第04讲 空间直线、平面的垂直（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面的垂直关系，整合线线、线面、面面垂直定理及空间角、距离求解，构建“知识解构-题型破译-真题溯源”框架。通过考情前瞻明确天津卷高频考点，思维建模搭建知识网络，知识精讲拆解几何与向量法，配合题型分类训练，帮助学生突破定理条件缺失等难点，形成严谨推理能力。 资料以核心素养为导向，创新“双路径证明策略”，如线面垂直证明兼顾几何法（等腰三角形中线、勾股定理）与向量法（建系求法向量），培养空间观念与数学思维。分层课后训练（基础重规范，重难含动态动点问题）结合真题溯源，助学生高效掌握垂直关系证明与空间量计算技巧，为教师把控复习节奏、提升应考能力提供支撑。

第04讲空间直线、平面的垂直 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 法向量的求解与简单垂直应用 知识点2 空间角公式 知识点3 空间中的距离 题型破译 题型1 证明直线与直线垂直 【方法技巧】证明直线与直线垂直 题型2 证明直线与平面垂直 【方法技巧】证明直线与平面垂直 题型3 证明平面和平面垂直 【方法技巧】证明平面和平面垂直 题型4 求两异面直线所成角 【方法技巧】求两异面直线所成角 题型5 求直线与平面所成角 【方法技巧】求直线与平面所成角 题型6 求平面与平面所成角 【方法技巧】求平面与平面所成角 题型7 求点到平面距离 【方法技巧】求点到平面距离 题型8 求线（平面）到平面距离 【方法技巧】求线（平面）到平面距离 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 线线垂直、线面垂直判定定理 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 面面垂直判定、性质定理 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T5（5 分） 垂直综合证明、动点与翻折拓展题型 天津卷 T15（5 分） 考情分析 垂直关系是天津立体几何核心必考内容，小题 5 分，解答题 15 题第一问固定 6 分，难度中等。考查两大方法：几何法依靠等腰三角形中线、勾股定理、面面垂直性质证线面垂直；向量法通过数量积为 0 判定垂直。常搭配翻折、动点探究设问，是建立空间直角坐标系的前提。高频丢分点：证明定理条件缺失、忽略两条相交直线要求。 复习目标 1. 熟记线线、线面、面面垂直全部判定与性质定理，答题不漏关键条件； 2. 熟练几何辅助线证明与空间向量坐标证明两种思路，灵活切换； 3. 掌握翻折问题、动点探究类垂直综合题型解题逻辑； 4. 规范证明书写，依靠垂直条件快速建系，为空间角计算铺垫。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 法向量的求解与简单垂直应用 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． 平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 必记结论 （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 自主检测如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意，有，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，，故可取， 因，而平面，所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 由（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 知识点2 空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 必记结论 利用空间向量求解空间角，包含线线角、线面角、二面角。线线角取方向向量夹角或其补角，范围 0 到 90 度，余弦值取向量夹角余弦的绝对值。线面角是直线方向向量与平面法向量夹角的余角，正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。 二面角通过两个平面法向量计算，余弦值为法向量夹角余弦，需要结合图形判断二面角是锐角还是钝角。 注意区分向量夹角和几何空间角，几何角均取非负。计算时坐标不能写错，求出余弦之后一定要根据图形判定角度取舍。不要混淆线面角公式，线面角不用余弦直接计算，是高频失分点，计算完成简单验算。 自主检测（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）∵，为的中点 ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 知识点3 空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． . 必记结论 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算. 自主检测如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 题●型●破●译 题型1 证明直线与直线垂直 例1-1如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 例1-2如图，在三棱锥 中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，    (1)求证: (2)求直线EF与AB所成角的余弦值； (3)求平面PAC与平面PBC夹角的大小. 【答案】(1)证明：以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： AI 则：，，，，，， 所以：，即：， 所以：. (2) (3) 【详解】（1）略；    （2）由（1）可得：， 所以： 所以：直线与所成角的余弦值为：. （3）由（1）可得：，，，， 设平面的一个法向量为：， 则得：，令，得，所以：， 设平面的一个法向量为：， 则得：，令，得：，所以：， 所以：， 所以：平面与平面夹角为：. 方法技巧 证明直线与直线垂直 证明空间两直线垂直分为空间向量坐标法与基底向量法。坐标法：建立空间直角坐标系，写出两条直线方向向量坐标，计算数量积，数量积等于零即可证明两直线垂直，运算直接，适合容易建系的几何体。 普通空间向量（基底法）：选取一组基底，把两条直线的方向向量用基底表示，展开计算数量积，若数量积为零，则两向量垂直，对应直线垂直。 几何法可借助线面垂直性质，一条直线垂直平面，则垂直平面内所有直线。注意向量垂直一定对应直线垂直，不存在重合陷阱。坐标法重点核对坐标符号；基底法注意向量分解准确，计算完成简单回代检验。 【变式训练1-1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1) ∵，为的中点  ∴ 又∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面 ∵平面     ∴ (2) (3) 在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（2）知，， ， 是平面的一个法向量 设是平面的一个法向量，则 即 取，， ∵二面角的大小为 ∴ 即 整理得，    解得，或（舍去） 所以，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 【详解】（1）略 （2） 解法1：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形 ∴是直角三角形，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，， 设是平面的一个法向量， 则，即 令，则，，， ∴直线和平面所成角的正弦值等于 解法2：由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵ ∴，， 在中，，， ∴， 设d是底面ABC的高 则， ∴直线和平面所成角的正弦值为. （3）略 【变式训练1-2】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点，． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3)二面角的大小是定值，其余弦值为. 【详解】（1）直线即直线， 根据正方体的性质可知， 由于平面平面， 所以平面. （2）根据正方体的性质可知， 由于， 所以平面， 由于平面， 所以. （3）平面即平面，平面即平面， 由于平面与平面固定， 所以二面角的大小是定值， 设， 由于是的中点， 所以， 根据正方体的性质可知，，， 所以是二面角的平面角. 在直角三角形中， ， 所以. 【变式训练1-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． (1)求证：BE⊥DC； (2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值． 【答案】(1)依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，， 由E为棱PC的中点，得， 所以，， 故， 所以BE⊥DC.； (2) 【详解】（1）略 （2），，，， 由点F在棱PC上，设， 故 由BF⊥AC，得， 则，解得， 即. 设为平面FAB的法向量， 则 即， 不妨令，可得为平面FAB的一个法向量． 易知向量为平面ABP的一个法向量， 则. 由图可知，二面角F－AB－P为锐角， 所以二面角F－AB－P的余弦值为. 题型2 证明直线与平面垂直 例2-1（2026·天津宝坻·三模）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为，，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，取的中点为O，连接. ∵ ，，， ∴ ，， ∴ 底面的面积 . ∵ 在中，， ∴ . ∵ ，为中点， ∴ . 又∵ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ∴ ， 同理可得. ∵ ，⊂平面， ∴ 平面，即为四棱锥的高. ∵ 在中，， ∴ 四棱锥的体积 . 故选C. 例2-2（2026·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵ 底面是边长为的正方形，底面，， ∴ . ∵ 是的中点，∴ . ∴ ，， ∴ ， ∴ ，即. 又由题知，且，平面， ∴ 平面. (2) (3)存在，点在线段上，且 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， ，， 则 ，令，得. 设平面的法向量为， ，， 则 ，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则 . ∵ ，∴ . 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）假设线段上存在点满足条件，设， ∵ ，∴ . 则点到平面的距离. 又，，且， ∴ . ∴ . 令，解得，故存在满足条件的点. 此时的坐标为，即为线段上靠近点的四等分点. 方法技巧 证明直线与平面垂直 证明线面垂直有几何法和空间向量法。几何法依据判定定理，证明直线垂直于平面内两条相交直线，两条直线相交是必不可少的条件；也可利用性质，两平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面。 向量分为坐标法与基底法。坐标法建系后，若直线方向向量与平面法向量共线，可证线面垂直。基底法，把直线方向向量与平面内两个不共线向量分别做数量积，均为零即可证明。 图形规整优先坐标法，不方便建系选用几何法。高频易错：只证明直线垂直平面内两条平行直线，不能证线面垂直。大题书写条件完整，计算后简单回代检验。 【变式训练2-1】（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； （3）已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】（2026·天津东丽·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：连接，过点作，垂足为， 因为，，，，所以，则， 所以，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）由于， 而到平面的距离为， 则. 【变式训练2-3】（2026·天津河北·二模）如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段AB的中点，，，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，由，，得四边形为平行四边形， 在四棱锥中，由平面，平面，得， 则为矩形，又四边形为矩形，于是， 四边形为平行四边形，令，连接， 由为线段的中点，得，即点是线段靠近点的三等分点， 点是线段的中点，则公共部分的体积 由，平面，得平面，而平面， 则，又，平面，于是平面， 在矩形中，为线段的中点，则 三棱锥的体积， ，点到平面的距离为点到平面距离的， 因此，所以公共部分的体积为：. 题型3 证明平面和平面垂直 例3-1（2026·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以，因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量， 则，即，令，可得， 又设平面的法向量， 则，即，令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（是的竖坐标）． 例3-2（2026·天津东丽·二模）已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对A：若，，，，此时与可能平行，可能相交，故A错误； 对B：若，，，则与可能平行，可能异面，故B错误； 对C：若，，，则，故C正确； 对D：若，，，则可能在内，也可能与相交或平行，故D错误. 例3-3（2026·天津和平·二模）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 因此，又因为正方形ABCD，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； (2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）略 （2）以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，，，，. 若存在点P，设点，， 设平面PBD的法向量为，，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为， 由已知有，即， 整理有，解得，或（舍）； 所以，，， （ⅰ）设直线与平面所成角为， ， 所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故. 点到平面PBD的距离为. 方法技巧 证明平面和平面垂直 证明面面垂直分为几何法与空间向量法。几何法依靠判定定理，证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，即由线面垂直推面面垂直，核心是找到这条垂线。 向量法，求出两个平面的法向量，若两个法向量的数量积等于零，法向量互相垂直，则两平面垂直。 做题思路，几何法重在寻找面面垂直所需要的那条垂线，经常利用等腰三角形、勾股定理得到线面垂直。建系方便时优先向量法。高频陷阱：两个平面内两条直线互相垂直，不能直接推出面面垂直。大题书写要写全定理条件，小题可以借助正方体举反例，算出结果简单回代验证。 【变式训练3-1】在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，如图， 由正方形知，，，而为等腰三角形，且， 即有平面，则平面， 同理平面，而，于是平面，则点在平面内， 而平面，于是平面平面，在平面内过作于， 而平面平面，因此平面， 因为，是等腰三角形，则， 因为平面，平面平面，平面， 则，四边形为等腰梯形，， 因此， 所以该刍甍的体积为. 故选：B 【变式训练3-2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点. (1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； (2)点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【详解】（1）因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点， 所以BQ⊥AD， 又PA＝PD， 所以PQ⊥AD， 因为PQ⊥AD，BQ⊥AD，，平面，平面， 所以AD⊥平面PQB， 又因为平面PAD， 所以平面PQB⊥平面PAD. （2）∵PA＝PD＝AD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD， ∴PQ⊥平面ABCD， 以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知：，，，， ∴， 设是平面MBQ的一个法向量，则，， ∴，令， ∴， 又∵是平面BQC的一个法向量，∴， ∴二面角M－BQ－C的大小是60°. 题型4 求两异面直线所成角 例4-1（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即， 又平面，平面，故平面， 由题意可知四边形是直角梯形，且， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，故平面， 而，平面，所以平面平面， 由平面，显然平面． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，直线与直线所成角为， 又平面平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，， 所以，，， 则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）连接，， 结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面， 又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 又线段上存在一点，则设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以是线段的中点， 所以． 例4-2（2026·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知、、两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设异面直线与所成角为，则为锐角， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）易知，，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 所以点到平面的距离为； ，，， 所以三棱锥的体积为． （3）由（1）可知，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 方法技巧 求两异面直线所成角 求异面直线夹角有几何平移法和空间向量法。几何法，平移其中一条或者两条直线，使它们相交，得到异面直线所成角或其补角，取 0 到 90 度范围内的角。 向量法更为常用，求出两条异面直线的方向向量，计算向量夹角余弦，异面直线夹角余弦取向量夹角余弦的绝对值。无论向量夹角是锐角还是钝角，异面直线所成角只取锐角或直角。 注意向量夹角范围 0180 度，和异面直线角范围不一样。建系做题仔细写对坐标，防止计算出错。几何法要注意平移后找对夹角。最后结果角度不能写成钝角，这是考试高频失分点，计算完成做好验算。 【变式训练4-1】如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（    ） A．若在线段上，则的最小值为 B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为 C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆 D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为 【答案】C 【详解】对于A，正方体的对角面是矩形，把矩形与正方形 置于同一平面，且在直线两侧，连接，则， 当且仅当为与的交点时取等号，A正确； 对于B，令正方体内切球球心为，连接，为正方体的中心， ，，正半径， 正三棱锥底面上的高，又球的半径为， 则被截得的圆的半径为，面积为，B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，有， 则，整理得， 则的轨迹是双曲线，C错误； 对于D，显然过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，， 在直线上取点，使，不妨设，则， 则四面体是正四面体，有两种可能，直线也有两种可能， 若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，所以直线有三种可能，D正确. 故选：C 【变式训练4-2·变载体】如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）四边形为正方形，， 四边形为平行四边形，， ，，， ，平面，平面， 平面，， ，，平面，平面．    （2）四边形为平行四边形，，，， ，， 四边形为正方形，平面平面，平面平面， ，平面， 平面，平面，， 为的中点，， 设，为的中点，是中点，， 是异面直线与所成角， ， ，， 异面直线与所成角的正切值为． （3）平面平面，平面平面，，平面， 平面，， 三棱锥的体积：． 【变式训练4-3】如图，正四棱柱中，且，点分别是的中点． (1)求直线与直线所成角的正切值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 依题意，建立上图所示空间直角坐标系，其中D为原点， DC为y轴，DA为x轴， 为z轴， 各点坐标如下： ， ， ， ； （2）设平面 的一个法向量为 ，则有 ， 令a=4，则c=1，b=-2，   ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 令z=1，则x=0，y=2， ， ， 即平面与平面的夹角的余弦值为 ； （3）计算 与平面的夹角：    ， ， ∴A点到平面的距离为 ； 综上，CE与 所成角的正切为 ，平面与平面的夹角的余弦值为 ，A点到平面的距离为 . 题型5 求直线与平面所成角 例5-1如图，在四棱锥中，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明：取的中点为，连接, 由于为的中点， 所以且， 又且， 因此且，所以四边形为平行四边形， 故, 平面，平面， 所以平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）知：， 所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角， 取的中点为，连接, 由于所以, 又平面平面，所以, 平面， 故平面，所以为直线与平面的夹角， 由于， 所以, 由于为锐角，所以， 故直线与平面的夹角为. （3）由（2）知直线与平面的夹角为， , 故点M到平面的距离为. 例5-2如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：在中，，分别是，的中点， ， 又平面， 平面， 平面． (2)证明：四边形是正方形， ， 又平面，平面，     ， 又，且平面， 平面． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，平面， 为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 由题意，在中，，， ， ， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法技巧 求直线与平面所成角 求线面角分为几何法与空间向量法。几何法找直线在平面内的射影，直线和射影的夹角即为线面角，范围是 0 到 90 度。向量法使用直线方向向量与平面法向量计算，线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，不要误用余弦公式，这是高频错误。 算出向量夹角后，要转化出线面角。注意线面角是直线与平面中所有直线所成角的最小值。建系题型务必保证坐标准确。几何法需要作出垂线找到射影，作图困难优先选用向量法。求出结果要判断角度范围，线面角不会是钝角，计算完成简单回代验算。 【变式训练5-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，与平面所成角为，分别是中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为分别是中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； (2) 【详解】（1）略 （2）连接， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 因为底面，所以即为与平面所成角的平面角， 所以，所以， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 【变式训练5-2】在三棱锥中，已知，，.点O为三棱锥外接球的球心，与平面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理得： ， 所以. 故，则外接圆的圆心为的中点， 连接，如图，则平面，则与平面所成的角为. 由，得， 则球O的半径， 则三棱锥外接球的表面积. 【变式训练5-3】如图，在四棱锥中：底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且，BC=1，M为棱PD上的点． （Ⅰ）若，求证：CM∥平面PAB； （Ⅱ）求证：平面平面PAB； （Ⅲ）求直线BD与平面PAD所成角的大小. 【答案】（Ⅰ ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）30° 【详解】解：（Ⅰ）证明：过点M作MH∥AD，交PA于H，连接BH， 因为，所以． 又MH∥AD，AD∥BC，所以HM∥BC． 所以BCMH为平行四边形，所以CM∥BH． 又BH⊂平面PAB，CM⊄平面PAB， 所以CM∥平面PAB． （Ⅱ）∵底面ABCD，AD⊂平面ABCD ∴，又，且 ∴，又⊂平面PAD ∴平面平面PAB； （Ⅲ）取PA的中点为N，连接BN， ∵，∴BN⊥PA，连接DN 又平面平面PAB，故BN⊥平面 则∠BDN为直线BD与平面PAD所成角 此时，BN=，BD= ∴sin∠BDN=，即∠BDN=30° ∴求直线BD与平面PAD所成角的大小30°. 题型6 求平面与平面所成角 例6-1如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点.    (1)证明：平面 (2)若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 【答案】(1)证明：由底面为矩形，，所以， 即，又因为是的中点，所以； 因为平面，平面， 所以， 由平面, 所以平面； (2)①；② 【详解】（1）略 （2）①连接，如下图所示：    由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以即为平面与平面所成的夹角， 易知，所以， 又，，所以， 因此， 即平面与平面夹角的余弦值为； ②易知三棱锥的体积为； 设点到平面的距离为， 由可知， 又，即，解得； 即点到平面的距离为. 例6-2如图，且，且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1) 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 因为，而平面， 所以∥平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）连接，过点作于点， 因为，，所以，则共面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， ，，，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）取中点，连接，， 因为为中点，，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，，所以，， 所以线段的长为. 方法技巧 求平面与平面所成角 求二面角有几何法和空间向量法。几何法在棱上取点，分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线的夹角就是二面角的平面角。向量法求出两个平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值。 重点区分法向量夹角和二面角，二面角可能是锐角也可能是钝角，需要观察图形判断，确定直接取夹角还是取补角。二面角范围是 0 到 180 度。 几何法不易作图时优先选用向量法。高频易错：直接把法向量夹角当作二面角，不判断钝锐。计算仔细核对平面法向量坐标，符号容易出错，得出余弦值后结合几何体直观判断角度类型，做完简单回代检验。 【变式训练6-1】木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心， 且,所以 ,进而可得 取的中点为，过的中点作，连接, 所以 ,,故, 在直角三角形中， 故， 由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为， 故选：A 【变式训练6-2】棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的个数是（   ） ①过，，三点的平面截该正方体所得截面面积为 ②四棱锥与重叠部分的体积为 ③二面角的正切值为 ④三棱锥的外接球的表面积为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】 对于①，如图1，连接，因为的中点，为的中点， 则，在正方体中，易得，则有， 故梯形即过三点的平面截该正方体所得截面.因， ，则，故①正确； 对于②，如图2，四棱锥与重叠部分即多面体， 其体积可看成四棱锥与四棱锥的体积之差. 易得分别为的中点，故， 易得为直角梯形，故其面积， 因平面，平面，则， 又， 平面，则平面， 故四棱锥的体积为， 于是重叠部分的体积为，故②正确； 对于③，如图3，因平面，因平面，则， 在平面内，过点作的垂线，垂足为，连接， 因平面，故平面， 因平面，则，故即二面角的平面角， 也即二面角的平面角，因，而， 在中，，在中，，故③正确； 对于④，如图4，分别取的中点，连接显然点为的外心， 设三棱锥的外接球球心为点，半径为，连接，则平面， 易得平面，在中，，又， 则有，解得，故外接球的表面积为，故④错误. 【变式训练6-3】（请用几何法作答此题）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为,的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，， 又平面，所以平面； (2)2 (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． （3）法一：取中点，连接，又为的中点， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 由（2）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面内，过作，所以平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：设点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为平面，，， 所以； 因为，，， ， 由得 ，解得， 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． 题型7 求点到平面距离 例7-1如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. (1)证明：平面； (2)若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 【答案】(1)证明：底面，且底面，， 为正方形，，又，且平面，平面. 平面，. 由为线段的中点，可知， ，且平面，平面． (2)（i）EF和平面夹角的正弦值为； （ⅱ）点P到平面的距离为. 【详解】（1）略 （2）（i）取的中点，连接． 为中点，是的中位线，故，且． 又底面，底面，因此是在底面内的投影， 即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，， 故．又是中点，，故． 在中，． 在中，．因此． （ⅱ）利用等体积法， 设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由得：． 例7-2如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 【答案】 / / 【详解】 如图，取中点为,连接,，，所以 ,因为，所以,, ,,所以,所以 因为平面,所以平面， 所以在底面投影是的中点， 取中点为,连接,则，所以直线与所成的角是直线与所成的角, , ,在中，由余弦定理得 所以直线与所成角的余弦值是； 底面面积：是中点，； 三棱锥体积 中，所以 ， 设到平面距离为，则 所以，所以 则点到平面的距离是. 方法技巧 求点到平面距离 求点到平面距离常用等体积法和空间向量坐标法。等体积法，把点到平面距离看作锥体的高，变换三棱锥顶点与底面，利用体积相等列等式求解，不用建立坐标系。 向量坐标法，求出平面的法向量，取平面内任意一点，构造从该点指向所求点的向量，点到平面距离等于该向量与法向量数量积的绝对值除以法向量的模。 几何法需要作垂线找垂足，垂足位置不好确定一般不使用。做题优先看几何体是否方便建系。注意公式必须带绝对值，距离结果为非负数。计算核对坐标与法向量，算出数值后简单回代检验，避免计算失误。 【变式训练7-1】已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【答案】/ 【详解】直二面角，棱为， 因为，，，， 所以，，，，， ，， ，， ， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ， 即. 【变式训练7-2】（2026·天津南开·二模）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，设，连接，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 因为 ， ， 所以，，即，， 又平面，，所以平面． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）知为平面的一个法向量． ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得． 设平面与平面的夹角为， 则． （3），设，． 因为，所以， 解得，从而． 所以点到平面的距离． 【变式训练7-3】如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 题型8 求线（平面）到平面距离 例8-1如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) 在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. (2) 【详解】（1）略 （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    例8-2如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中， 为的中点，，， 故， 因为， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因，， 所以平面， 又平面，所以， 又， 所以平面； (2)取的中点，连接， 则为的中点， 因为，，分别为，，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因，平面，平面， 所以平面平面； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）设， 因为平面，平面平面，所以平面， 所以即为平面与平面的距离， 因为平面，所以， ， 所以， 即平面与平面的距离为. 方法技巧 求线（平面）到平面距离 直线到平面的距离前提是直线与平面平行，直线上任意一点到平面的距离，就是直线到平面的距离，转化为点面距离计算。两个平面平行时，平面到平面的距离，取一个平面上任意一点，求该点到另一平面的距离即可。 求解可以用空间向量公式，代入点面距离公式运算；也可以等体积法求高。如果直线不平行平面、平面不平行，就不存在线面距离和面面距离。 高频易错，忽略平行这个前提条件。建系题型注意法向量求解准确，距离结果一定是非负数。小题可以选取特殊点简化计算，算出数值之后回代验算，减少计算符号错误。 【变式训练8-1】蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，面ABC，，则该鞠（球）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，则外接圆半径， 球心在线段的中垂面上，由平面，，得的中垂面平行于平面， 因此球心到平面的距离，球半径， 所以该鞠（球）的表面积为. 故选：C 【变式训练8-2】正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【变式训练8-3】如图，已知菱形ABCD的边长为2，且分别为棱中点.将和分别沿折叠，若满足平面DEBF，则线段AC的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 折叠前，连接AC，BD， 由题意，在菱形ABCD中，，， 则由余弦定理得，， ，故在折叠过程中，， 折叠后，平面DEBF，则平面DEBF，则，故D项错误； 折叠前，在菱形ABCD中，，，则是正三角形， 由E，F分别为棱中点，， 折叠后，则， 又平面EAB，所以平面EAB， 由E，F分别为棱中点， 则，又FC，FD在平面FCD内交于点F，所以平面FCD， 又，所以平面EAB//平面FCD， 则平面EAB与平面FCD的距离即为， 由点平面EAB，点平面FCD，则，故B错； 在折叠过程中，当时，由， 则均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱， 满足平面DEBF，此时. 所以AC最小值为，故A正确，C项错误. 故选：A 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 2．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 3．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 法一、在正方形中， 由条件易知 ，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 4．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面.    (2) (3) 【详解】（1）略 （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 5．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.    因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．下列命题中错误的是（    ）． A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 【答案】A 【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，平面平面， 但直线与平面不垂直，所以如果平面平面，则平面内所有直线不一定垂直于平面，所以A不正确； 对于B中，例如：在正方体中，平面平面， 直线平面，且平面，所以如果平面平面，在平面内一定存在直线平行于平面，所以B正确；    对于C中，如果平面不垂直于平面，假设在平面内存在直线垂直于平面， 根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，这与平面不垂直于平面，矛盾，所以C正确； 对于D中，如图所示，设平面平面，平面平面， 在平面内取一点，过点作， 因为平面平面，且平面，所以， 又因为，所以，同理可证， 因为，且平面，所以，所以D正确. 故选：A.    2．下列命题正确的是（    ） A．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直 B．两条异面直线不能同时垂直于一个平面 C．不存在四个面都是直角三角形的四面体 D．若两条斜线段在同一个平面上的投影数量相等，则这两条斜线段的长也相等 【答案】B 【详解】A：下图正方体中， 显然，因此根据平行线的性质，显然与平面中，无数条与平行的线都垂直，显然不与平面垂直，故本选项命题不正确；    B：根据同垂直于一个平面的两条直线平行可以判断本选项命题正确； C：下图正方体中， 四面体显然符合四个面都是直角三角形，因此本选项命题不正确；    D：如下图所示：，是斜线段， 由题意可知，， 虽然，但是之间的大小关系不确定，所以本选项不正确，    故选：B 3．若二面角的平面角为，异面直线a，b满足，，且，，则异面直线a，b所成的角为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】如图， 在直线l任取一点，作， 又由，，且，，则是二面角的平面角， 则有, 又由，则异面直线a，b所成的角为(或其补角)， 故异面直线所成角的大小为或. 故选：D 4．如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，H为EF的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【详解】如图： 因为，即，又， 所以平面，故B正确， 因为过作平面的垂线能作且只能作一条， 与平面都不垂直. 所以A、C、D错误. 故选：B 5．在的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是，那么它到另一个面的距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，，， ∴． 故选． 6．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 7．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是______．（写出所有符合要求的图的序号）    【答案】①③⑤ 【详解】解：由题意，建立空间直角坐标系如下图，    设正方体棱长为，则，， 故向量. 图①中，，，， 则，， ∵， ∴，，即，， 又∵平面，平面，， ∴平面，即平面，故图①正确. 图②中，，，， 则， ∵， ∴和不垂直， 即和不垂直， ∴由线面垂直定义知不垂直平面， 即不垂直平面，故图②错误. 图③中，，，，则 ，， ∵， ∴，，即，， 又∵平面，平面，， ∴平面，即平面，故图③正确. 图④中，，，，则 ， ∵， ∴和不垂直， 即和不垂直， ∴由线面垂直定义知不垂直平面， 即不垂直平面，故图④错误. 图⑤中，，，，则 ，， ∵， ∴，，即，， 又∵平面，平面，， ∴平面，即平面，故图⑤正确. 故答案为：①③⑤. 8．已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是，则直线与平面ABCD所成的角是__________． 【答案】/ 【详解】由长方体的性质知， 分别为在平面，平面，平面ABCD内的射影， 则，，分别为与平面，平面，平面ABCD所成的角, 即，则 又因为 所以，又，所以 故答案为： 9．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，F，G分别是和的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1) 证明：F，G分别是和的中点，， 又平面，平面； (2)证明：连接， F，G分别是和的中点，，且， 和都垂直于平面，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面. 【详解】（1）F，G分别是和的中点，， 又平面，平面； （2）连接， F，G分别是和的中点，，且， 和都垂直于平面，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面.    10．如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．    (1)证明：平面 (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) 连接，则， 因为点D为AC的中点，所以， 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为AC的中点， 所以‖，，所以， 因为，平面， 所以平面，    (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以， 因为，，， 所以，所以， 所以在中，, 所以二面角的正弦值为 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考该模块重点考查线线角、线面角、二面角，以及点、线、面之间距离的求解。既可以使用几何法找角，也能够建立空间直角坐标系，依靠向量运算求值。解答题以二面角作为核心考点，需要区分二面角是锐角或者钝角。熟记各个空间角的取值范围。考题重视垂直关系的找寻，容易出现角度范围记错、法向量方向判断错误等问题，重点考查空间想象以及运算能力。 1．（2026·天津和平·三模）已知直线，与平面，则下列条件中，可以推出的为（     ） A．， B．， C．，与平面所成角相等 D．， 【答案】A 【详解】对于A，已知，，即直线，都与平面垂直， 根据“垂直于同一个平面的两条直线互相平行” 可以推出，选项A正确； 对于B，当，时，直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面， 所以不能推出，选项B错误； 对于C，当，与平面所成角相等时，直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面， 所以不能推出，选项C错误； 对于D，当，时，直线与直线可能平行，也可能异面， 所以不能推出，选项D错误. 2．（2026·天津·二模）已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确； 对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱， 显然满足，但得不到，故D错误. 3．已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得，而，则或，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：D 4．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为__________：二面角的大小为__________. 【答案】 【详解】由题意，在长方体中， 四边形是边长为的正方形，且与平面所成角为， 所以平面， 因为平面, 所以, 故与平面所成角为, 所以为等腰直角三角形，且, 所以. 又因为,且平面平面, 所以二面角为. 故答案为：①；②. 5．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为__________． 【答案】 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 6．如图，正方体的棱长为2. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：由正方体的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面与平面所成角的平面角， 因为底面，所以， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为. （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令可得， 设到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 7．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1) 连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    (2)因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 9．如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) 因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； (2) 【详解】（1）略 （2）如图，以点为原点，为轴和轴的正方向，在平面中，作， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 10．如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明：连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． (3) 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）略 （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 重难·创新演练 设题创新:创新题型常设置动态动点，求解空间角、距离的最值。底面倾斜、缺少现成垂线，加大建系难度。多选综合题型，辨析角度、距离相关命题正误。部分试题折叠几何体，折叠前后垂直关系发生改变。高频失误为角的范围混淆、二面角正负误判。训练强化寻找隐藏垂线，熟练参数处理，减少计算失误，杜绝依靠肉眼直接估测角度，培养严谨推理的解题习惯。 1．在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角， 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 2．在棱长为2的正方体中，是的中点，给出下列结论： ①三棱锥的体积为 ②直线与直线所成的角为 ③二面角的平面角的正切值为 ④平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，因为平面， 所以，故①错误，    连接，由题意得， 因为平面，且平面，所以， ，平面，所以平面， 因为平面，所以，即两直线所成角为，故②错误，    取中点，因为为的中位线，所以, 因为底面,所以底面，, 因为平面，所以， 过向交线作垂线，垂足为，即，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为平面， 平面，所以二面角的平面角为， 易得，， 在中，，故③正确，    连接，在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为平面，平面，所以平面， 连接，在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 由题意可知平面就是平面，即平面截正方体所得的截面为， 易得三边长均为面对角线，即， 所以截面周长为，故④正确， 综上，③④正确.    3．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，设，    因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 4．（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知， 点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 5．如图，已知正方体的棱长为2，是的中点，则点到平面的距离为__________． 【答案】 【详解】设到平面的距离为，到平面的距离为， 由三棱锥体积公式可得：，其中， 由题可得，， 则， 是的中点， ， 由题可知均是直角三角形，且，, ， 是正方体的对角线， ，则三边分别长， ∴底边对应的高， ，故， 即点到平面的距离为. 6． 如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 【答案】3 【详解】由平面，平面，则平面平面， 由平面，则，而底面为正方形，则， 由且都在平面中，故平面， 由平面，则平面平面， 由平面，则， 又，，平面， 故平面，平面，故平面平面， 若平面平面，且平面平面， 所以平面平面，与平面平面矛盾， 综上，与平面垂直的平面有3个． 7．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 【答案】 【详解】根据题意，可将直三棱柱补成正方体， 因为平面平面，所以， 所以即为平面与平面所成的二面角， 又因为等腰直角三角形， 所以平面与平面所成的二面角的大小为. 8．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：由为正三棱柱可知，平面， 又平面，所以， 又因点D为正三角形的边AB的中点，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）分别取线段的中点，连接，易知两两垂直， 可以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示; 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则     ， 因,则，即平面与平面夹角为； （3）由（2）可知，平面的一个法向量为， 设直线CA与平面所成的角为， 所以， 即直线CA与平面所成角的正弦值为. 9．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【详解】（1）略； （2）略. 10．如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 【答案】(1)由四边形为矩形，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以平面平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. （3）由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， 即点与点重合，所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲空间直线、平面的垂直 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 法向量的求解与简单垂直应用 知识点2 空间角公式 知识点3 空间中的距离 题型破译 题型1 证明直线与直线垂直 【方法技巧】证明直线与直线垂直 题型2 证明直线与平面垂直 【方法技巧】证明直线与平面垂直 题型3 证明平面和平面垂直 【方法技巧】证明平面和平面垂直 题型4 求两异面直线所成角 【方法技巧】求两异面直线所成角 题型5 求直线与平面所成角 【方法技巧】求直线与平面所成角 题型6 求平面与平面所成角 【方法技巧】求平面与平面所成角 题型7 求点到平面距离 【方法技巧】求点到平面距离 题型8 求线（平面）到平面距离 【方法技巧】求线（平面）到平面距离 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 线线垂直、线面垂直判定定理 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 面面垂直判定、性质定理 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T5（5 分） 垂直综合证明、动点与翻折拓展题型 天津卷 T15（5 分） 考情分析 垂直关系是天津立体几何核心必考内容，小题 5 分，解答题 15 题第一问固定 6 分，难度中等。考查两大方法：几何法依靠等腰三角形中线、勾股定理、面面垂直性质证线面垂直；向量法通过数量积为 0 判定垂直。常搭配翻折、动点探究设问，是建立空间直角坐标系的前提。高频丢分点：证明定理条件缺失、忽略两条相交直线要求。 复习目标 1. 熟记线线、线面、面面垂直全部判定与性质定理，答题不漏关键条件； 2. 熟练几何辅助线证明与空间向量坐标证明两种思路，灵活切换； 3. 掌握翻折问题、动点探究类垂直综合题型解题逻辑； 4. 规范证明书写，依靠垂直条件快速建系，为空间角计算铺垫。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 法向量的求解与简单垂直应用 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相 ，记作 ．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． 平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 必记结论 （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 自主检测如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 知识点2 空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则 ． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则 ． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中 ． 必记结论 利用空间向量求解空间角，包含线线角、线面角、二面角。线线角取方向向量夹角或其补角，范围 0 到 90 度，余弦值取向量夹角余弦的绝对值。线面角是直线方向向量与平面法向量夹角的余角，正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。 二面角通过两个平面法向量计算，余弦值为法向量夹角余弦，需要结合图形判断二面角是锐角还是钝角。 注意区分向量夹角和几何空间角，几何角均取非负。计算时坐标不能写错，求出余弦之后一定要根据图形判定角度取舍。不要混淆线面角公式，线面角不用余弦直接计算，是高频失分点，计算完成简单验算。 自主检测（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 知识点3 空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． . 必记结论 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算. 自主检测如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 题●型●破●译 题型1 证明直线与直线垂直 例1-1如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 例1-2如图，在三棱锥 中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，    (1)求证: (2)求直线EF与AB所成角的余弦值； (3)求平面PAC与平面PBC夹角的大小. 方法技巧 证明直线与直线垂直 证明空间两直线垂直分为空间向量坐标法与基底向量法。坐标法：建立空间直角坐标系，写出两条直线方向向量坐标，计算数量积，数量积等于零即可证明两直线垂直，运算直接，适合容易建系的几何体。 普通空间向量（基底法）：选取一组基底，把两条直线的方向向量用基底表示，展开计算数量积，若数量积为零，则两向量垂直，对应直线垂直。 几何法可借助线面垂直性质，一条直线垂直平面，则垂直平面内所有直线。注意向量垂直一定对应直线垂直，不存在重合陷阱。坐标法重点核对坐标符号；基底法注意向量分解准确，计算完成简单回代检验。 【变式训练1-1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 【变式训练1-2】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点，． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由． 【变式训练1-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． (1)求证：BE⊥DC； (2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值． 题型2 证明直线与平面垂直 例2-1（2026·天津宝坻·三模）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为，，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 例2-2（2026·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 方法技巧 证明直线与平面垂直 证明线面垂直有几何法和空间向量法。几何法依据判定定理，证明直线垂直于平面内两条相交直线，两条直线相交是必不可少的条件；也可利用性质，两平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面。 向量分为坐标法与基底法。坐标法建系后，若直线方向向量与平面法向量共线，可证线面垂直。基底法，把直线方向向量与平面内两个不共线向量分别做数量积，均为零即可证明。 图形规整优先坐标法，不方便建系选用几何法。高频易错：只证明直线垂直平面内两条平行直线，不能证线面垂直。大题书写条件完整，计算后简单回代检验。 【变式训练2-1】（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【变式训练2-2·变考法】【新思维】（2026·天津东丽·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【变式训练2-3】（2026·天津河北·二模）如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段AB的中点，，，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 题型3 证明平面和平面垂直 例3-1（2026·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 例3-2（2026·天津东丽·二模）已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 例3-3（2026·天津和平·二模）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 方法技巧 证明平面和平面垂直 证明面面垂直分为几何法与空间向量法。几何法依靠判定定理，证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，即由线面垂直推面面垂直，核心是找到这条垂线。 向量法，求出两个平面的法向量，若两个法向量的数量积等于零，法向量互相垂直，则两平面垂直。 做题思路，几何法重在寻找面面垂直所需要的那条垂线，经常利用等腰三角形、勾股定理得到线面垂直。建系方便时优先向量法。高频陷阱：两个平面内两条直线互相垂直，不能直接推出面面垂直。大题书写要写全定理条件，小题可以借助正方体举反例，算出结果简单回代验证。 【变式训练3-1】在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点. (1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； (2)点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大小. 题型4 求两异面直线所成角 例4-1（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 例4-2（2026·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 方法技巧 求两异面直线所成角 求异面直线夹角有几何平移法和空间向量法。几何法，平移其中一条或者两条直线，使它们相交，得到异面直线所成角或其补角，取 0 到 90 度范围内的角。 向量法更为常用，求出两条异面直线的方向向量，计算向量夹角余弦，异面直线夹角余弦取向量夹角余弦的绝对值。无论向量夹角是锐角还是钝角，异面直线所成角只取锐角或直角。 注意向量夹角范围 0180 度，和异面直线角范围不一样。建系做题仔细写对坐标，防止计算出错。几何法要注意平移后找对夹角。最后结果角度不能写成钝角，这是考试高频失分点，计算完成做好验算。 【变式训练4-1】如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（    ） A．若在线段上，则的最小值为 B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为 C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆 D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为 【变式训练4-2·变载体】如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求三棱锥的体积． 【变式训练4-3】如图，正四棱柱中，且，点分别是的中点． (1)求直线与直线所成角的正切值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 题型5 求直线与平面所成角 例5-1如图，在四棱锥中，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角； (3)求点M到平面的距离． 例5-2如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 方法技巧 求直线与平面所成角 求线面角分为几何法与空间向量法。几何法找直线在平面内的射影，直线和射影的夹角即为线面角，范围是 0 到 90 度。向量法使用直线方向向量与平面法向量计算，线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，不要误用余弦公式，这是高频错误。 算出向量夹角后，要转化出线面角。注意线面角是直线与平面中所有直线所成角的最小值。建系题型务必保证坐标准确。几何法需要作出垂线找到射影，作图困难优先选用向量法。求出结果要判断角度范围，线面角不会是钝角，计算完成简单回代验算。 【变式训练5-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，与平面所成角为，分别是中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【变式训练5-2】在三棱锥中，已知，，.点O为三棱锥外接球的球心，与平面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图，在四棱锥中：底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且，BC=1，M为棱PD上的点． （Ⅰ）若，求证：CM∥平面PAB； （Ⅱ）求证：平面平面PAB； （Ⅲ）求直线BD与平面PAD所成角的大小. 题型6 求平面与平面所成角 例6-1如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点.    (1)证明：平面 (2)若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 例6-2如图，且，且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 方法技巧 求平面与平面所成角 求二面角有几何法和空间向量法。几何法在棱上取点，分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线的夹角就是二面角的平面角。向量法求出两个平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值。 重点区分法向量夹角和二面角，二面角可能是锐角也可能是钝角，需要观察图形判断，确定直接取夹角还是取补角。二面角范围是 0 到 180 度。 几何法不易作图时优先选用向量法。高频易错：直接把法向量夹角当作二面角，不判断钝锐。计算仔细核对平面法向量坐标，符号容易出错，得出余弦值后结合几何体直观判断角度类型，做完简单回代检验。 【变式训练6-1】木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的个数是（   ） ①过，，三点的平面截该正方体所得截面面积为 ②四棱锥与重叠部分的体积为 ③二面角的正切值为 ④三棱锥的外接球的表面积为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练6-3】（请用几何法作答此题）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 题型7 求点到平面距离 例7-1如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. (1)证明：平面； (2)若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 例7-2如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 方法技巧 求点到平面距离 求点到平面距离常用等体积法和空间向量坐标法。等体积法，把点到平面距离看作锥体的高，变换三棱锥顶点与底面，利用体积相等列等式求解，不用建立坐标系。 向量坐标法，求出平面的法向量，取平面内任意一点，构造从该点指向所求点的向量，点到平面距离等于该向量与法向量数量积的绝对值除以法向量的模。 几何法需要作垂线找垂足，垂足位置不好确定一般不使用。做题优先看几何体是否方便建系。注意公式必须带绝对值，距离结果为非负数。计算核对坐标与法向量，算出数值后简单回代检验，避免计算失误。 【变式训练7-1】已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【变式训练7-2】（2026·天津南开·二模）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【变式训练7-3】如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 题型8 求线（平面）到平面距离 例8-1如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 例8-2如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 方法技巧 求线（平面）到平面距离 直线到平面的距离前提是直线与平面平行，直线上任意一点到平面的距离，就是直线到平面的距离，转化为点面距离计算。两个平面平行时，平面到平面的距离，取一个平面上任意一点，求该点到另一平面的距离即可。 求解可以用空间向量公式，代入点面距离公式运算；也可以等体积法求高。如果直线不平行平面、平面不平行，就不存在线面距离和面面距离。 高频易错，忽略平行这个前提条件。建系题型注意法向量求解准确，距离结果一定是非负数。小题可以选取特殊点简化计算，算出数值之后回代验算，减少计算符号错误。 【变式训练8-1】蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，面ABC，，则该鞠（球）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练8-3】如图，已知菱形ABCD的边长为2，且分别为棱中点.将和分别沿折叠，若满足平面DEBF，则线段AC的取值范围为（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 3．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 4．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 5．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．下列命题中错误的是（    ）． A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 2．下列命题正确的是（    ） A．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直 B．两条异面直线不能同时垂直于一个平面 C．不存在四个面都是直角三角形的四面体 D．若两条斜线段在同一个平面上的投影数量相等，则这两条斜线段的长也相等 3．若二面角的平面角为，异面直线a，b满足，，且，，则异面直线a，b所成的角为（    ）． A． B． C． D．或 4．如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，H为EF的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 5．在的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是，那么它到另一个面的距离是（    ）． A． B． C． D． 6．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是______．（写出所有符合要求的图的序号）    8．已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是，则直线与平面ABCD所成的角是__________． 9．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，F，G分别是和的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 10．如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．    (1)证明：平面 (2)求二面角的正弦值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考该模块重点考查线线角、线面角、二面角，以及点、线、面之间距离的求解。既可以使用几何法找角，也能够建立空间直角坐标系，依靠向量运算求值。解答题以二面角作为核心考点，需要区分二面角是锐角或者钝角。熟记各个空间角的取值范围。考题重视垂直关系的找寻，容易出现角度范围记错、法向量方向判断错误等问题，重点考查空间想象以及运算能力。 1．（2026·天津和平·三模）已知直线，与平面，则下列条件中，可以推出的为（     ） A．， B．， C．，与平面所成角相等 D．， 2．（2026·天津·二模）已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为__________：二面角的大小为__________. 5．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为__________． 6．如图，正方体的棱长为2. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 7．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 8．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 9．如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 10．如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 重难·创新演练 设题创新:创新题型常设置动态动点，求解空间角、距离的最值。底面倾斜、缺少现成垂线，加大建系难度。多选综合题型，辨析角度、距离相关命题正误。部分试题折叠几何体，折叠前后垂直关系发生改变。高频失误为角的范围混淆、二面角正负误判。训练强化寻找隐藏垂线，熟练参数处理，减少计算失误，杜绝依靠肉眼直接估测角度，培养严谨推理的解题习惯。 1．在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 2．在棱长为2的正方体中，是的中点，给出下列结论： ①三棱锥的体积为 ②直线与直线所成的角为 ③二面角的平面角的正切值为 ④平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知正方体的棱长为2，是的中点，则点到平面的距离为__________． 6． 如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 7．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 8．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 9．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 10．如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $