调递增 方法技巧 利用导数求函数的单调区间（不含参） 不含参函数求单调区间固定四步解题法，先锁定定义域，杜绝遗漏对数、分式限制丢分。规范求导后因式分解、通分化简导函数，令导数为 0 求出零点，借助数轴穿根法判断各区间导数正负。牢记 f’(x)>0 对应增区间，f’(x)<0 对应减区间，多个单调区间只用 “和” 分隔，不可合并写并集。注意导数为 0 但左右符号不变的点不分割区间，答题规范书写区间，避开格式扣分。 【变式训练1-1】（2026·天津宝坻·三模）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)求在闭区间上的最大值与最小值． 【变式训练1-2】（2026·天津静海·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【变式训练1-3】（2026·天津津南·模拟预测）已知函数 . (1)求的定义域; (2)求的单调区间; (3)求在区间上的最小值. 题型2 判断不含参函数的单调性 例2-1给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 例2-2设． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最大值与最小值． 方法技巧 判断不含参函数的单调性 定定义域：先标出分式、对数、根式限制范围，后续区间不能超出定义域。 求导化简：对函数求导，因式分解、通分整理导函数。 找临界点：令导数值为 0，解出零点；同时标出导数无定义的点。 分区间判正负：用零点划分区间，取测试点代入导数：(f'(x)>0)单调递增，(f'(x)<0)单调递减。 答题规范：多个增减区间用逗号 /“和” 隔开，严禁写成并集；单点导数为 0 不影响单调性，不纳入区间。 【变式训练2 -1】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【变式训练2 -2】已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最值． 【变式训练2 -3】已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在上的最值. 题型3 含参函数讨论单调性 例3-1已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调区间． 例3-2已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，设函数，求证：函数存在唯一极小值点，且．（数据：） 例3-3已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 方法技巧 含参函数讨论单调性 先确定函数定义域，对原函数求导并整理因式。令导数为零求出含参根，按参数分界点分类讨论：比较根的大小、根与定义域边界位置。分区间判断导函数正负，导数正则递增、负则递减。多段单调区间用逗号分隔，勿取并集，按参数不同情况分段书写增减区间，分类做到不重不漏。 【变式训练3-1】（2026·天津静海·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 【变式训练3-2】已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上存在零点，证明：． 题型4 根据函数的单调性求参数 例4-1（2026·天津津南·一模）若函数的单调递减区间为，则________． 例4-2（2026·天津滨海新区·阶段检测）若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 方法技巧 根据函数的单调性求参数 已知单调性求参数，先明确定义域与导数关系式：函数在区间上单调递增则(f'(x)≥0)恒成立，单调递减则(f'(x)≤0)恒成立，注意等号仅能在有限个点取到。整理导函数恒成立不等式，分离参数转化为最值问题，或结合二次函数图像、根的分布分析。求出参数范围后验证导数不恒为零，避免常函数失分。最终整合各类约束条件，取交集得到参数取值范围。 【变式训练4-1】若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 【变式训练4-3】已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 题型5 函数与导函数图象之间的关系 例5-1（2026·天津和平·一模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 例5-2（2026·天津静海·一模）函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 方法技巧 函数与导函数图象之间的关系 原函数与导函数图像核心关联：导函数在 x 轴上方，原函数单调递增；导函数在 x 轴下方，原函数单调递减。导函数零点对应原函数极值点，穿过横轴才是极值点，相切则不是。导函数的增减性对应原函数的凹凸性，导函数递增，原函数下凸；导函数递减，原函数上凸。已知其一图像推导另一图像时，分段核对升降趋势、极值位置，留意零点与极值点的对应偏差，做题优先标记关键节点逐一比对。 【变式训练5-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【变式训练5-2】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型6 函数单调性的应用——解不等式 例6-1已知函数．若，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6-2已知函数，则不等式的解集为__________． 方法技巧 函数单调性的应用——解不等式 利用单调性解不等式，核心是构造同结构函数。先对不等式变形，整理出(f(m)>f(n))的形式，确定函数(f(x))的定义域，再求导判断(f(x))单调性。若(f(x))递增，则(m>n)；递减则(m<n)。列出不等式组，兼顾自变量本身的取值范围，联立求解。最后取各约束条件的交集得到解集，注意不要遗漏定义域限制，避免增根，多步推导严格依据单调性转化，保证等价变形。 【变式训练6-1】已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 【变式训练6-2】已知函数，则不等式的解集为_____________． 【变式训练6-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 题型7 导数关系构造函数解不等式 例7-1（2026·天津津南·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 例7-2（2026·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 方法技巧 导数关系构造函数解不等式 借助导数关系式构造函数解不等式，先观察题干给出的(f(x))与(f'(x))组合形式，匹配常用构造模型。构造新函数后求导，判断新函数单调性，再将不等式整理为新函数两函数值比较的形式。利用单调性脱去外层f，转化为普通不等式，同时严格遵守原函数与构造函数的定义域限制，联立取值范围取交集，最后规范写出解集，严防遗漏定义域造成错解。 【变式训练7-1】已知函， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：恒成立； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【变式训练7-2】已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 2．（2008·天津·高考真题）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时的费用12万元；保险费、养路费、燃油费等各种费用每年1万元；维修费用万元；使用x年后，汽车的价值为万元．显然，在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)随着x的增加，函数值y的变化有何规律？ 2．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 3．研究函数的图象和性质，其中，都是非零正实数． 4．利用函数的图象和性质，研究下列方程解的个数，其中a是实常数． (1)； (2)． 5．已知函数． (1)讨论的单调性． (2)若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由． 6．求函数的单调区间． 7．求下列函数的单调区间和极值． (1)； (2)． 8．确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数． 9．求函数的单调区间． 10．已知的导函数满足下列条件：①当时，；②当或时，；③当或时，.试根据上述条件画出函数图象的大致形状. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考导数单调性为导数大题基础必考内容，小题也会穿插考查。基础层面考查无参函数求单调区间，侧重定义域、导数化简与区间规范书写；难点集中在含参函数分类讨论，需结合二次函数判别式、根与定义域位置分析。常逆向命题，由单调性转化恒成立求参数，还结合图像、构造函数解不等式，以指对混合函数为载体，侧重分类讨论、分离参数两大核心方法，是衔接极值、零点、不等式证明的关键基础。 1．函数，若对恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 5．若函数在上单调递增，则实数m的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 9．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 10．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)函数，若，在定义域内有解，求k的取值范围． 重难·创新演练 设题创新:天津高考单调性考题创新体现在四方面：载体融合指对、三角复合函数，参数分类边界隐蔽；设问层层递进，以单调性为基础衔接零点、多变量不等式；融入生活情境建模，增加文字转数学模型难度；灵活考查二阶导数、构造函数，弱化固定套路，侧重逻辑转化与数形结合综合思维。 1．函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 4．已知函数 (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最值； (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，设， (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 9．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数．设， (1)求函数的单调区间； (2)若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 导数与函数单调性 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 单调性基础问题 知识点2 不含参数单调性讨论 知识点3 含参数单调性讨论 题型破译 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【方法技巧】利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型2 判断不含参函数的单调性 【方法技巧】判断不含参函数的单调性 题型3 含参函数讨论单调性 【方法技巧】含参函数讨论单调性 题型4 根据函数的单调性求参数 【方法技巧】根据函数的单调性求参数 题型5 函数与导函数图象之间的关系 【方法技巧】函数与导函数图象之间的关系 题型6 函数单调性的应用——解不等式 【方法技巧】函数单调性的应用——解不等式 题型7 导数关系构造函数解不等式 【方法技巧】导数关系构造函数解不等式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不含参函数的单调区间求解 天津卷 T10（5 分） 天津卷 T20（2）（6分） 含参函数的单调性分类讨论 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T3（5 分） 由单调性求参数取值范围 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 考情分析 导数与函数的单调性是天津高考数学必考核心考点，是导数模块的基石，每年均有考查，以解答题为主，偶尔搭配选择/填空题，单题分值5-6分，整体难度中等，是区分度核心考点。高频考查方向为：①不含参函数的单调区间求解；②含参函数的单调性分类讨论（天津卷高频难点，常结合二次函数、对数/指数函数定义域分析）；③由单调性求参数取值范围（转化为恒成立问题，常用分离参数法）。本模块是后续导数极值、最值、不等式证明等综合问题的必备基础，常与函数零点、不等式证明等内容结合考查，是导数解答题的核心得分点 复习目标 1. 理解函数单调性与导数的关系，掌握利用导数判断函数单调性的基本原理，能熟练求解不含参函数的单调区间； 2. 掌握含参函数单调性分类讨论的核心逻辑，能按参数范围合理分类，结合二次函数、定义域等要素完整分析函数的单调区间； 3. 掌握由单调性求参数范围的核心方法，能将问题转化为恒成立问题，熟练使用分离参数法、最值分析法求解参数范围，筑牢导数综合应用的基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 必记结论 1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 自主检测函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 知识点2 不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 必记结论 求导后因式分解，令导数为零找出临界点，划分定义域区间。判断各区间导函数正负，正增负减。技巧：优先化简导函数，注意定义域限制；零点按大小排序分段。结论：不含参无需分类讨论，导数符号固定，直接判定单调区间，是含参单调性、求极值最值的基础。 自主检测（2026·天津静海·调研）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【详解】（1）∵ ，函数定义域为， ∴ ，即切点坐标为. ， ∴ 切线斜率. 由点斜式得切线方程为，整理得或. （2）由(1)得， ∵ 对任意，恒成立， ∴ 的符号由二次函数的符号决定. 令，即，解得，. ∵ 二次函数开口向上， ∴ 当或时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 知识点3 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 必记结论 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 自主检测（2026·天津和平·联考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合、分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，. 则，. 所以切线方程为，整理得. （2）的定义域为. ，分母，符号由 决定. 令，即，解得或. 当时，由，得且，解得或； 由，得且，解得或. 当时，由，得且，解得或； 由，得且，解得或. 综上，当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，. 题●型●破●译 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 例1-1已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求导，判断其单调性，对不等式进行转化，利用函数的单调性解不等式. 【详解】构造，则， 因为，所以，所以在上单调递增， ， 因为函数的定义域是，所以， 所以，， 又， 所以，所以，所以， 综上，，即不等式的解集是. 例1-2（2026·天津·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）运用函数导数的正负性判断函数的单调区间，进而求解极值； （2）根据小问（1）的单调区间求出在固定区间的最值. 【详解】（1）由， 可得， 令，解得，或， 当变化时，的变化情况如下表所示． 3 0 0 单调递增 6 单调递减 单调递增 因此，的单调递增区间为和；单调递减区间为； 当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． （2）由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减， 在区间上，当时，有极大值，并且极大值为， 又由于，， 所以在区间上最大值为； 最小值为． 方法技巧 利用导数求函数的单调区间（不含参） 不含参函数求单调区间固定四步解题法，先锁定定义域，杜绝遗漏对数、分式限制丢分。规范求导后因式分解、通分化简导函数，令导数为 0 求出零点，借助数轴穿根法判断各区间导数正负。牢记 f’(x)>0 对应增区间，f’(x)<0 对应减区间，多个单调区间只用 “和” 分隔，不可合并写并集。注意导数为 0 但左右符号不变的点不分割区间，答题规范书写区间，避开格式扣分。 【变式训练1-1】（2026·天津宝坻·三模）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)求在闭区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）利用（1）的结论，可求函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）， ， 令，解得或， 当变化时，的变化情况如表所示． + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）由（1）知： 3 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 得到，，，， 即函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式训练1-2】（2026·天津静海·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为， (2)设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即. 【分析】（1）求导，根据导数的正负求解即可； （2）设，，求导，分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由，得， 令，得，令，得或， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，. （2）略 【变式训练1-3】（2026·天津津南·模拟预测）已知函数 . (1)求的定义域; (2)求的单调区间; (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1)(2)单调递增区间是和 ，单调递减区间是(3). 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）求导，通过和即可求解； （3）由（2）函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由有意义需满足， 得的定义域为 （2）由 ， 可得 ， 因为定义域为 由，即 ，可得 或 ， 由，即 ，可得 ， 所以函数的单调递增区间是和 ， 单调递减区间是. （3）由（2）知: 函数 在区间 上的单调性为： 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 ， 又 所以函数在区间上的最小值为. 题型2 判断不含参函数的单调性 例2-1给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) (3)当时，解的个数为；当或时，解的个数为；当时，解的个数为. 【分析】（1）求导分析函数单调性，进而求解极值； （2）结合单调性和极值画出简图； （3）结合函数图象分类讨论解的个数. 【详解】（1）对求导可得：， 因为恒成立，因此： 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因此在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时， ，， 当时，，，所以， （3）方程的解的个数等价于与的交点个数，结合图象可得： 当时，解的个数为； 当或时，解的个数为； 当时，解的个数为. 例2-2设． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)的极大值为，极小值为. (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导，利用导数分析单调性，进而求得单调区间； （2）结合单调性和极值定义求解即可； （3）计算区间端点和区间内所有极值点处的函数值，比较求解最值. 【详解】（1），令，解得，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减。 所以单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）根据（1）可得是极大值点，代入得： 是极小值点，代入得： 所以的极大值为，极小值为. （3）由（2）知函数极值为：，； 因为， ， 故， 所以区间上的最大值为，最小值为. 方法技巧 判断不含参函数的单调性 定定义域：先标出分式、对数、根式限制范围，后续区间不能超出定义域。 求导化简：对函数求导，因式分解、通分整理导函数。 找临界点：令导数值为 0，解出零点；同时标出导数无定义的点。 分区间判正负：用零点划分区间，取测试点代入导数：(f'(x)>0)单调递增，(f'(x)<0)单调递减。 答题规范：多个增减区间用逗号 /“和” 隔开，严禁写成并集；单点导数为 0 不影响单调性，不纳入区间。 【变式训练2 -1】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； 极大值为，极小值为；(2)或(3) 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值即可； （2）根据单调性和极值作出函数图像，结合图像确定参数范围即可； （3）根据题意可知最大值在处取得，则，再解不等式组即可． 【详解】（1）， 则的解为，的解为或， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为； 在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为 （2）由（1）可得，函数的简要图像如下： 方程恰有一个实数解， 则或； （3）令，即， 解得或， 又函数在区间存在最大值，则最大值要在处取得， ，解得． 【变式训练2 -2】已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据已知函数的单调性，求出函数的单调区间； （2）求出函数的极值及端点处函数值得解. 【详解】（1），令，解得， 当时，，所以的增区间为， 当时，，所以的减区间为， 所以的增区间为，减区间为． （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值，的极大值， 又因为， 故最大值为，最小值为． 【变式训练2 -3】已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在上的最值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)函数在上的最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导函数，令和，分别求解可得增区间与减区间； （2）利用（1）的单调性可得函数在的变化情况，进而可求最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，则，所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知且，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当x无限趋向于0时，无限趋向于0， 又，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 题型3 含参函数讨论单调性 例3-1已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1) (2)①当时，增区间为，减区间为；②当时，增区间为和，减区间为；③当时，增区间为，无减区间；④当时，增区间为和，减区间为. 【详解】（1）当时，， 计算得，即切点为， 求导得：，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得； （2）对函数求导得： ， 因，故，的符号由分子的符号决定， ①时，恒成立， 当时，，即，当时，，即， 故的增区间为，减区间为； ②时， 当或时，，即， 当时，，即， 故的增区间为和，减区间为； ③时，在上恒成立，即在上恒成立， 故的增区间为，无减区间； ④时， 当或时，，即， 当时，，即， 故的增区间为和，减区间为. 综上：①当时，增区间为，减区间为； ②当时，增区间为和，减区间为； ③当时，增区间为，无减区间； ④当时，增区间为和，减区间为. 例3-2已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，设函数，求证：函数存在唯一极小值点，且．（数据：） 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增 (2)当时，，则，， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增. 因为，，故在存在唯一零点， 因为当时单调递减，所以时，即，单调递增； 时，即，单调递减，故在处取极大值； 因为，，故在存在唯一零点， 因为当时单调递增，所以时，即，单调递减； 时，即，单调递增，故在处取极小值. 综上，函数存在唯一极小值点，即. 因为，所以，， 因为为的极小值点，所以，即，代入得， 因为在时单调递减，且，， 故 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用导数研究函数的极小值，再利用隐零点求极小值的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，得；令，得. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）略. 例3-3已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 方法技巧 含参函数讨论单调性 先确定函数定义域，对原函数求导并整理因式。令导数为零求出含参根，按参数分界点分类讨论：比较根的大小、根与定义域边界位置。分区间判断导函数正负，导数正则递增、负则递减。多段单调区间用逗号分隔，勿取并集，按参数不同情况分段书写增减区间，分类做到不重不漏。 【变式训练3-1】（2026·天津静海·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数，按的取值范围分情况讨论函数的单调性； （2），令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，对函数求导并分析函数单调性，作出大致图象，结合图象求实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， ，则 ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， a的取值范围是． 【变式训练3-2】已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上存在零点，证明：． 【答案】(1)若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)因为在区间上存在零点， 所以存在，有 ，即， 若要证明，则只需，即只需， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以， 即当时，不等式恒成立. 故得证. 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，由，可得；由，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）略 题型4 根据函数的单调性求参数 例4-1（2026·天津津南·一模）若函数的单调递减区间为，则________． 【答案】 【详解】由，得， 因为函数的单调递减区间为， 所以不等式的解集为， 因此一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理，可得方程组：，解得， 则. 例4-2（2026·天津滨海新区·阶段检测）若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】先对函数求导，再根据单调递减区间与导数不等式解集的关系，利用韦达定理求参数． 【详解】解：易知，由题意知的解集为， 则与4是方程的两个根，故． 故选：A． 方法技巧 根据函数的单调性求参数 已知单调性求参数，先明确定义域与导数关系式：函数在区间上单调递增则(f'(x)≥0)恒成立，单调递减则(f'(x)≤0)恒成立，注意等号仅能在有限个点取到。整理导函数恒成立不等式，分离参数转化为最值问题，或结合二次函数图像、根的分布分析。求出参数范围后验证导数不恒为零，避免常函数失分。最终整合各类约束条件，取交集得到参数取值范围。 【变式训练4-1】若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围. 【详解】由题得， ∴在上单调递减， 恒成立，即恒成立， 又，所以． 故选：B. 【变式训练4-2】若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-3】已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 题型5 函数与导函数图象之间的关系 例5-1（2026·天津和平·一模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 例5-2（2026·天津静海·一模）函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 【答案】B 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处切线的斜率大于零，函数在处不能取极值， 函数在区间上单调递增,是函数的极小值点，所以B错误，ACD正确. 方法技巧 函数与导函数图象之间的关系 原函数与导函数图像核心关联：导函数在 x 轴上方，原函数单调递增；导函数在 x 轴下方，原函数单调递减。导函数零点对应原函数极值点，穿过横轴才是极值点，相切则不是。导函数的增减性对应原函数的凹凸性，导函数递增，原函数下凸；导函数递减，原函数上凸。已知其一图像推导另一图像时，分段核对升降趋势、极值位置，留意零点与极值点的对应偏差，做题优先标记关键节点逐一比对。 【变式训练5-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】由导函数的图像可知，当时，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以B正确，A，C，D错误. 【变式训练5-2】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的图像和导数的性质可知当的函数值下降时，， 故观察图像解得当时，的函数值下降，故. 【变式训练5-3】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式等价于两种同号情况：或， 其中对应函数单调递增，对应函数单调递减，结合图像分区间讨论： ：，单调递减，乘积为负，不满足； ：，单调递减，乘积为正，满足； ：，单调递增，乘积为负，不满足； ：，单调递增，乘积为正，满足； ：，单调递减，乘积为负，不满足； 时，，，不满足； 时，，，不满足； 因此，的解集为. 题型6 函数单调性的应用——解不等式 例6-1已知函数．若，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件判断函数的单调性，再运用导数的相关性质进行求解. 【详解】由题可得在上单调递增，故在上恒大于0， 即，即，令， ，当时，， 故在上单调递增，，且，在上恒成立，. 例6-2已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】通过求导，确定函数单调性，由单调性将不等式转换成，求解即可. 【详解】由，定义域为R， 求导得：恒成立， 即在R上单调递增， 所以等价于， 即，解得， 故不等式的解集为. 方法技巧 函数单调性的应用——解不等式 利用单调性解不等式，核心是构造同结构函数。先对不等式变形，整理出(f(m)>f(n))的形式，确定函数(f(x))的定义域，再求导判断(f(x))单调性。若(f(x))递增，则(m>n)；递减则(m<n)。列出不等式组，兼顾自变量本身的取值范围，联立求解。最后取各约束条件的交集得到解集，注意不要遗漏定义域限制，避免增根，多步推导严格依据单调性转化，保证等价变形。 【变式训练6-1】已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 【答案】1 【分析】令，，分和两种情况，通过分析的取值，得到对于任意的，是否恒成立，求得的值. 【详解】函数的定义域为. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又， 所以当时，；当时，. 令， 则，在上单调递减. 若，则恒成立，是增函数； 又， 所以当时，；当时，. 此时当时，；当时，. 因此要使对于任意的，恒成立，须和有相同的零点，即. 若，恒成立. 当时，，所以， 因此存在，使成立， 即存在，使成立，不合题意. 综上所述，. 【变式训练6-2】已知函数，则不等式的解集为_____________． 【答案】 【分析】先利用函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，再利用导数分析函数的单调性得到函数在上单调递增，进而根据奇函数的性质转化不等式为，再根据单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 又，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式训练6-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数单调递增的性质，分别分析各段函数单调性及分段点处函数值大小关系，进而确定实数的取值范围. 【详解】由题意可得：分段函数在上单调递增， 所以函数满足每一段单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值， 当时，，是增函数，所以系数， 当时，，， 令，则，即：， 在时的最小值为，因此，解得， 分段点时，左段在时，， 右段在时，，又因为单调递增， 所以，，即，综上，实数的取值范围是. 题型7 导数关系构造函数解不等式 例7-1（2026·天津津南·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 例7-2（2026·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 【答案】 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 所以不等式的解集是. 方法技巧 导数关系构造函数解不等式 借助导数关系式构造函数解不等式，先观察题干给出的(f(x))与(f'(x))组合形式，匹配常用构造模型。构造新函数后求导，判断新函数单调性，再将不等式整理为新函数两函数值比较的形式。利用单调性脱去外层f，转化为普通不等式，同时严格遵守原函数与构造函数的定义域限制，联立取值范围取交集，最后规范写出解集，严防遗漏定义域造成错解。 【变式训练7-1】已知函， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：恒成立； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为. . 其中，则，故只需讨论的符号. 当时，，则，在上单调递增. 当时，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，. . 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，， 因此，即，所以. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，为. 若使恒成立，只需恒成立，即恒成立即可. 又，即恒成立. 令，则， 故在上单调递减，且， 所以. 故实数的取值范围为. 【变式训练7-2】已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干条件，构造辅助函数转化不等式，利用函数的单调性解不等式，从而求出不等式的解集. 【详解】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 【变式训练7-3】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据条件得出其单调性，再将问题转化为解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 方法三：因为，即，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，即， 可知在内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 解法二：切线不等式放缩. 构建，，利用切线不等式可证在上恒成立，再利用导数证明在成立即可. 解法三：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 2．（2008·天津·高考真题）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）因为，所以， 又在点处的切线方程为， ，解得，则， 由切点在直线上，得，解得， 所以. （2）因为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，令，得或； 令，得或； 所以在和上单调递增，和上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，和上单调递减； （3）因为，所以， 所以由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最大值为和中的较大者， 因为对于任意的，不等式在上恒成立， 所以，即，得， 因为上述不等式组对任意的成立，所以，故. 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)(2)2 (3)先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）略 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. (3)设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）略 （3）略 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时的费用12万元；保险费、养路费、燃油费等各种费用每年1万元；维修费用万元；使用x年后，汽车的价值为万元．显然，在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)随着x的增加，函数值y的变化有何规律？ 【答案】(1) (2)在，随着x的增加，函数值减少，时，值相同，，随着x的增加，函数值增加. 【分析】（1）根据题意写出解析式即可；（2）结合对勾函数即可求单调区间. 【详解】（1）依题 （2）由，， 令，得， 在，随着x的增加，函数值减少，，随着x的增加，函数值增加. 但，当时，，当时，， 所以，在，随着x的增加，函数值减少，时，值相同，，随着x的增加，函数值增加. 2．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 【答案】(1) (2)见解析； (3). 【分析】（1）利用题意建立函数关系即可； （2）根据函数关系利用导数研究其单调性即可； （3）根据（2）求函数的极值、最值即可. 【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：， 则， 所以y关于x的函数解析式为，； （2）由（1）， 显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大； 当时，，即此时随着x的增大，y减小； （3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时， 所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为. 3．研究函数的图象和性质，其中，都是非零正实数． 【答案】答案见解析 【分析】主要从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、极值、函数图象研究. 【详解】函数（，都是非零正实数）的定义域为， ，所以为奇函数， 又， 令，解得或， 令，解得或， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，， 当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以， 函数图象如下所示：    4．利用函数的图象和性质，研究下列方程解的个数，其中a是实常数． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）构造函数，求导得函数的单调性，即可画出函数图象，数形结合即可求解直线与的交点个数，进而可求解， （2）构造函数，求导得函数的单调性，即可画出函数图象，数形结合即可求解直线与的交点个数，进而可求解 【详解】（1）由可得， 令，则， 当单调递减，当单调递增， 故的图象如下： 故当时，直线与的图象没有交点，此时没有根， 当或时，直线与的图象有一个交点，此时有一个根， 当时，直线与的图象有2个交点，此时有2个根，    （2）当时，显然不满足， 当时，由可得， 令，则， 当或单调递增，当单调递减， 故的图象如下：，且    故当时，直线与的图象有3个交点，此时有3个根， 当时，直线与的图象有2个交点，此时有2个根， 当时，直线与的图象有1个交点，此时有1个根， 当时，直线与的图象没有交点，此时没有实数根， 5．已知函数． (1)讨论的单调性． (2)若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在符合题意的使,理由见解析. 【分析】（1）对求导，对参数进行分类讨论即可. （2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，根据题意列出等式，由分析法判断方程的解的情况即可. 【详解】（1）对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以当时，有， 所以此时在上单调递增； 当时，令，解得， 又，所以， 所以此时、随的变化情况如下表： 由上表可知：此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其中. （2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，， 由题意， 又由（1）可知是方程即方程的两根， 所以由韦达定理有，所以， 由题意若，所以有， 且注意到，所以， 又因为， 所以有， 不妨设，则， 求导得， 所以函数在上严格单调递减， 且注意到， 所以只能 又， 所以， 注意到且， 所以不可能成立， 综上所述：不存在符合题意的使. 6．求函数的单调区间． 【答案】详见解析. 【分析】求导，再分，求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 当时，令，得，， 当或时，；当时，； 当时，令，得或， 当或时，，当时，， 综上：当时，的增区间是，，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是，. 7．求下列函数的单调区间和极值． (1)； (2)． 【答案】(1)在上单调递增，没有极值 (2)在和上单调递减，在上单调递增，极大值为1，极小值为0． 【分析】利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【详解】（1）因为， 所以恒为正，在上单调递增， 因此没有极值． （2）． 令，得或． 1和2将区间分为三个区间，列表如下： 1 2 0 0 递减 极小值0 递增 极大值1 递减 故在和上单调递减，在上单调递增， 因而极大值为1，极小值为0． 8．确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数． 【答案】在区间上，是增函数；区间上，是减函数 【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性. 【详解】由题意可得：， 令，解得；令，解得； 所以在区间上，是增函数； 在区间上，是减函数（如下图）．    9．求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】求出函数的导数，解不等式，即可得出函数单调区间. 【详解】． 令，可得，解不等式可得或； 令，可得，解不等式可得． 因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 10．已知的导函数满足下列条件：①当时，；②当或时，；③当或时，.试根据上述条件画出函数图象的大致形状. 【答案】答案见解析 【分析】由题意得出函数的单调区间和极值点，从而作出函数的大致图形. 【详解】由当时，，则函数在上单调递增； 当或时，，则函数在，上单调递减 当或时，，结合以上函数的单调性可得： 时，函数取得极大值；时，函数取得极小值； 故函数的大致图像如图所示.    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考导数单调性为导数大题基础必考内容，小题也会穿插考查。基础层面考查无参函数求单调区间，侧重定义域、导数化简与区间规范书写；难点集中在含参函数分类讨论，需结合二次函数判别式、根与定义域位置分析。常逆向命题，由单调性转化恒成立求参数，还结合图像、构造函数解不等式，以指对混合函数为载体，侧重分类讨论、分离参数两大核心方法，是衔接极值、零点、不等式证明的关键基础。 1．函数，若对恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形得到，令，则，根据的单调性得到，求出最小值为，得到. 【详解】因为，且，所以，所以， 所以， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以 所以， 在处取得最小值，最小值为， 故. 2．设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，得到的单调性，求得的最小值，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极小值，也是最小值， 因为函数在上恰有一个零点，可得， 又因为，所以，解得. 3．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象和函数奇偶性、单调性逐项分析判断. 【详解】选项A，，当时，，求导可得，即时单调递减， 且时，与图像中先减后增、时趋向正无穷矛盾，故错误. 选项B，结合题干图像可知函数关于原点对称，即是奇函数， ，满足，是偶函数，故错误. 选项C，，是奇函数，符合对称性； 定义域：，符合图像特点； 当时，分子，， 指数增长速度远快于分母二次式增长速度， 故，单调递增，符合图像趋势，故正确. 选项D，在处无定义，结合题干图像可知不符合，故错误. 4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后利用基本不等式计算即可得. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 由，当且仅当时，等号成立， 由，故的最小值为， 即有，即， 故实数的取值范围为. 5．若函数在上单调递增，则实数m的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在可知上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求的最大值，从而得到的范围，进而即得. 【详解】因为，所以， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此，在处取得极大值也即为最大值，最大值为 ， 因为恒成立，所以， 即的最小值为. 6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数在区间上单调递增等价于导函数在该区间上恒非负，将问题转化为求二次函数在给定区间的最小值，即可得到的取值范围。 【详解】因为， 所以， 因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间恒成立，即在区间恒成立 即，在区间恒成立 令 ，， 这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，对称轴 ， 因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 ，取得最小值 要使 对所有 恒成立，只需 ，即：， 因此 的取值范围为 . 7．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可； D选项，判断所给函数的定义域即可. 【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 8．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 9．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 10．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)函数，若，在定义域内有解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)当时,的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是(3) 【详解】（1）当时，函数,可得, 所以且，即切线的斜率为，切点为, 所以在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，可得, ①当时，由时，可得， 所以函数的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 综上，当时,的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是. （3）函数，若,在定义域内有解， 即在内有解， 所以在内有解, 所以， 令， 再令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，在上的值域为， 令，则， 显然当时，，则单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，即最大值，因此， 所以有最大值1，即， 因此k的取值范围为. 重难·创新演练 设题创新:天津高考单调性考题创新体现在四方面：载体融合指对、三角复合函数，参数分类边界隐蔽；设问层层递进，以单调性为基础衔接零点、多变量不等式；融入生活情境建模，增加文字转数学模型难度；灵活考查二阶导数、构造函数，弱化固定套路，侧重逻辑转化与数形结合综合思维。 1．函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原函数求导，将“存在单调递增区间”转化为导函数在给定区间上存在大于零的解，分离参数后构造新函数，利用导数研究新函数在区间上的最值，即可推得参数的取值范围. 【详解】函数在上存在单调递增区间，等价于在上有解， 对求导得：， 有解等价于：有解， 令，则只需，求导得：， 当时，，，故，即在上单调递减， 因此的最小值在处取得：， ，故的取值范围是. 2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值结合单调性的性质判断选项ABC；根据奇偶性的定义以及利用导数证明单调性即可判断D选项． 【详解】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为偶函数，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 3．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 4．已知函数 (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最值； (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）由（1）得函数的极值，并计算出区间端点处的函数值，比较后可得最值； （3）问题转化为直线与曲线有三个不同交点，结合（2）中计算的极值可得参数范围. 【详解】（1）， 因式分解得， 令，得或 1 3 + 0 - 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 所以：单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由（1）知，在区间上的极值点为和，区间端点为和. 计算函数值： ， ， ， ， 比较得：最大值为，最小值为； （3）由（2）知，在处取得极大值，在处取得极小值1， 方程有三个不同的实数根直线与曲线有三个不同交点， 所以的取值范围为. 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得； 函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立. ，，在上恒成立，即. ，，； ，当且仅当，即时等号成立； ，即； 实数的取值范围是. 6．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）根据导数求解函数单调区间即可； （2）通过参数分离构造出新函数，求得新函数的最值得到参数范围即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，解得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）原不等式代入整理，由于， 两边同除以得. 要求“存在使不等式成立”，等价于. 设，求导得， 令，得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为. 即的取值范围为 7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若函数在区间上单调递增， 则在上恒成立，又因为在上单调递减， 所以 . 8．已知函数，，设， (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求出导数，利用导数与单调性，导数与极值的关系求解即可； （2）方程有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）. 则， 令，即，解得或. 当或时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，为， 当时，取得极小值，为， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. （2）若方程有3个不同的实数根，则，解得. 故实数的取值范围为. 9．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 10．已知函数．设， (1)求函数的单调区间； (2)若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和；单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间； （2）方程有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）依题意得， 则， 由，可得或， 由，可得． 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为. （2）由（1）可知：当变化时，的变化情况如表： 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 所以当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为， 若方程有3个不同的实数根，则， 解得． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $