第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何核心考点，涵盖基本立体图形结构特征、表面积与体积计算、直观图及最短路径问题，按命题规律构建知识框架，通过知识解构、题型破译、方法技巧归纳及变式训练，帮助学生系统梳理考点，突破空间想象与计算难点。 讲义以“数学眼光”构建空间观念，“数学思维”优化解题策略，如通过斜二测画法训练直观图转化能力，用割补法破解组合体体积计算。结合真题溯源与课本典例，设置分层练习，助力学生高效掌握公式应用与空间建模，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 简单几何体特征 知识点2 表面积与体积计算公式 知识点3 空间几何体的直观图 题型破译 题型1 空间几何体的结构特征 【方法技巧】空间几何体的结构特征 题型2 空间几何体的表面积与体积 【方法技巧】空间几何体的表面积与体积 题型3 直观图 【方法技巧】直观图 题型4 最短路径问题 【方法技巧】最短路径问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 基本立体图形结构特征 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 简单几何体表面积公式计算 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T11（5 分） 几何体体积与组合体综合计算 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 考情分析 立体图形与表面积、体积为天津高考必考内容，选择填空单题 5 分，解答题第 15 题第一小问 6 分，整体难度中等。常考：①三视图还原几何体、判断立体图形结构；②直接套用公式求柱、锥、球表面积与体积；③组合体用割补法、等体积法求解，常结合外接球、内切球综合考查，属于易拿分基础板块，公式记忆、识图是得分关键。 复习目标 1. 熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、球的结构特征，能由三视图还原直观几何体； 2. 熟练背诵各类几何体侧面积、表面积、体积公式，基础计算不出错； 3. 掌握割补法、等体积转化法，会求解组合体、旋转体体积； 4. 掌握简单几何体外接球、内切球半径求法，顺利拿下立体几何基础小题与解答第一问。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 简单几何体特征 构成空间几何体的基本元素—点、线、面 （1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体． （2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1．棱柱：两个面互相 ，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱 于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱 于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是 的直棱柱；（4）平行六面体：底面是 的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是 ，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都 的三棱锥． 3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 必记结论 多面体包含棱柱、棱锥、棱台。棱柱两底面平行全等，侧面为平行四边形；棱锥底面是多边形，侧面是共顶点三角形；棱台必须由棱锥被平行底面的平面截得，上下底面相似，侧棱延长线交于同一点，不满足该条件就不是棱台。 旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球。圆柱由矩形绕一边旋转而成，圆锥由直角三角形绕直角边旋转而成，圆台由直角梯形绕垂直底边的腰旋转而成，球由半圆绕直径旋转得到。 做题重点辨析易错概念，有两个面平行其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱。判断棱台、圆台，一定要验证侧棱延长是否共点，避开概念判断题常见陷阱。 自主检测已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 知识点2 表面积与体积计算公式 表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 必记结论 表面积注意区分侧面积与全面积，全面积等于侧面积加上底面面积。棱柱、棱锥、棱台表面积直接求各个面的面积再相加。圆柱侧面积公式为底面周长乘高，圆锥侧面积用到母线长，圆台侧面积要记上下底面半径与母线的关系。球的表面积公式需要准确记忆。 体积方面，柱体体积等于底面积乘高；锥体体积为三分之一底面积乘高；台体体积套台体公式；球体体积公式不要混淆系数。求组合几何体表面积，要注意重合的面不计入表面积。求体积常用分割法、补形法，不规则几何体拆成熟悉几何体计算，看清题目给出的是高还是母线，避免公式代错。 自主检测已知圆锥的底面半径为2，高为1，则这个圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 知识点3 空间几何体的直观图 1．斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为 ． 2．平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相 的，中心投影的投影线相交于 ． 必记结论 画直观图采用斜二测画法，核心规则：平行于 x 轴的线段长度不变；平行于 y 轴的线段长度变为原来的一半，夹角画成 45 度或者 135 度。平行关系在直观图中保持不变。 平面图形原图与直观图面积存在固定倍数关系，直观图面积是原图面积的四分之根号二，已知其一可求另一个。注意该面积换算只适用于平面图形，不能直接套用在空间几何体上。 做题易错点：不要混淆 x 轴、y 轴方向线段的缩放规则。由直观图还原原图时，平行于 y' 轴的线段长度要扩大两倍。判断图形形状不能只依靠直观图，直观图会改变角度与长度，要结合原图条件分析。 自主检测如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ） A．面积为12的矩形 B．面积为的菱形 C．面积为24的矩形 D．面积为的菱形 题●型●破●译 题型1 空间几何体的结构特征 例1-1下列说法正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 例1-2下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的各条棱长都相等 D．直四棱柱是长方体 方法技巧 空间几何体的结构特征 判断几何体类型，严格对照定义辨析。棱柱抓住底面平行全等、侧面是平行四边形；棱锥抓住底面多边形，侧面三角形共顶点；棱台重点验证侧棱延长必须交于一点，确认由棱锥截取而来。旋转体分清旋转轴，看清由哪一个平面图形旋转生成。 做概念判断题，警惕常见陷阱，有两个面平行，其余面是平行四边形的图形未必是棱柱。组合几何体看清是拼接还是挖去部分。解题可借助实物想象，还原几何体模型。台体类题目，只要侧棱延长不交于一点，直接排除台体。做题区分侧面、底面，不要混淆棱台与圆台的结构特点。 【变式训练1-1】下列命题正确的是（   ）． A．平行六面体的侧面是全等的平行四边形 B．正棱锥的侧面是等边三角形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【变式训练1-2】以下结论正确的有_______. ①侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ②等底面积、等高的两个柱体，体积相等； ③经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大； ④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台. 【变式训练1-3】下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 题型2 空间几何体的表面积与体积 例2-1如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥外接球的体积为，则三棱锥的体积为______． 例2-2已知实心铁球的半径为，若将该铁球熔成一个底面半径为，高为的圆锥，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 方法技巧 空间几何体的表面积与体积 计算表面积分清侧面积与全面积，全面积等于侧面积加所有底面面积。多面体直接求各个面面积再求和；旋转体注意母线与高的区别，不可混用。组合几何体求表面积时，拼接重合、挖去产生的内部面不计入表面积。 体积计算牢记公式，柱体体积为底面积乘高，锥体体积是三分之一底面积乘高。遇到不规则几何体，优先使用分割法、补形法，转化为柱、锥、台、球求解。审题看清已知条件，分清底面半径、母线、几何体的高。选择题可借助特殊值验证，做题不要记错球体表面积与体积公式的系数。 【变式训练2-1】正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【变式训练2-2·变考法】【新思维】如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．若，，，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为________． 题型3 直观图 例3-1如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是菱形，且，，则原来的平面图形的周长为__________. 例3-2如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中，，为平行四边形，则原中边__________． 其中，且， 例3-3用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中是等腰直角三角形，且，斜边，则原图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 方法技巧 直观图 直观图使用斜二测画法，平行于 x 轴的线段长度保持不变，平行于 y 轴的线段长度减半，坐标轴夹角取 45 度或 135 度，图形平行关系保持不变。原图和直观图面积存在固定比例，直观图面积等于原图面积的四分之根号二，可用于快速面积计算。 由原图画直观图严格遵守缩放规则；由直观图还原原图，y 轴方向线段长度扩大两倍。做题不能凭直观图判断角度、垂直以及线段真实长短。该面积换算只针对平面图形，不能用于空间几何体。判断题要避开视觉误区，不能直接把直观图呈现的形态当作真实图形。 【变式训练3-1】如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（     ） A．面积是 B．的面积是2 C．是等腰直角三角形 D．的周长是 【变式训练3-2】如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则___________. 题型4 最短路径问题 例4-1如图，AB是圆O的直径，点C是圆上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB，BC＝2，点E在线段PB上，则CE+OE的最小值为_____． 例4-2顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 方法技巧 最短路径问题 求解几何体表面最短路径，核心思路是将立体图形的侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短求解。常见几何体有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥。圆柱、圆锥展开分别为矩形、扇形，多面体按棱剪开铺平。 展开时要注意剪开的位置，同一几何体展开方式不唯一，需要比较多种展开路径的长度，选取最小值。展开后构造直角三角形，借助勾股定理计算线段长度。 注意路径必须在几何体表面，不可直接算空间直线距离。看清起点与终点分别落在哪个面上，避免展开出错。答题结束检验展开方式，防止漏算其他情况 【变式训练4-1】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【变式训练4-2·变载体】在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 4．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（    ）    A． B． C． D． 2．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（    ） A．   B．   C．   D．   3．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D．以上都不对 4．下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 5．利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 6．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口径为38cm、底面直径为24cm、深度为35cm的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降水过程中用此桶接得的雨水恰好是桶深的，则本次降雨的降水量是______mm．（精确到1mm）    7．我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式．规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差，相对误差指的是测量所造成的绝对误差与被测量[约定]真值之比．”那么用这个公式所求的直径结果的相对误差是______． 8．一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是__________. 9．一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 10．把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1∶3∶4，其中最小球的半径为________． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考立体图形板块，重点考查柱、锥、台、球的表面积与体积公式。小题以直接套用公式计算为主，常见组合几何体拆分求解。重视简单旋转体、多面体的结构辨识。考题注重几何体高、底面边长等几何量的查找，不设置繁琐运算。核心考查空间识图能力，区分表面积与侧面积。球体是高频考点，牢记球的表面积、体积公式，球面内接外接几何体也是常考题型。 1．在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 2．如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 4．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（    ） A． B． C． D． 5．一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则______. 6．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______. 7．一个三角形的三边长分别为、、，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为______． 8．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______． 9．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为___________. 10．在长方体中，已知，，，则三棱锥的体积为______，长方体的外接球的表面积为______． 重难·创新演练 设题创新:创新题型多为不规则组合几何体，需要分割或者补形之后计算。立体图形结合动态旋转、折叠，几何体随之变化，求解表面积、体积最值。外接球、内切球条件趋于隐蔽。部分考题依托实际生活情境，抽象几何体模型。易错点是混淆侧面积与全面积，空间高度判断出错。训练重在识图建模，掌握补形法，强化动态几何体的空间想象，规避几何参数读取失误。 1．（2026·天津·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·天津和平·三模）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津北辰·二模）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成.已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h，则此圆台的高为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津南开·二模）已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 体积分别为，若__________________. 8．海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为_________平方厘米.    9．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 10．截角四面体（亦称“阿基米德多面体”）的表面由四个正三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体．若一正四面体的棱长为3，则由其截得的截角四面体的体积为______． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 简单几何体特征 知识点2 表面积与体积计算公式 知识点3 空间几何体的直观图 题型破译 题型1 空间几何体的结构特征 【方法技巧】空间几何体的结构特征 题型2 空间几何体的表面积与体积 【方法技巧】空间几何体的表面积与体积 题型3 直观图 【方法技巧】直观图 题型4 最短路径问题 【方法技巧】最短路径问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 基本立体图形结构特征 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 简单几何体表面积公式计算 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T11（5 分） 几何体体积与组合体综合计算 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 考情分析 立体图形与表面积、体积为天津高考必考内容，选择填空单题 5 分，解答题第 15 题第一小问 6 分，整体难度中等。常考：①三视图还原几何体、判断立体图形结构；②直接套用公式求柱、锥、球表面积与体积；③组合体用割补法、等体积法求解，常结合外接球、内切球综合考查，属于易拿分基础板块，公式记忆、识图是得分关键。 复习目标 1. 熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、球的结构特征，能由三视图还原直观几何体； 2. 熟练背诵各类几何体侧面积、表面积、体积公式，基础计算不出错； 3. 掌握割补法、等体积转化法，会求解组合体、旋转体体积； 4. 掌握简单几何体外接球、内切球半径求法，顺利拿下立体几何基础小题与解答第一问。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 简单几何体特征 构成空间几何体的基本元素—点、线、面 （1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体． （2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1．棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 必记结论 多面体包含棱柱、棱锥、棱台。棱柱两底面平行全等，侧面为平行四边形；棱锥底面是多边形，侧面是共顶点三角形；棱台必须由棱锥被平行底面的平面截得，上下底面相似，侧棱延长线交于同一点，不满足该条件就不是棱台。 旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球。圆柱由矩形绕一边旋转而成，圆锥由直角三角形绕直角边旋转而成，圆台由直角梯形绕垂直底边的腰旋转而成，球由半圆绕直径旋转得到。 做题重点辨析易错概念，有两个面平行其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱。判断棱台、圆台，一定要验证侧棱延长是否共点，避开概念判断题常见陷阱。 自主检测已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 【答案】/ 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形， 由勾股定理得：， 代入棱台体积公式， 即. 知识点2 表面积与体积计算公式 表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 必记结论 表面积注意区分侧面积与全面积，全面积等于侧面积加上底面面积。棱柱、棱锥、棱台表面积直接求各个面的面积再相加。圆柱侧面积公式为底面周长乘高，圆锥侧面积用到母线长，圆台侧面积要记上下底面半径与母线的关系。球的表面积公式需要准确记忆。 体积方面，柱体体积等于底面积乘高；锥体体积为三分之一底面积乘高；台体体积套台体公式；球体体积公式不要混淆系数。求组合几何体表面积，要注意重合的面不计入表面积。求体积常用分割法、补形法，不规则几何体拆成熟悉几何体计算，看清题目给出的是高还是母线，避免公式代错。 自主检测已知圆锥的底面半径为2，高为1，则这个圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 知识点3 空间几何体的直观图 1．斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2．平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 必记结论 画直观图采用斜二测画法，核心规则：平行于 x 轴的线段长度不变；平行于 y 轴的线段长度变为原来的一半，夹角画成 45 度或者 135 度。平行关系在直观图中保持不变。 平面图形原图与直观图面积存在固定倍数关系，直观图面积是原图面积的四分之根号二，已知其一可求另一个。注意该面积换算只适用于平面图形，不能直接套用在空间几何体上。 做题易错点：不要混淆 x 轴、y 轴方向线段的缩放规则。由直观图还原原图时，平行于 y' 轴的线段长度要扩大两倍。判断图形形状不能只依靠直观图，直观图会改变角度与长度，要结合原图条件分析。 自主检测如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ） A．面积为12的矩形 B．面积为的菱形 C．面积为24的矩形 D．面积为的菱形 【答案】D 【详解】设直观图中，与轴交于； 在直观图中，，，故； 根据直观图中的图形，可还原为如图所示图形， 图中，；故面积为． 故原图为面积为的菱形． 题●型●破●译 题型1 空间几何体的结构特征 例1-1下列说法正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】B 【详解】对于A项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B项，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故B正确； 对于C项，例如将两个棱柱底面错开拼接，满足有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形， 但是形成的多面体不是棱柱，如图， 故C错误； 对于D项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误； 例1-2下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的各条棱长都相等 D．直四棱柱是长方体 【答案】B 【详解】对A：棱柱的侧面是平行四边形，故A错误； 对B：由棱台定义可知，棱台的所有侧棱延长后交于一点，故B正确； 对C：正棱锥的各条侧棱长都相等，但不一定与底面边长相等，故C错误； 对D：直四棱柱侧棱垂直底面，但底面不一定是矩形，故D错误. 方法技巧 空间几何体的结构特征 判断几何体类型，严格对照定义辨析。棱柱抓住底面平行全等、侧面是平行四边形；棱锥抓住底面多边形，侧面三角形共顶点；棱台重点验证侧棱延长必须交于一点，确认由棱锥截取而来。旋转体分清旋转轴，看清由哪一个平面图形旋转生成。 做概念判断题，警惕常见陷阱，有两个面平行，其余面是平行四边形的图形未必是棱柱。组合几何体看清是拼接还是挖去部分。解题可借助实物想象，还原几何体模型。台体类题目，只要侧棱延长不交于一点，直接排除台体。做题区分侧面、底面，不要混淆棱台与圆台的结构特点。 【变式训练1-1】下列命题正确的是（   ）． A．平行六面体的侧面是全等的平行四边形 B．正棱锥的侧面是等边三角形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【答案】C 【详解】在A选项中，平行六面体的侧面都是平行四边形，但侧棱仅长度相等， 底面平行四边形的邻边不一定相等，因此侧面不一定全等，A错误， 在B选项中，正棱锥的底面是正多边形、顶点在底面的投影是底面中心， 侧面都是全等的等腰三角形，只有侧棱长等于底面边长时侧面才是等边三角形， 并非所有正棱锥的侧面都是等边三角形，B错误， 在C选项中，根据棱锥的定义，棱锥仅存在一个多边形面，其余面都是共顶点的三角形， 若一个棱锥有一个面是平行四边形（四边形），这个面就是棱锥的底面，对应有4个侧面， 因此一定是四棱锥，C正确， 在D选项中，将两个底面全等的斜棱柱拼接后，满足"有两个面平行，其余面都是平行四边形"， 但侧棱不互相平行，不是棱柱，D错误. 【变式训练1-2】以下结论正确的有_______. ①侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ②等底面积、等高的两个柱体，体积相等； ③经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大； ④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台. 【答案】①② 【详解】由直棱柱的定义可知，①正确； 由柱体的体积公式可知，②正确； 如在圆锥中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形， 设截面为，设为底面圆的一条直径， 若为钝角，当时，截面三角形的面积最大，故③错误； 只有当侧棱的延长线交于一点，这样的几何体才是棱台， 如图， 故④错误. 【变式训练1-3】下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】②③ 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 题型2 空间几何体的表面积与体积 例2-1如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥外接球的体积为，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 例2-2已知实心铁球的半径为，若将该铁球熔成一个底面半径为，高为的圆锥，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】实心铁球的体积，圆锥的体积 ， 由于，故， 解得． 方法技巧 空间几何体的表面积与体积 计算表面积分清侧面积与全面积，全面积等于侧面积加所有底面面积。多面体直接求各个面面积再求和；旋转体注意母线与高的区别，不可混用。组合几何体求表面积时，拼接重合、挖去产生的内部面不计入表面积。 体积计算牢记公式，柱体体积为底面积乘高，锥体体积是三分之一底面积乘高。遇到不规则几何体，优先使用分割法、补形法，转化为柱、锥、台、球求解。审题看清已知条件，分清底面半径、母线、几何体的高。选择题可借助特殊值验证，做题不要记错球体表面积与体积公式的系数。 【变式训练2-1】正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 连结交于，由，， 平面，平面， 所以平面， 得点到平面的距离是，即点到平面的距离是， 即三棱锥的高为， 又， 故三棱锥的体积为. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．若，，，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体是以为底面半径，高为的圆柱体加上一个以为底面半径，高为的圆锥， 则其体积为 【变式训练2-3】正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】在正四棱柱中，平面， 则直线与底面所成的角为， 由题意可得，且，则， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为. 题型3 直观图 例3-1如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是菱形，且，，则原来的平面图形的周长为__________. 【答案】12 【详解】 由题可知原图为长方形，且， 所以原来的平面图形的周长为. 例3-2如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中，，为平行四边形，则原中边__________． 【答案】 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，为的中点，， 所以原是等腰三角形，如图： 其中，且， 所以. 例3-3用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中是等腰直角三角形，且，斜边，则原图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 因为是等腰直角三角形，且为斜边，所以，    图中在轴上，所以原图中， 图中在轴上，所以原图中， 原图中，所以的面积为. 方法技巧 直观图 直观图使用斜二测画法，平行于 x 轴的线段长度保持不变，平行于 y 轴的线段长度减半，坐标轴夹角取 45 度或 135 度，图形平行关系保持不变。原图和直观图面积存在固定比例，直观图面积等于原图面积的四分之根号二，可用于快速面积计算。 由原图画直观图严格遵守缩放规则；由直观图还原原图，y 轴方向线段长度扩大两倍。做题不能凭直观图判断角度、垂直以及线段真实长短。该面积换算只针对平面图形，不能用于空间几何体。判断题要避开视觉误区，不能直接把直观图呈现的形态当作真实图形。 【变式训练3-1】如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（     ） A．面积是 B．的面积是2 C．是等腰直角三角形 D．的周长是 【答案】C 【详解】由题可知，在斜二测直观图中， 则原图满足，如图所示， 选项A，由题可知的底，高， 所以，选项A错误； 选项B，由底，高，所以，选项B错误； 选项C，因为，则， 又， 所以是等腰直角三角形，选项正确； 选项D，由选项C可知，所以的周长是，选项D错误. 【变式训练3-2】如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则___________. 【答案】 【详解】由斜二测画法的规则可知，在直观图中， .因为的面积为，且， 所以， 解得. 根据斜二测画法的规则，原图形中平行于轴，且， 即. 题型4 最短路径问题 例4-1如图，AB是圆O的直径，点C是圆上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB，BC＝2，点E在线段PB上，则CE+OE的最小值为_____． 【答案】 【详解】在△POB中，PO＝OB，∠POB＝90°， 所以PB2， 同理PC＝2，所以PB＝PC＝BC， 在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示， 当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值， 又因为OP＝OB，C′P＝C′B， 所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点． 从而OC′＝OE+EC′． 亦即CE+OE的最小值为：． 故答案为： 例4-2顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 【答案】 【详解】 由圆锥底面半径为，，则， 又在圆锥的侧面展开图中，， 因此在中，， 故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长， 故答案为：. 方法技巧 最短路径问题 求解几何体表面最短路径，核心思路是将立体图形的侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短求解。常见几何体有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥。圆柱、圆锥展开分别为矩形、扇形，多面体按棱剪开铺平。 展开时要注意剪开的位置，同一几何体展开方式不唯一，需要比较多种展开路径的长度，选取最小值。展开后构造直角三角形，借助勾股定理计算线段长度。 注意路径必须在几何体表面，不可直接算空间直线距离。看清起点与终点分别落在哪个面上，避免展开出错。答题结束检验展开方式，防止漏算其他情况 【变式训练4-1】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 【变式训练4-2·变载体】在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 【变式训练4-3】如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平面内，在平面内， 将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图：    则的最小值就是平面四边形内的长， 在直三棱柱中，平面，平面， ， ，，即， ，平面，平面， 平面，， ，， 在中，，，， 由余弦定理可得. 故选：A. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 2．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.    因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 3．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【答案】C 【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， . 所以 . 故选：C. 4．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 5．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    连接DE，DF，EF，当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多， 因为，所以， 又因为，所以F到平面SDE的距离是C到平面SAB的距离的， 所以，容器可盛水原来水的. 故选：B. 2．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】如图所示，正三棱锥，球是它的内切球， 设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上， 由确定的平面交于，连接、，得到截面， 截面就是经过侧棱与中点的截面， 平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示，    因为中，圆分别与、相切于点、，且， 圆与相离， 所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意； 故选：B. 3．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】设六棱柱的底面边长为，高为. 则，，，故， . 故选：B. 4．下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 5．利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】由斜二测画法规则知：①正确； 平行性不变，故②正确； 正方形的直观图是平行四边形，③错误； 因为平行于轴的线段长减半，平行于轴的线段长不变，故④错误． 故选：A． 6．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口径为38cm、底面直径为24cm、深度为35cm的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降水过程中用此桶接得的雨水恰好是桶深的，则本次降雨的降水量是______mm．（精确到1mm）    【答案】22 【详解】    设水面半径为，水深为，由于雨水水深正好是桶深的， 得， 解得，， 所以雨水的体积为 ， 水桶上口的面积为， 所以降雨量为. 故答案为：. 7．我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式．规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差，相对误差指的是测量所造成的绝对误差与被测量[约定]真值之比．”那么用这个公式所求的直径结果的相对误差是______． 【答案】 【详解】设球的直径为，则， 由近似公式求得的直径的近似值为， 因为，所以， 所以绝对误差为，相对误差为． 故答案为：． 8．一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是__________. 【答案】直五棱柱 【详解】如图所示：    由题意一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形， 故此几何体是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形， 故五棱柱的上下底面边长相等且侧棱与底面垂直， 根据直棱柱的定义可知该几何体是直五棱柱. 故答案为：直五棱柱. 9．一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 【答案】 【详解】设正三棱柱的底面积为，图(1)中水面的高度为，则水的体积.因为E，F，，分别为所在棱的中点，所以，，所以图(2)中水的体积.又，所以. 故答案为： 10．把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1∶3∶4，其中最小球的半径为________． 【答案】/ 【详解】原球的体积为， 把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1∶3∶4， 则最小球的体积为， 设最小球的半径为，可得， 所以， 故答案为： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考立体图形板块，重点考查柱、锥、台、球的表面积与体积公式。小题以直接套用公式计算为主，常见组合几何体拆分求解。重视简单旋转体、多面体的结构辨识。考题注重几何体高、底面边长等几何量的查找，不设置繁琐运算。核心考查空间识图能力，区分表面积与侧面积。球体是高频考点，牢记球的表面积、体积公式，球面内接外接几何体也是常考题型。 1．在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成， 所以该正八面体配位多面体模型的体积为， 故选：C 2．如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C 3．已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知： . 故选：A 4．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图， 小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得， 所以. 故选：D. 5．一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则______. 【答案】2 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 所以，解得. 故答案为：2. 6．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______. 【答案】 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有， 设两个圆锥的高分别为，于是有且， 所以有，设圆锥的底面半径为， 所以有， 因此这两个圆锥的体积之和为， 故答案为： 7．一个三角形的三边长分别为、、，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为______． 【答案】/ 【详解】在直角三角形中，设，，， 则斜边上的高为， 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体， 且圆锥的半径为， 所以，旋转体的体积为. 故答案为：. 8．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______． 【答案】 【详解】长方体外接球的直径为， 所以外接球半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 9．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为___________. 【答案】 【详解】由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为， 设截面圆的半径为，球的半径为，则，可得，所以，， 因此，该球的表面积为. 故答案为：. 10．在长方体中，已知，，，则三棱锥的体积为______，长方体的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】三棱锥的体积为：． 外接球的半径为：， 所以外接球的表面积为：． 故答案为：；． 重难·创新演练 设题创新:创新题型多为不规则组合几何体，需要分割或者补形之后计算。立体图形结合动态旋转、折叠，几何体随之变化，求解表面积、体积最值。外接球、内切球条件趋于隐蔽。部分考题依托实际生活情境，抽象几何体模型。易错点是混淆侧面积与全面积，空间高度判断出错。训练重在识图建模，掌握补形法，强化动态几何体的空间想象，规避几何参数读取失误。 1．（2026·天津·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥， 设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 2．（2026·天津和平·三模）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的高，底面半径，母线和体积分别为， 圆柱的高，底面半径，母线和体积分别为， 由题意知，，， 则，即，解得， 所以， 则， 故选：B 4．（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知， 点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 5．（2026·天津北辰·二模）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成.已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h，则此圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设整个圆锥容器的体积为，容器高为， 初始时细沙在上部是高为​的小圆锥， 根据相似几何体体积比等于对应高比的立方，得细沙体积： 细沙漏入下部后堆成圆台，设圆台高为， 下部圆锥顶点在上，因此圆台上方空的部分是一个小圆锥，空圆锥的高为， 同理空圆锥体积满足： ， 又圆台体积=细沙体积=整个圆锥体积减空圆锥体积，即， 代入 ，约去整理得： ， ​ 开立方整理得： 故此圆台的高为： 6．（2026·天津南开·二模）已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，得， 设正方体的棱长为，则，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，取，得， 球心到平面的距离， 设平面截球所得的截面的半径为，则， 所以平面截球所得的截面面积． 7．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 体积分别为，若__________________. 【答案】 【详解】因为甲、乙两个圆锥的底面积相等，所以甲、乙两个圆锥的底面半径相同，设为， 设甲、乙两个圆锥的母线长分别为，高分别为 所以甲、乙两个圆锥的圆心角之和为：， 所以， 由，所以，即， 又，所以，即，所以， 甲圆锥的高， 乙圆锥的高， ， 所以 故答案为：. 8．海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为_________平方厘米.    【答案】 【详解】截面圆的周长为，则截面圆的半径为，    如图，设球心为，截面圆的圆心为，为截面圆上一点， 则 由题意， ， 所以， 该球的表面积为(平方厘米)， 故答案为： 9．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 【答案】 【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径， 则， 取的中点，连接 易知：底面中∥，， 则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故 所以 故答案为： 10．截角四面体（亦称“阿基米德多面体”）的表面由四个正三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体．若一正四面体的棱长为3，则由其截得的截角四面体的体积为______． 【答案】/ 【详解】因为大正四面体的棱长为3， 所以正四面体的一个底面面积为，底面正三角形的高为 则正四面体的高为， 所以大正四面体的体积为， 由题意可得四个角上的小正四面体的棱长为1，则其底面面积为，底面正三角形的高为为，则小正四面体的高为， 所以小正四面体的体积为， 所以截得的截角四面体的体积为， 故答案为： 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $