第02讲 函数的图象与性质（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图象与性质核心考点，涵盖单调性、奇偶性、周期性、对称性及图像综合应用，按知识解构与题型破译构建系统框架。通过命题透视、思维建模、知识精讲、真题训练等环节，帮助学生突破中档题，提升复习针对性。 资料以新课标核心素养为导向，创新采用“模型建构+分层突破”教学策略，如“奇函数+M”模型培养数学思维，图像识别结合几何直观提升解题效率。设置基础与重难分层练习，配合真题溯源与方法总结，助力学生高效备考，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第02讲 函数的图象与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的单调性与最值的求法 知识点2 函数的奇偶性及其应用 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 知识点4 函数的图象的作法与识别 题型破译 题型1 函数的单调性及其应用 【方法技巧】函数的单调性及其应用 题型2 复合函数单调性的判断 【方法技巧】复合函数单调性的判断 题型3 利用函数单调性求函数最值 【方法技巧】利用函数单调性求函数最值 题型4 利用函数单调性求参数的范围 【方法技巧】利用函数单调性求参数的范围 题型5 已知函数的奇偶性求参数 【方法技巧】已知函数的奇偶性求参数 题型6 已知函数的奇偶性求表达式、求值 【方法技巧】已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型7 已知奇函数+M 【方法技巧】已知奇函数+M 题型8 函数的对称性与周期性 【方法技巧】函数的对称性与周期性 题型9 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 【方法技巧】抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 题型10 函数图象综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 单调性与最值 天津卷 T5（5分）天津卷 T10（5分） 天津卷 T4（5分） 天津卷 T11（5分） 天津卷 T3（5分） 天津卷 T10（5分） 奇偶性、周期性与对称性 天津卷 T6（5分）天津卷 T10（5分） 天津卷 T7（5分） 天津卷 T14（5分） 天津卷 T5（5分） 天津卷 T13（5分） 函数图像识别与综合应用 天津卷 T8（5分）天津卷 T20 天津卷 T9（5分） 天津卷 T19 天津卷 T7（5分） 天津卷 T18（5分） 考情分析 1.：函数的图像与性质是天津高考核心考点，选择 / 填空 + 解答题合计约 15-20 分，是拉开中档题差距的关键板块。 2.：单调性常结合二次、指数、对数函数考查最值与参数范围；奇偶性、周期性多与抽象函数、分段函数结合，考查对称性的转化应用；图像识别侧重利用特殊点、单调性、奇偶性、极限趋势排除选项，解答题常结合导数综合考查单调性与极值。 3.：基础题（图像识别、简单单调性判断）、中档题（含参单调性、奇偶性综合）、压轴题（导数与函数性质综合）均有涉及，整体以中档题为主，是必须重点突破的板块。 复习目标 1.熟练掌握单调性的定义、判定方法（定义法、导数法），能解决含参函数的单调区间、最值问题。 2.理解奇偶性、周期性、对称性的定义与性质，能利用奇偶性化简函数、利用周期性转化自变量、利用对称性解决对称区间上的函数问题。 3.掌握常见函数（一次、二次、指数、对数、幂函数）的图像特征，能通过特殊点、单调性、奇偶性、极限趋势快速识别函数图像，解决图像交点、不等式问题。 4.能综合运用函数的图像与性质，解决与导数、不等式结合的综合题，提升数形结合与逻辑推理能力 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的单调性与最值的求法 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求__________，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①__________；②__________；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“__________”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)__________：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)__________：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)__________：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 必记结论 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这（1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 自主检测已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于__________对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有__________关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画__________：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 必记结论 (1)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (2)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (4)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 自主检测已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=__________； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=__________； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=__________； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是__________函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是__________函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是__________函数，且. 必记结论 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数与的图像关于对称. 自主检测已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)__________：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)__________：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住__________，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用__________判断. (3)抓住__________，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 自主检测（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 函数的单调性及其应用 例1-1（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例1-2已知，，且，则实数的取值范围是__． 方法技巧 函数的单调性及其应用 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断 ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。 【变式训练1-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 题型2 复合函数单调性的判断 例2-1已知函数则函数的单调增区间为______ 例2-2函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减。 【变式训练2-1·变考法】已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)写出的单调减区间并说明理由（不必证明） (3)若对于恒成立，求m的最小值. 【变式训练2-2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用函数单调性求函数最值 例3-1函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3-2函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 例3-3 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； (3)若在上有最小值，求实数的取值范围． 方法技巧 利用函数单调性求函数最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： 1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 【变式训练3-1】（2026·天津河东·联考）已知函数为奇函数，函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【变式训练3-2】已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型4 利用函数单调性求参数的范围 例4-1（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4-2已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 方法技巧 利用函数单调性求参数的范围 利用若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1.若在上恒成立在上的最大值． 2.若在上恒成立在上的最小值． 【变式训练4-1】已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是_____________________ 【变式训练4-2】已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【变式训练4-3】函数在上是增函数，则实数的取值范围是______． 题型5 已知函数的奇偶性求参数 例5-1（2026·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 例5-2（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 方法技巧 已知函数的奇偶性求参数 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【变式训练5-1】（2026·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并求证； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练5-3】已知函数是偶函数，函数是奇函数. (1)求的值； (2)当时，求的值域； (3)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 题型6 已知函数的奇偶性求表达式、求值 例6-1（2026·天津河东·一模）已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 例6-2（2026·天津河西·调研）若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 已知函数的奇偶性求表达式、求值 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 【变式训练6-1】已知定义域是的函数是奇函数. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练6-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值，并求函数的值域. 【变式训练6-3】若是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，________；不等式的解集是________. 题型7 已知奇函数+M 例7-1（2026·天津·阶段检测）已知，若正数a，b满足，则的最小值为______. 例7-2已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是______. 方法技巧 已知奇函数+M 利用已知奇函数+M，，则 （1） （2） 【变式训练7-1】已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 题型8 函数的对称性与周期性 例8-1（2026·天津武清·模拟预测）已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 例8-2（2026·广东茂名·一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 方法技巧 函数的对称性与周期性 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【变式训练8-1·变考法】已知定义域为的函数，满足，且，若当时，，则当函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_____. 【变式训练8-2】已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知下列结论： ①函数的定义域为； ②函数(且)的图象恒过定点； ③不等式的解集为，则实数的取值范围为； ④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______. 题型9 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 例9-1已知函数的定义域为在上单调递增，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．4是的一个周期 B．为偶函数 C． D．在上单调递减 例9-2已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则__________． 方法技巧 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 （1）抽象函数的模特函数通常如下： (1)若，则(正比例函数) (2)若，则(指数函数) (3)若，则(对数函数) (4)若，则(幂函数) (5)若，则(一次函数) (6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 【变式训练9-1】已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则__________. 【变式训练9-3】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（   ） A． B．是以2为周期的周期函数 C．在区间上单调递减 D．若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则 题型10 函数图象综合 例10-1函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例10-2函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   方法技巧 函数图象综合 1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复； 4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项． 【变式训练10-1·变考法】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 2．已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 3．讨论下列函数的单调性，并画出大致图象． (1)； (2)． 4．分别求出函数与的导数，并画出导数的图象． 5．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    6．函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 7．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 8．已知函数是偶函数，求实数a的值． 9．已知函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 10．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，下列函数在区间上是否一定单调递增？ (1)； (2)； (3)； (4)． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考数学基础必考内容，模拟题侧重夯实核心考点。重点考查函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性四大基本性质，常结合分段函数、基本初等函数（一次、二次、指数、对数、幂函数）命题。函数图像考查识图、辨图、图像变换（平移、对称、翻折），以及利用图像比较函数值、求解不等式、判断零点。基础题多以选择、填空形式出现，注重性质综合运用，常将奇偶性与单调性结合分析取值范围，也会考查函数对称性与周期性的推导，整体侧重基础概念理解与常规解题方法，难度偏低，是试卷得分关键点。 1．已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)求的定义域； (3)若对任意的时，都有恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 14．下列函数是偶函数的是（   ） A．， B． C． D． 5．已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（   ） A．B． C． D． 6．函数零点所在的大致区间为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设函数为奇函数，则________． 8．已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:重难创新题型跳出基础考法，命题更灵活。一是情境创新，结合分段复合函数、抽象函数、嵌套函数设问，弱化具体解析式，侧重逻辑推理。二是考点融合，将单调性、奇偶性、周期、对称性深度综合，常结合导数、不等式、零点问题交叉考查。三是考法创新，图像不再单纯识图，增设动态图像、多函数图像对比、数形结合综合应用，还出现参数范围探究、存在性与恒成立问题。题目设问角度新颖，陷阱较多，侧重考查数学思维与知识迁移能力，区分度明显。 1．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 2．已知函数满足，且时.若对任意实数，有不等式恒成立，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 5．已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 9．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 函数的图象与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的单调性与最值的求法 知识点2 函数的奇偶性及其应用 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 知识点4 函数的图象的作法与识别 题型破译 题型1 函数的单调性及其应用 【方法技巧】函数的单调性及其应用 题型2 复合函数单调性的判断 【方法技巧】复合函数单调性的判断 题型3 利用函数单调性求函数最值 【方法技巧】利用函数单调性求函数最值 题型4 利用函数单调性求参数的范围 【方法技巧】利用函数单调性求参数的范围 题型5 已知函数的奇偶性求参数 【方法技巧】已知函数的奇偶性求参数 题型6 已知函数的奇偶性求表达式、求值 【方法技巧】已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型7 已知奇函数+M 【方法技巧】已知奇函数+M 题型8 函数的对称性与周期性 【方法技巧】函数的对称性与周期性 题型9 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 【方法技巧】抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 题型10 函数图象综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 单调性与最值 天津卷 T5（5分）天津卷 T10（5分） 天津卷 T4（5分） 天津卷 T11（5分） 天津卷 T3（5分） 天津卷 T10（5分） 奇偶性、周期性与对称性 天津卷 T6（5分）天津卷 T10（5分） 天津卷 T7（5分） 天津卷 T14（5分） 天津卷 T5（5分） 天津卷 T13（5分） 函数图像识别与综合应用 天津卷 T8（5分）天津卷 T20 天津卷 T9（5分） 天津卷 T19 天津卷 T7（5分） 天津卷 T18（5分） 考情分析 1.：函数的图像与性质是天津高考核心考点，选择 / 填空 + 解答题合计约 15-20 分，是拉开中档题差距的关键板块。 2.：单调性常结合二次、指数、对数函数考查最值与参数范围；奇偶性、周期性多与抽象函数、分段函数结合，考查对称性的转化应用；图像识别侧重利用特殊点、单调性、奇偶性、极限趋势排除选项，解答题常结合导数综合考查单调性与极值。 3.：基础题（图像识别、简单单调性判断）、中档题（含参单调性、奇偶性综合）、压轴题（导数与函数性质综合）均有涉及，整体以中档题为主，是必须重点突破的板块。 复习目标 1.熟练掌握单调性的定义、判定方法（定义法、导数法），能解决含参函数的单调区间、最值问题。 2.理解奇偶性、周期性、对称性的定义与性质，能利用奇偶性化简函数、利用周期性转化自变量、利用对称性解决对称区间上的函数问题。 3.掌握常见函数（一次、二次、指数、对数、幂函数）的图像特征，能通过特殊点、单调性、奇偶性、极限趋势快速识别函数图像，解决图像交点、不等式问题。 4.能综合运用函数的图像与性质，解决与导数、不等式结合的综合题，提升数形结合与逻辑推理能力 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的单调性与最值的求法 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 必记结论 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这（1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 自主检测已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 必记结论 (1)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (2)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (4)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 自主检测已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 【答案】3 【详解】因关于直线对称，可得关于直线对称，即是偶函数，. 将代入中，，得到，因此， 那么，即的周期为8. . 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 必记结论 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数与的图像关于对称. 自主检测已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 知识点4 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 自主检测（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 题●型●破●译 题型1 函数的单调性及其应用 例1-1（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 例1-2已知，，且，则实数的取值范围是__． 【答案】 【详解】根据题意，，其导数， 又由，则必有， 即函数在上为减函数， 若，必有， 解得，即的取值范围为． 方法技巧 函数的单调性及其应用 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断 ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。 【变式训练1-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 【变式训练1-2】（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式训练1-3】（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 题型2 复合函数单调性的判断 例2-1已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 例2-2函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 方法技巧 复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减。 【变式训练2-1·变考法】已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)写出的单调减区间并说明理由（不必证明） (3)若对于恒成立，求m的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由 ， 因为，所以， 当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 即的值域； （2）根据，令， 函数可看作关于t的二次函数与对数函数的复合函数， 根据复合函数单调性，当时，单调递减，即，解得， 所以可得的单调递减区间为； （3）由可得：， 因为，所以， 当时，不等式显然成立，则当时， 原不等式可化为：， 令，则根据函数在上单调递增， 可知：， 由对于恒成立，可得：， 故m的最小值为. 【变式训练2-2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需满足，解得或， 的定义域为， 设，当时，，且关于单调递增， 当时，，且关于单调递减， 在定义域上单调递减， 的单调递减区间为，故D正确． 故选：D． 【变式训练2-3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为. 故选：D. 题型3 利用函数单调性求函数最值 例3-1函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 例3-2函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 例3-3 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； (3)若在上有最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又为奇函数，则， 综合可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． （3）由（1）的结论，，作图如下： 若在上有最小值，即函数图象在区间上有最低点， 必有或， 的取值范围为：． 方法技巧 利用函数单调性求函数最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： 1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 【变式训练3-1】（2026·天津河东·联考）已知函数为奇函数，函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知为奇函数，由奇函数性质可得，则， 因为，所以，所以， 所以 在的值域. 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域. 又对任意的，总存在，使得 成立，即， 所以，解得. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练3-2】已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）函数中，，得， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得，所以. （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，即，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 题型4 利用函数单调性求参数的范围 例4-1（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 例4-2已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【详解】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 方法技巧 利用函数单调性求参数的范围 利用若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1.若在上恒成立在上的最大值． 2.若在上恒成立在上的最小值． 【变式训练4-1】已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是_____________________ 【答案】 【详解】由，即，对于任意的，当时成立， 所以函数是R上的减函数， 又， 所以，解得. 则实数的取值范围是， 故答案为： 【变式训练4-2】已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】或，所以函数单调递增， 二次函数的对称轴为， 要想为实数集上的增函数， 只需， 故答案为： 【变式训练4-3】函数在上是增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数在上是增函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型5 已知函数的奇偶性求参数 例5-1（2026·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，， 因为函数是偶函数，则， 即，则， 即恒成立，可得. 例5-2（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为函数的定义域为，且该函数为奇函数， 所以，解得，则， 对任意的，，即函数为奇函数， 综上所述，. （2）对任意的，，则， 由可得， 所以， 因为函数在上为增函数，当时，，故， 因此实数的取值范围是. （3）因为， 由得，可得， 所以， 对任意的，，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 令，则，可得， 构造函数，其中， 对任意的、且， ，即，故函数在上单调递减， 故当时，，且， 所以函数在上的值域为，故实数的取值范围是. 方法技巧 已知函数的奇偶性求参数 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【变式训练5-1】（2026·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 【变式训练5-2】设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并求证； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)增函数，证明见解析；(3). 【详解】（1）因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，解得， 此时．，满足题意，所以． （2）是上的增函数，证明如下： 对于任意的实数，且， ， 因为指数函数是增函数，所以，故， ，所以，即， 所以是上的增函数． （3）因为函数是奇函数，所以， 即 又是上的增函数，所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为，当且仅当即时等号成立 所以，即实数的取值范围是． 【变式训练5-3】已知函数是偶函数，函数是奇函数. (1)求的值； (2)当时，求的值域； (3)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由于为奇函数，且定义域为R， ∴，即， 当时，函数，满足，为奇函数符合题意； ∵， ∴ ∵是偶函数， ∴，得恒成立， 故 综上所述，可得 （2）∵在区间上是增函数， ∴当时，，所以的值域为； （3）∵， ∴ 又∵在区间上是增函数， ∴当时， 由题意，得， 因此实数的取值范围是：. 题型6 已知函数的奇偶性求表达式、求值 例6-1（2026·天津河东·一模）已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【详解】①设二次函数，则 又为偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即 化简得，即， 又，所以，所以 又，所以，解得 所以，， ②令，， 则可化为： ， ， 两边除以得 令，则，设， 对称轴为，，故最大值为 若， 恒成立，则，故的取值范围是 例6-2（2026·天津河西·调研）若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 因为在R上单调递减，所以； 当时，，， 因为为偶函数，所以， 因为在R上单调递增， 由，得， 综上不等式的解集为. 故选：A 方法技巧 已知函数的奇偶性求表达式、求值 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 【变式训练6-1】已知定义域是的函数是奇函数. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)在上单调递增，证明见解析(3) 【详解】（1）由是上的奇函数，得， 即， ， ， 得，故. 代入，因， 得. （2）在上单调递增， 证明：化简，任取， ， 因，故，分子，分母， 得，即，故在上单调递增. （3）由奇函数性质，， 又单调递增，故，即对恒成立. 分离得，. 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值，故， 即的取值范围为. 【变式训练6-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值，并求函数的值域. 【答案】(1)(2)，值域为 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，设时，则，所以， 得到，所以当时，， 则的解析式为. （2）因为，又由（1）知时，， 又的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 此时 当，即时，， 当时，在区间上单调递减，此时， 综上，， 又因为时，，对称轴为，此时， 当时，， 当时，，对称轴为，此时， 综上所述，函数的值域. 【变式训练6-3】若是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，________；不等式的解集是________. 【答案】 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 设，则， 可得， 所以当时，； 当时，因为，在定义域上单调递增， 可知函数在定义域上单调递增，且， 则不等式等价于，可得， 即或，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：；. 题型7 已知奇函数+M 例7-1（2026·天津·阶段检测）已知，若正数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为R. ，有成立， ， ， ∴，∴为定义在R上的奇函数. 由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减， ∴在区间上单调递减， 又∵为定义在R上的奇函数，且函数在处连续，， ∴在R上单调递减. ∴由得， ∴正数a，b满足，即， ∴由基本不等式，， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最小值为. 故答案为：. 例7-2已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是______. 【答案】 【详解】因为，， 令，，则， 因为定义域关于原点对称，， 所以是在上的奇函数， 故由奇函数的性质得， 所以， 所以，则. 故答案为：. 方法技巧 已知奇函数+M 利用已知奇函数+M，，则 （1） （2） 【变式训练7-1】已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 【变式训练7-2】已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 函数的定义域为，且， ∴ 为偶函数. ∵ 存在唯一零点，若存在非零零点，则也为函数零点，与唯一零点矛盾， 故函数唯一零点为. ∴ ，整理得. 由基本不等式可得， 将代入得，当且仅当时等号成立. 联立，解得，满足条件，故等号可取. 综上，的最小值为. 【变式训练7-3】若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 题型8 函数的对称性与周期性 例8-1（2026·天津武清·模拟预测）已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】， 则，定义域为， 所以的图像关于直线对称，所以， 显然为函数的一个零点， 故有2个不相等的根，且都不等于， 所以，解得， 所以，所以的取值范围是. 例8-2（2026·广东茂名·一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】易知，因此1是函数的一个零点， 当时，令，可得； 令， 显然此时； 所以函数关于对称， 若要函数有3个零点， 则须满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于对称， 又，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为. 故答案为：. 方法技巧 函数的对称性与周期性 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【变式训练8-1·变考法】已知定义域为的函数，满足，且，若当时，，则当函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_____. 【答案】 【详解】由题意得函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 则该函数关于原点对称，且， 又因为，所以函数的对称轴为， ， 所以该函数的周期为，画出函数图象如下图所示： 令，则问题转化为在区间直线与的交点个数最多， 由数形结合思想可知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 所以当时，在区间直线与函数图象的交点个数最多，共个， 它们分别是， 它们的和为. 所有零点之和为. 故答案为： 【变式训练8-2】已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ . ∵ 是偶函数，∴ . ∵ 当时，，∴ ，即. 【变式训练8-3】已知下列结论： ①函数的定义域为； ②函数(且)的图象恒过定点； ③不等式的解集为，则实数的取值范围为； ④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______. 【答案】①②④ 【详解】对于①，由解得， 所以函数的定义域为，故正确； 对于②，令得，因为函数(且) 的图象恒过定点，所以函数(且)的 图象恒过定点，故正确； 对于③，当时，原不等式为成立； 当时，若不等式的解集为， 则，解得， 综上实数的取值范围为，故错误； 对于④，根据定义在上的函数满足， 可得为奇函数，且，所以，解得， 又因为，所以的周期为6， 所以，故正确. 故答案为：①②④. 题型9 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 例9-1已知函数的定义域为在上单调递增，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．4是的一个周期 B．为偶函数 C． D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得，由是奇函数，得， 则，即，因此，8是的一个周期， 对于A，，4不是的周期，A错误； 对于B，由，得函数的图象关于直线对称， 由，得的图象关于点对称，因此的图象关于点对称， 函数的图象关于直线不对称，则不为偶函数，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，在上单调性与它在上的单调性相同， 因此在上单调递增，D错误. 故选：C 例9-2已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则__________． 【答案】 【详解】，，则， 令则，则 由为偶函数，可得，则函数有对称轴 则有，又，则 则 则， 则函数最小正周期为4. 则 又，则 故答案为： 方法技巧 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 （1）抽象函数的模特函数通常如下： (1)若，则(正比例函数) (2)若，则(指数函数) (3)若，则(对数函数) (4)若，则(幂函数) (5)若，则(一次函数) (6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 【变式训练9-1】已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为4的函数，所以，因为是奇函数，所以，所以 故选：C 【变式训练9-2】已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则__________. 【答案】1 【详解】因为，则， 所以，即是以3为周期的函数. ，. 因为的图象关于点对称，所以 又因为，所以， 则 则为偶函数，图象关于轴对称. 所以，则. . 故答案为：1. 【变式训练9-3】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（   ） A． B．是以2为周期的周期函数 C．在区间上单调递减 D．若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则 【答案】D 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则. 由，取可得，故A错误； 对于B，因为是定义在上的奇函数，则， 又因，则. 用替换可得，故有. 所以是以为一个周期的周期函数，故B错误； 对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减. 由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同. 由可知的图象关于直线对称， 所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误； 对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称. 若关于的方程在区间上有两个实数根，， 根据函数图象的对称性可知，则，故D正确. 故选：D. 题型10 函数图象综合 例10-1函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 例10-2函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 方法技巧 函数图象综合 1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复； 4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项． 【变式训练10-1·变考法】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 【变式训练10-2】（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 【变式训练10-3】函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 2．已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 【答案】(1)增函数，证明见解析(2)存在实数，使函数为奇函数 【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数， 则为减函数，故是增函数. 证明如下：任取，且， 则 因为，所以，则,， 所以，即， 所以在上为增函数. （2）假设存在实数a，使为奇函数，则， 所以，解得， 当时，，其定义域为， 所以，则为奇函数， 故存在实数，满足题意. 3．讨论下列函数的单调性，并画出大致图象． (1)； (2)． 【答案】(1)在区间上函数单调递减，在区间上函数单调递增，图象见解析 (2)在区间上函数单调递增，图象见解析 【详解】（1），，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 在区间上函数单调递减，在区间上函数单调递增， 当时，函数取极小值， 当时，；当时，， 函数的大致图象如图， （2），，则， 当时，，函数单调递增，即在区间上函数单调递增， 当时，函数取最小值， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 函数的大致图象如图， 4．分别求出函数与的导数，并画出导数的图象． 【答案】,，图象见解析. 【详解】,,导函数的图象如下所示:    5．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    【答案】轨迹见解析，是周期为4的函数. 【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上， 而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4. 考查正方形向右滚动时，点运动情况： 首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆， 然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆， 最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：      由图知：是周期为4的函数. 6．函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 【答案】不是 【详解】解：根据题意，函数满足， 但对于且，， 故函数不是以为周期的函数. 7．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）把，代入， 得，结合且，解得， 所以. （2）由（1）知可化为， 则在上的最小值不小于. 由指数函数的单调性可知函数在上为减函数， 所以当时，有最小值2，故， 故的取值范围为. 8．已知函数是偶函数，求实数a的值． 【答案】 【详解】由可得， 由于为偶函数，所以， 所以，故， 9．已知函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】∵当时，在区间上单调递减，故， 此时， 反比例函数在上单调递减，则函数在上单调递减， 而函数在区间上单调递增， 必有，即，则实数a的取值范围为. 10．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，下列函数在区间上是否一定单调递增？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不一定(2)一定(3)不一定(4)不一定 【详解】（1）不妨取任意，令， 由函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可知，； 即，； 对于函数易知， ， 无法判断的符号， 所以在区间上不一定单调递增； （2）对于函数可知， ； 又，；可得， 所以函数在区间上一定单调递增； （3）对于函数可知， 无法确定的符号， 因此函数在区间上不一定单调递增； （4）对于函数可知， 无法确定的符号， 因此函数在区间上不一定单调递增； 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考数学基础必考内容，模拟题侧重夯实核心考点。重点考查函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性四大基本性质，常结合分段函数、基本初等函数（一次、二次、指数、对数、幂函数）命题。函数图像考查识图、辨图、图像变换（平移、对称、翻折），以及利用图像比较函数值、求解不等式、判断零点。基础题多以选择、填空形式出现，注重性质综合运用，常将奇偶性与单调性结合分析取值范围，也会考查函数对称性与周期性的推导，整体侧重基础概念理解与常规解题方法，难度偏低，是试卷得分关键点。 1．已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)求的定义域； (3)若对任意的时，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）因为是奇函数， 所以， 所以，所以，又， 故实数． （2）由（1）得， 令，解得或， 所以的定义域为. （3）当时，设，易得在上单调递减，所以， 又因在上单调递增，所以， 由题意，恒成立，则有， 所以实数的取值范围是. 2．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知，函数定义域为，是奇函数，且没有零点； 对于A，的定义域为，不合题意，A不正确； 对于B，，，有零点，不合题意，B不正确； 对于C，，，是偶函数，不合题意，C不正确； 对于D，定义域为，，是奇函数，符合题意. 故选：D 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，定义域为，又，所以是偶函数，图象关于轴对称，排除； 当时，，排除. 故选：. 14．下列函数是偶函数的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，定义域为关于原点不对称，故错误， 对于B，定义域为关于原点不对称，故错误， 对于C，定义域为，且，偶函数，正确， 对于D，定义域为，且，奇函数，错误， 故选：C 5．已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 6．函数零点所在的大致区间为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上至多1个零点. 又，. 所以函数在上有零点. 综上，函数只在有1个零点. 故选：B 7．设函数为奇函数，则________． 【答案】 【详解】由函数为奇函数，则， 所以，解得， 此时，， 则， 所以为奇函数，满足题意，则. 故答案为：. 8．已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象及直线，如图所示，    由图可知，要使方程有且仅有三个不等实根， 即的图象与直线有三个不同的公共点， 则只需. 故选：B 9．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为， 故选：D 10．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 重难·创新演练 设题创新:重难创新题型跳出基础考法，命题更灵活。一是情境创新，结合分段复合函数、抽象函数、嵌套函数设问，弱化具体解析式，侧重逻辑推理。二是考点融合，将单调性、奇偶性、周期、对称性深度综合，常结合导数、不等式、零点问题交叉考查。三是考法创新，图像不再单纯识图，增设动态图像、多函数图像对比、数形结合综合应用，还出现参数范围探究、存在性与恒成立问题。题目设问角度新颖，陷阱较多，侧重考查数学思维与知识迁移能力，区分度明显。 1．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 2．已知函数满足，且时.若对任意实数，有不等式恒成立，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由， 由此可知在单调递增，且 而在单调递增，且 又因为，所以在上单调递增， 由可得：，解得， 又因为非零实数，所以， 由于，所以， 而对于任意实数，有不等式恒成立， 则， 则，即， 所以由不等式， 解得， 即根据题意可得：， 所以，再由，可得， 故选：B. 3．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是偶函数，所以，， 因为，在上单调递增， 所以，即. 故选：B. 4．已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3) 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 5．已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 6．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以函数是定义在上的偶函数，函数图象关于轴对称，排除AC选项； 当时，，则， 当时，，则，排除B选项，故D正确. 故选：D 7．已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数满足，所以是偶函数， 又在上是增函数，则在上是减函数， 因为，，, 易知，又 所以， 因此， 即. 故选：C. 8．若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 9．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，； 因，当时，，故， 则， ； 当时，，故， 则， ； 当时，，故， 则，. 因此当时，都有， 只需要考虑时，即可，解得或， 因此当时，恒成立，即，故 ． 故选：B 10．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增 ， 因为，所以由偶函数性质知 所以，解得：. 故选：C． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $